湖南省益阳市城南中学2022年高三数学理下学期期末试卷含解析

湖南省益阳市城南中学2022年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.无穷等比数列的前项为，则该数列的各项和为

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B2.某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有（）A．36种B．30种C．24种D．6种参考答案：B考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：先不考虑学生甲，乙不能同时参加同一学科竞赛，从4人中选出两个人作为一个元素，同其他两个元素在三个位置上排列，其中有不符合条件的，即甲乙两人在同一位置，去掉即可．解答：解：从4人中选出两个人作为一个元素有C42种方法，同其他两个元素在三个位置上排列C42A33=36，其中有不符合条件的，即学生甲，乙同时参加同一学科竞赛有A33种结果，∴不同的参赛方案共有36﹣6=30，故选：B点评：对于复杂一点的排列计数问题，有时要先整体再部分，有时排列组合和分步计数原理，分类计数原理一起出现，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决，即类中有步，步中有类．3.对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（2a﹣x），则称f（x）为准奇函数，下列函数中是准奇函数的是（把所有满足条件的序号都填上）①f（x）=②f（x）=x2③f（x）=tanx④f（x）=cos（x+1）参考答案：③④考点： 函数奇偶性的判断．专题： 函数的性质及应用．分析： 判断对于函数f（x）为准奇函数的主要标准是：若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（2a﹣x），则称f（x）为准奇函数．解答： 解：对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（2a﹣x），则称f（x）为准奇函数①使得x取定义域内的每一个值，不存在f（x）=﹣f（2a﹣x）所以f（x）不是准奇函数②当a=0时，f（x）=﹣f（2a﹣x），而题中的要求是a≠0，所以f（x）不是准奇函数③当a=时使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（π﹣x），则称f（x）为准奇函数．④当a=π时使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（2π﹣x），则称f（x）为准奇函数故选：③④点评： 本题考查的知识点：新定义的理解和应用．4.设集合A＝{x||x－a|＜1，x∈R}，B＝{x|1＜x＜5，x∈R}．若A∩B＝?，则实数a的取值范围是()A．{a|0≤a≤6}

B．{a|a≤2或a≥4}

C．{a|a≤0或a≥6}

D．{a|2≤a≤4}参考答案：C5.已知x∈[，]，则“x∈”是“sin(sinx)<cos(cosx)成立”的(A) 充要条件

(B) 必要不充分条件(C)充分不必要条件 (D)

既不充分也不必要条件参考答案：【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断A2【答案解析】C

解析：解：（1）∵x∈[﹣，]，∴sinx+cosx≤，即＜sinx＜﹣cosx，∴sin（sinx）＜sin（﹣cosx），即sin（sinx）＜cos（cosx）成立，（2）∵sin（sinx）＜cos（cosx）∴sin（sinx）＜sin（﹣cosx），sinx＜﹣cosxsinx+cosx＜，x∈[﹣π，π]，∴x∈[，]，不一定成立，根据充分必要条件的定义可判断：“x∈[﹣，]是“sin（sinx）＜cos（cosx）成立”的充分不必要条件，故选：C【思路点拨】利用诱导公式，结合三角函数的单调性判断，命题成立，再运用充分必要条件定义判断6.设分别是椭圆的左、右焦点，与直线相切的交椭圆于点E，E恰好是直线EF1与的切点，则椭圆的离心率为A.

B.

C.

D.

参考答案：C因为直线与圆相切，所以圆的半径为。因为E，E恰好是直线EF1与的切点，所以三角形为直角三角形，所以。所以根据勾股定理得，即，整理得，所以，。得到，即，所以椭圆的离心率为，选C.7.设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是A．

B．

C．

D．参考答案：A8.已知全集，则A、{3}

B、{4，5}

C、{1，2,4,5}

D、{1,2,3,4}参考答案：C9.已知平面向量，的夹角为，且||=1，||=，则+2与的夹角是（）A． B．C． D．参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【分析】结合题意设出，的坐标，求出+2的坐标以及+2的模，代入公式求出+2与的夹角余弦值即可求出角的度数．【解答】解：平面向量，的夹角为，且||=1，||=，不妨设=（1，0），=（，），故+2=（，），|+2|=，（+2）?=×+×=，故cos＜+2，＞===，故+2与的夹角是，故选：A．【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，考查向量夹角的余弦公式，是一道中档题．10.已知点M（3，﹣2），N（﹣5，﹣1），且，则点P是(

