2023年北师大版八年级下《第1章 三角形的证明》单元测试（3）（附答案）

试卷第=page55页，总=sectionpages99页试卷第=page44页，总=sectionpages99页2023年北师大版八年级下《第1章三角形的证明》单元测试（3）一.选择题)

1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，E为AD上一点，连接BE，CE，那么图中共有全等三角形(

)

A.1对 B.2对 C.3对 D.4对

2.用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角小于或等于60∘A.每一个内角都大于60∘ B.每一个内角都小于60∘

C.有一个内角大于60∘ D.有一个内角小于60∘

3.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，点D是AB的中点，若△ABC的面积为4，CD=5，则△ABC的周长为（

）A.5+1 B.25+2 C.25+4 D.25+6

4.如图，在△ABC中，AB=BC=6，∠A=30∘，点D为AB的中点，点E为AC边上一动点，则△BDE的周长的最小值为（

）

A.3+7 B.23+5 C.33+3 D.43+2

5.如图，P是等边△ABC

内的一点，且PA=3, PB=4, PC=5，将△ABP绕点B顺时针旋转60∘

到△CBQ的位置．连接PQ，则以下结论错误的是(

)

A.∠QPB=60∘ B.∠PQC=90∘ C.∠APB=150∘ D.

6.如图，△ABC是等边三角形，直线a，b分别经过点A，C，且直线b与AB交于点D，若a//b，∠1=20∘，则∠BCD的度数为（

）

A.20∘ B.30∘ C.35∘ D.40∘

7.下列三角形：

①有两个角等于60∘；

②有一个角等于60∘的等腰三角形；

③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；

④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．

其中是等边三角形的有(

A.①②③ B.①②④ C.①③ D.①②③④

8.已知四个三角形分别满足下列条件：①一个内角等于另两个内角之和；②三个内角度数之比为3∶4∶5；③三边长分别为7，24，25；④三边长之比为5∶12∶13.其中直角三角形有(

)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二.填空题)

9.如图，在平面直角坐标系中，点A−2,0，B2,0，点C从点O出发，在第一象限沿射线y=3x运动，当△ABC是直角三角形时，点C

10.如图，∠AOB是一角度为10∘的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：EF、FG、GH…，且OE=EF=FG=GH…，在OA、OB足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为________．

11.如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝120∘，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF // AB交AE的延长线于点F，则DF的长为________．

12.如图，已知△ABC的两条高AD，BE交于F，AE=BE，若要运用“HL”说明△AEF≅△BEC，还需添加条件：________．

三.解答题)

13.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC=130∘，求∠BAC的度数．

解：∵AB=AC,AE平分∠BAC，（已知）

∴AE⊥BC，（________）

∵∠ADC=130∘，（已知）

∴∠CDE=50∘，（平角的定义）

∴∠DCE=90∘−∠CDE=40∘，（三角形内角和为180∘）

又∵CD平分∠ACB，（已知）

∴∠ACB=2∠DCE=80∘．（________）

14.先阅读下面的内容，再解决问题．

例题：若m2+2mn+2n2−6n+9=0，求m和n的值．

解：∵m2+2mn+2n2−6n+9=0，

∴(m2+2mn+n2)+((1)若x2+2y(2)已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数．且满足a2+b

15.如图，∠A=∠D=90∘，AC=DB，AC，DB相交于点O．求证：AB=CD．

16.如图，Rt△ABC中，∠CAB=90∘，∠ACB=30∘，D是AB上一点（不与A，B重合），DE⊥BC于E，若P是CD的中点，请判断△PAE

参考答案与试题解析2023年北师大版八年级下《第1章三角形的证明》单元测试（3）一.选择题1.【答案】C【考点】全等三角形的判定直角三角形全等的判定【解析】由已知易得△ABD≅△ACD，从而运用全等三角形性质及判定方法证明△BDE≅△CDE，△ABE≅△ACE．【解答】解：∵AD⊥BC，

∴∠ADB=∠ADC=90∘.

