福建省福州市天和高级职业中学2021年高三数学文联考试卷含解析

福建省福州市天和高级职业中学2021年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=﹣5，若对任意的，都有f（x1）﹣g（x2）≥2成立，则a的取值范围是（）A．（0，+∞） B．[1，+∞） C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，﹣1]参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性；抽象函数及其应用．【分析】根据不等式恒成立，利用参数分类法进行转化为a≥x﹣x2lnx在≤x≤2上恒成立，构造函数h（x）=x﹣x2lnx，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系求出函数的最值即可．【解答】解：函数g（x）的导数g′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2），∴函数g（x）在[，]上递减，则[，2]上递增，g（[）=，g（2）=8﹣4﹣5=﹣1，若对任意的，都有f（x1）﹣g（x2）≥2成立，即当≤x≤2时，f（x）≥1恒成立，即恒成立，即a≥x﹣x2lnx在≤x≤2上恒成立，令h（x）=x﹣x2lnx，则h′（x）=1﹣2xlnx﹣x，h′′（x）=﹣3﹣2lnx，当在≤x≤2时，h′′（x）=﹣3﹣2lnx＜0，即h′（x）=1﹣2xlnx﹣x在≤x≤2上单调递减，由于h′（1）=0，∴当≤x≤1时，h′（x）＞0，当1≤x≤2时，h′（x）＜0，∴h（x）≤h（1）=1，∴a≥1．故选：B．2.已知函数，若函数有三个零点，则实数a的取值范围是（

）A. B.C. D.参考答案：B分析：该题属于已知函数零点个数求参数范围的问题，解决该题的思路是转化为方程解的个数来完成，需要明确函数图像的走向，找出函数的极值，从而结合图像完成任务.详解：，即，结合函数解析式，可以求得方程的根为或，从而得到和一共有三个根，即共有三个根，当时，，，从而可以确定函数在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，且，此时两个值的差距小于2，所以该题等价于或或或或，解得或或，所以所求a的范围是，故选B.点睛：解决该题的关键是明确函数图像的走向，利用数形结合，对参数进行分类讨论，最后求得结果，利用导数研究函数的单调性显得尤为重要.3.已知向量，，若∥，则等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A4.，则的值为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】先利用诱导公式求解，再利用二倍角公式求解即可【详解】因为，所以，所以.故选.【点睛】本题考查诱导公式和二倍角公式，熟记公式是关键，是基础题5.设，，则“”是“”的（

）（A）充要条件

（B）充分而不必要条件 （C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件参考答案：C试题分析：,所以充分性不成立；，必要性成立，故选C6.已知函数，则函数的图像可能是………………..（

）参考答案：C7.若某程序框图如图所示，则输出的n的值是

(

)A.

3

B.

4

C.

5

D.

6参考答案：【知识点】程序框图，等差数列的前n项和公式.【答案解析】C解析：解：框图首先给循环变量n赋值1，给累加变量p赋值1，

执行n=1+1=2，p=1+（2×2-1）=1+3=4；

判断4＞20不成立，

执行n=2+1=3，p=1+3+（2×3-1）=1+3+5=9；

判断9＞20不成立，

执行n=3+1=4，p=1+3+5+（2×4-1）=1+3+5+7=16；

…

由上可知，程序运行的是求首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，

由，且n∈N*，得n=5．

故选C．【思路点拨】框图首先给循环变量n赋值1，给累加变量p赋值1，然后执行运算n=n+1，p=p+2n-1，然后判断p＞20是否成立，不成立循环执行n=n+1，p=p+2n-1，成立时算法结束，输出n的值．且由框图可知，程序执行的是求等差数列的前n项和问题．当前n项和大于20时，输出n的值．8.函数的定义域为（）A．（1，+∞）B．[0，+∞）C．（﹣∞，1）∪（1，+∞）D．[0，1）∪（1，+∞）参考答案：D考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：利用分式的分母不为0，开偶次方被开方数非负，求出函数的定义域．解答：解：要使函数有意义，必须，解得x≥0且x≠1．所以函数的定义域为[0，1）∪（1，+∞）．故选D．点评：本题考查函数的定义域的求法，容易疏忽被开方数非负这一结论．9.f(x)是R上奇函数，对任意实数都有，当时，，则A．0

B．

1

C．－1

D．2参考答案：A，∴是以3为周期的奇函数，本题选择A选项.

10.