)A．（﹣8，1） B．（﹣1，﹣） C．（1，） D．（8，1）参考答案：B【考点】平面向量的基本定理及其意义；平面向量的坐标运算．【专题】计算题；函数思想；平面向量及应用．【分析】设出P的坐标，利用向量相等，列出方程求解即可．【解答】解：设P（x，y），点M（3，﹣2），N（﹣5，﹣1），且，可得x﹣3=，解得x=﹣1．y+2=，解得y=﹣．P（﹣1，﹣）．故选：B．【点评】本题考查向量的坐标运算，向量的平行，是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设集合，若且，记为中元素的最大值与最小值之和，则对所有的，的平均值=

▲

．参考答案：略12.已知数列{an}首项为，且，则为________.参考答案：31【分析】构造可得，从而可得数列是以2为首项，以2为等比数列，可先求，进而可求，把代入可求【详解】是以2为首项，以2为等比数列故答案为：31．【点睛】本题主要考查了利用数列的递推关系求解数列的项，待定系数法

迭代的方法即构造等比（等差）数列的方法求解，13.已知直线与圆相切，则的值为________.参考答案：14.已知二项式展开式中，则x4项的系数为

．参考答案：240【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为4，求出r的值，将r的值代入通项求出展开式中含x4项的系数【解答】解：展开式的通项为Tr+1=C6r（﹣2）rx，令得18﹣r=4，解得r=4，∴展开式中含x4项的系数为（﹣2）4C64=240，故答案为：240．15.设函数存在反函数,且函数的图象过点(1,2),则函数的图象一定过点

.参考答案：【答案】(-1,2)【解析】由函数的图象过点(1,2)得:即函数过点

则其反函数过点所以函数的图象一定过点16.在中，为边上一点，若是等边三角形，且，则的面积的最大值为___________．参考答案：

17.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为____________.参考答案：4

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AC=2AB=2，且BC1⊥A1C．（1）求证：平面ABC1⊥平面A1ACC1；（2）设D是线段BB1的中点，求三棱锥D﹣ABC1的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【专题】综合题；转化思想；综合法；立体几何．【分析】（1）证明A1C⊥面ABC1，即可证明：平面ABC1⊥平面A1ACC1；（2）证明AC⊥面ABB1A1，利用等体积转换，即可求三棱锥D﹣ABC1的体积．【解答】（1）证明：在直三棱锥ABC﹣A1B1C1中，有A1A⊥面ABC，而AB?面ABC，∴A1A⊥AB，∵A1A=AC，∴A1C⊥AC1，又BC1⊥A1C，BC1?面ABC1，AC1?面ABC1，BC1∩AC1=C1∴A1C⊥面ABC1，而A1C?面A1ACC1，则面ABC1⊥面A1ACC1…（2）解：由（1）知A1A⊥AB，A1C⊥面ABC1，A1C⊥AB，故AB⊥面A1ACC1，∴AB⊥AC，则有AC⊥面ABB1A1，∵D是线段BB1的中点，∴．…【点评】本题考查线面垂直、平面与平面垂直的判定，考查三棱锥D﹣ABC1的体积，考查学生分析解决问题的能力，正确运用定理是关键．19.

如图1，在平行四边形中，，，是的中点，现将四边形沿折起，使平面，得到图2所示的几何体，是的中点．（Ⅰ）证明平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值的大小．

参考答案：（Ⅰ）方法一：由题意得 且

∴ 方法二：由， 得.

∴椭圆方程为.

…4分（2）设，，直线为.直线为 联立

则，，

…6分

.

∵

同理

令，则

当时，，

∴.

…12分20.（14分）已知函数（为实常数）。（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数在区间上无极值，求的取值范围；（Ⅲ）已知且，求证:.参考答案：略21.（本题满分12分）已知函数（1）若函数在点处的切线与圆相切，求的值；（2）当时，函数的图像恒在坐标轴轴的上方，试求出的取值范围