在Rt△ABD与Rt△ACD中，

AD=AD，AB=AC，

∴Rt△ABD≅Rt△ACD(HL)，

∴BD=CD，∠BAD=∠CAD，

∴△BDE≅△CDE(SAS)，

△ABE≅△ACE(SAS)，

∴图中的全等三角形共有3对．

2.【答案】A【考点】反证法【解析】熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．【解答】解：用反证法证明“三角形中至少有一个内角小于或等于60∘”时，

应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60∘，即都大于60∘．

3.【答案】D【考点】勾股定理直角三角形斜边上的中线【解析】根据斜边长等于斜边中线的两倍，求出斜边长，再结合勾股定理及直角三角形的面积，即可得到答案.【解答】解：如图，

在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，点D是AB的中点，

且CD=5，AB=2CD=25，

∴AC2+BC2=20，

又∵Rt△ABC的面积为4，

∴12AC⋅BC=4，则AC⋅BC=8，

∴AC+BC2=AC2+BC2+2AC⋅BC=364.【答案】C【考点】轴对称——最短路线问题等边三角形的性质含30度角的直角三角形【解析】

【解答】解：如图，作点B关于直线AC的对称点B′，分别连接AB′，BB′，DB′，EB′，

易得DE+BE=DE+EB′,

当点E为DB′与AC的交点时，DE+EB取最小值为DB′，

∵AB=BC=6，∠A=30∘，易得△ABB′为正三角形，5.【答案】D【考点】勾股定理的逆定理等边三角形的性质与判定【解析】本题考查等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理.根据等边三角形的性质以及勾股定理的逆定理，即可判断B；依据ΔBPQ是等边三角形，即可得到∠QPB=∠BPQ=∠BQP=60​∘，进而得出∠BPA=∠BQC=60​∘+90​∘【解答】解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=60​∘,

∵将△ABP绕点B顺时针旋转60​∘到△CBQ的位置，

∴∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3,∠ABP=∠QBC，

∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60​∘，

∴△BPQ是等边三角形，

∴PQ=BP=4，

∵PQ2+QC2=42+32=25，PC2=52=25，

∴PQ2+QC2=PC2，

∴∠PQC=90​∘，即△PQC是直角三角形，故6.【答案】D【考点】平行线的性质等边三角形的性质【解析】先由内错角相等得∠DCA=∠1=20∘，再利用【解答】解：∵△ABC为等边三角形。

∴∠BCA=60∘，

∵a//b,

∴∠DCA=∠1=20∘，

∴∠BCD=∠BCA−∠DCA=407.【答案】D【考点】等边三角形的判定【解析】根据等边三角形的判定判断．【解答】解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故正确；

②这是等边三角形的判定2，故正确；

③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，故正确；

④根据等边三角形三线合一性质，故正确．

所以都正确．

故选D．8.【答案】C【考点】勾股定理的逆定理直角三角形的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：①已知∠A=∠B+∠C，

由∠A+∠B+∠C=180∘，

得2∠A=180∘，

所以∠A=90∘，它是直角三角形；

②三个内角之比为3∶4∶5，

则这三个内角分别为45∘，60∘，75∘，二.填空题9.【答案】(1,3)【考点】勾股定理点的坐标正比例函数的图象直角三角形的性质直角三角形斜边上的中线【解析】此题暂无解析【解答】解：∵点A−2,0，B2,0，

∴OA=OB=2，

∴点O为AB中点.

∵点C从点O出发，在第一象限沿射线y=3x运动，

∴设C(x,3x)，x>0.

∵△ABC

是直角三角形，

∴①∠ACB=90∘时，如图，过点C作CD⊥AB交于点D，

∴OC=OB=2.

∵CD2+OD2=OC2，

∴x2+(3x)2=22，解得x=1（负值舍去），

∴C(1,3).