函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（

）参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为

，体积为

．参考答案：，12.下列关于圆锥曲线的命题：①设A，B为两个定点，若|PA|﹣|PB|=2，则动点P的轨迹为双曲线；②设A，B为两个定点，若动点P满足|PA|=10﹣|PB|，且|AB|=6，则|PA|的最大值为8；③方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率；④双曲线与椭圆y2=1有相同的焦点．其中真命题的序号（写出所有真命题的序号）．参考答案：②③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①不正确．若动点P的轨迹为双曲线，则2要小于A、B为两个定点间的距离；②正确．由题意可知点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，其中a=5，c=3，由此能够推导出|PA|的最大值a+c．③正确．方程2x2﹣5x+2=0的两根和2可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④正确．双曲线与椭圆y2=1焦点坐标都是（±，0）．【解答】解：①不正确．若动点P的轨迹为双曲线，则2要小于A、B为两个定点间的距离．当2大于A、B为两个定点间的距离时动点P的轨迹不是双曲线．②正确．设点P的坐标为（x，y），∵|PA|+|PB|=10＞|AB|=6，∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，其中a=5，c=3，则|PA|的最大值为a+c=8．③正确．方程2x2﹣5x+2=0的两根分别为和2，和2可分别作为椭圆和双曲线的离心率．④正确．双曲线与椭圆y2=1焦点坐标都是（±，0）．故答案为：②③④．13.函数的定义域为

．参考答案：(1,2)∪(2,+∞)x应该满足：，解得：∴函数的定义域为故答案为：

14.已知平面上的向量、满足,，设向量，则的最小值是

参考答案：215.若，则=

.参考答案：｛3，4｝16.已知函数的图象经过原点，则不等式的解集为

.参考答案：17.设函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是．参考答案：（，+∞）【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】根据题意，分析可得若函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则函数y=f（x）的图象与直线y=k有且只有两个交点；作出函数y=f（x）的图象，分析直线y=k与其图象有且只有两个交点时k的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，若函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则函数y=f（x）的图象与直线y=k有且只有两个交点，而函数f（x）=，其图象如图，若直线y=k与其图象有且只有两个交点，必有k＞，即实数k的取值范围是（，+∞）；故答案为：（，+∞）．【点评】本题考查函数零点的判断方法，关键是将函数零点的个数转化为函数图象的交点个数的问题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知锐角ABC三个内角分别为A,B,C，向量＝(sinC＋cosC,2－2sinC)与向量＝(1＋sinC,sinC－cosC),且.(Ⅰ)求C的值；

(Ⅱ)求函数y＝2sin2A＋cos的值域.参考答案：解：(Ⅰ)sin2C－cos2C－2＋2sin2C＝0即sin2C＝因为C是锐角，所以C＝；……..6分(Ⅱ)y＝2sin2A＋cos＝1－cos2A＋cos＝1－cos2A＋cos（－2A）＝sin2A－cos2A+1＝sin(2A－)+1

A（，）

y（，2]………….13分

略19.如图，在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,垂足为A,PA=AB,点M在棱PD上,PB∥平面ACM.

(1)试确定点M的位置；(2)计算直线PB与平面MAC的距离；(3)设点E在棱PC上，当点E在何处时，使得AE⊥平面PBD？

参考答案：解(1)设，则点O为BD中点，设点M为PD中点∵在△PBD中，PB∥OM，平面ACM,∴PB∥平面ACM(2)设AB=1，则PA=AB=1,∵底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PD，∴，∴，∴,取AD中点为F，连结MF，则MF∥PA，MF⊥平面ABCD，且MF=,又∵PB∥平面ACM，M为PC的中点,∴直线PB与平面MAC的距离为点D到平面MCA的距离，设为h由可得(3)以A为原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系则B(1,0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，设平面PBD的法向量则法向量,设，则,∵AE⊥平面PBD，∴∴，即点E为PC中点.20.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。（1）求k的值及的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值。参考答案：（I）设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为再由…………3分而建造费用为…………4分最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为…………6分（II）解得（舍去）…………8分当故x=5时f（x）的最小值点，对应的最小值为当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元。…………14分21.已知向量，，函数的最大值为6.（Ⅰ）求；（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.求在上的值域.参考答案：（Ⅰ）＝A＝Asin因为A>0，由题意知，A＝6.

由(1)＝6sin.将函数的图象向左平移个单位后得到y＝6sin＝6sin的图象；再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的