②10.【答案】8【考点】等腰三角形的判定与性质【解析】根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，根据规律及三角形的内角和定理不难求解．【解答】解：∵添加的钢管长度都与OE相等，∠AOB=10∘，

∴∠GEF=∠FGE=20∘，∠GFH=∠GHF=30∘，⋯

从图中我们会发现有好几个等腰三角形，第一个等腰三角形的底角是10∘，第二个是20∘，第三个是30∘，第四个是40∘，第五个是50∘，第六个是60∘，第七个是11.【答案】4【考点】含30度角的直角三角形等腰三角形的性质等腰三角形的判定平行线的性质【解析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，求出∠DAE＝∠EAB＝30∘，根据平行线的性质求出∠F＝∠BAE＝30∘，从而得到∠DAE＝∠F，根据等角对等边求出AD＝DF，求出∠B＝30∘【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，

∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD=12∠BAC=12×120∘＝60∘，

∵AE是∠BAD的角平分线，

∴∠DAE＝∠EAB=12∠BAD=12×60∘＝30∘，

∵DF // AB，

∴∠F＝∠BAE＝30∘，

∴∠DAE＝∠F＝30∘，

∴AD＝DF，

∵∠B＝12.【答案】AF=BC【考点】直角三角形全等的判定【解析】根据垂直定义求出∠AEF＝∠BEC＝90∘，∠ADC＝90∘，根据三角形内角和定理求出∠EAF＝∠CBE，根据【解答】解：AF=BC，

理由是：∵△ABC的两条高AD，BE交于F，

∴∠AEF=∠BEC=90∘.

在Rt△AEF和Rt△BEC中，

AF=BC,AE=BE, 

∴Rt△AEF≅Rt△BEC(HL).三.解答题13.【答案】解：∵AB=AC,AE平分∠BAC，（已知）

∴AE⊥BC，（等腰三角形三线合一）

∵∠ADC=130∘，（已知）

∴∠CDE=50∘，（平角的定义）

∴∠DCE=90∘−∠CDE=40∘

，（三角形内角和为180∘

）

又∵CD平分∠ACB，（已知）

∴∠ACB=2∠DCE=80∘

．（角平分线的定义）

又∵【考点】三角形内角和定理等腰三角形的判定与性质角平分线的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：∵AB=AC,AE平分∠BAC，（已知）

∴AE⊥BC，（等腰三角形三线合一）

∵∠ADC=130∘，（已知）

∴∠CDE=50∘，（平角的定义）

∴∠DCE=90∘−∠CDE=40∘

，（三角形内角和为180∘

）

又∵CD平分∠ACB，（已知）

∴∠ACB=2∠DCE=80∘

．（角平分线的定义）

又∵14.【答案】解：(1)∵x2+2y2−2xy+6y+9=0，

∴(x2−2xy+y2)+(y2+6y+9)=0，

∴(x−y)2(2)∵a2+b2−6a−4b+13+|3−c|=0，

∴a2−6a+9+b2−4b+4+|3−c|=0，

即(a−3)2+(b−2)2+|3−c|=0，

∴a−3=0，b−2=0【考点】完全平方公式非负数的性质：偶次方非负数的性质：绝对值等腰三角形的判定【解析】左侧图片未给出解析左侧图片未给出解析【解答】解：(1)∵x2+2y2−2xy+6y+9=0，

∴(x2−2xy+y2)+(y2+6y+9)=0，

∴(x−y)2(2)∵a2+b2−6a−4b+13+|3−c|=0，

∴a2−6a+9+b2−4b+4+|3−c|=0，

即(a−3)2+(b−2)2+|3−c|=0，

∴a−3=0，b−2=015.【答案】证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中，

AC=DB,CB=BC,

∴Rt△ABC≅Rt△DCB(HL)，

∴AB=CD【考点】直角三角形全等的判定全等三角形的性质【解析】此题暂无解析【解答】证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中，

AC=DB,CB=BC,

∴Rt△ABC≅Rt△DCB(HL)，

∴AB=CD16.【答案】解：△PAE为等边三角形.

理由如下：

在Rt△CAD中，∠CAD=90∘，P是斜边CD的中点，

∴PA=PC=12CD，

∴∠ACD=∠PAC，

∴∠APD=∠ACD+∠PAC=2∠ACD.

同理：在Rt△CED中，PE=PC=12CD，∠DPE=2∠DCB，

∴