轨迹方程求法及经典例题汇总

轨迹方程求法及经典例题汇总轨迹为圆的例题：必修2课本P124B组2：长为2a的线段的两个端点在轴和轴上移动，求线段AB的中点M的轨迹方程：必修2课本P124B组：已知M与两个定点（0,0），A（3,0）的距离之比为，求点M的轨迹方程;（一般地：必修2课本P144B组2：已知点M(,)与两个定点的距离之比为一个常数；讨论点M(,)的轨迹方程（分=1，与1进行讨论）必修2课本P122例5：线段AB的端点B的坐标是（4,3），端点A在圆上运动，求AB的中点M的轨迹。（2013新课标2卷文20）在平面直角坐标系中，已知圆在轴上截得线段长为，在轴上截得线段长为。（1）求圆心的的轨迹方程；（2）若点到直线的距离为，求圆的方程。如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.解：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|.又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动.设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=,代入方程x2+y2－4x－10=0,得－10=0整理得：x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在上．（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．（2013陕西卷理20）已知动圆过定点，且在轴上截得弦的长为8.求动圆圆心的轨迹的方程；已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，若轴是的角平分线，证明直线过定点。椭圆类型：定义法：（选修2-1P50第3题）点M(,)与定点F(2，0)的距离和它到定直线的距离之比为，求点M的轨迹方程.(圆锥曲线第二定义)讨论：当这个比例常数不是小于1，而是大于1，或等于1是的情形呢？（对应双曲线，抛物线）圆锥曲线第一定义：（选修2-1P50第2题）一个动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆的圆心轨迹方程。圆锥曲线第一定义：点M()圆上的一个动点,点（1,0）为定点。线段的垂直平分线与相交于点Q(,),求点Q的轨迹方程;(注意点（1,0）在圆内)其他形式：（选修2-1P50例3）设点A,B的坐标分别是（-5,0），（5,0），直线AM,BM相交于点M，且他们的斜率的乘积为，求点M的轨迹方程:（是一个椭圆）（讨论当他们的斜率的乘积为时可以得到双曲线）（2013新课标1卷20）已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线。（1）求的方程；（2）是与圆，圆都相切的一条直线，与曲线交于两点，当圆的半径最长时，求（2013陕西卷文20）已知动点到直线的距离是它到点的距离的倍。（1）求动点的轨迹的方程（2）过点的直线与轨迹交于两点，若是的中点，求直线的斜率。(1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；(2)设点R形成的曲线为C，直线l：y=k(x+a)与曲线C相交于A、B两点，当△AOB的面积取得最大值时，求k的值.一、1.解析：∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a,∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点2.解析：设交点P(x,y）,A1(－3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,－y0)∵A1、P1、P共线，∴∵A2、P2、P共线，∴解得x0=二、3.解析：由sinC－sinB=sinA,得c－b=a,∴应为双曲线一支，且实轴长为,故方程为.答案：4.解析：设P(x,y），依题意有,化简得P点轨迹方程为4x2+4y2－85x+100=0.答案：4x2+4y2－85x+100=0三、5.解：设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点，两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为=1(y≠0)6.解：设P(x0,y0）(x≠±a),Q(x,y).∵A1(－a,0),A2(a,0).由条件而点P(x0,y0)在双曲线上，∴b2x02－a2y02=a2b2.即b2(－x2)－a2()2=a2b2化简得Q点的轨迹方程为：a2x2－b2y2=a4(x≠±a).8.解：(1)∵点F2关于l的对称点为Q，连接PQ，∴∠F2PR=∠QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2|又因为l为∠F1PF2外角的平分线，故点F1、P、Q在同一直线上，设存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(－c,0),F2(c,0).|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c)2+y12=(2a)又得x1=2x0－c,y1=2y0.∴(2x0)2+(2y0)2=(2a)2，∴x02+y02=a2故R的轨迹方程为：x2+y2=a2(y≠0)(2)如右图，∵S△AOB=|OA|·|OB|·sinAOB=sinAOB当∠AOB=90°时，S△AOB最大值为a2.此时弦心距|OC|=.在Rt△AOC中，∠AOC=45°，专题一：求曲线的轨迹方程课前自主练习：1．如图1，中，已知，，点在轴上方运动，且，则顶点的轨迹方程是．图1图2图3图42．如图2，若圆：上的动点与点连线的垂直平分线交于点，图1图2图3图4则的轨迹方程是．3．如图3，已知点，点在圆上运动，的平分线交于，则的轨迹方程是．4．与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线方程为．5．如图4，垂直于轴的直线与轴及抛物线分别交于点、，点在轴上，且点满足，则线段的中点的轨迹方程是．几种常见求轨迹方程的方法：1．直接法：由题设所给（或通过分析图形的几何性质而得出）的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．直接法求轨迹方程的一般步骤：建系——设点——列式——代换——化简——检验；【例1】（1）求和定圆的圆周的距离等于的动点的轨迹方程；（2）过点作圆：的割线，求割线被圆截得弦的中点的轨迹．解：（1）设动点，则有或．即或．故所求动点的轨迹方程为或．（2）设弦的中点为，连结，则．∵，∴，化简得：．其轨迹是以为直径的圆在圆内的一段弧（不含端点）．【例2】已知直角坐标平面上一点和圆：，动点到圆的切线长等于圆的半径与的和．求动点的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．解：如图，设切圆于，又圆的半径，∴，∴，由已知．设，则，∴，即．可化为．故所求的轨迹是以点为中心，实轴在轴上的双曲线的右支，顶点为，如图．【例4】已知定圆的半径为，定点与圆的圆心的距离为．又一动圆过定点，且与定圆相切．求动圆圆心的轨迹方程．解：以所在的直线为轴，以的中点为原点建立坐标系，如图．当动圆与定圆外切时，；当动圆与定圆外切时，．由双曲线的定义知动圆圆心的轨迹应是以、为两焦点的双曲线（外切时为右支，内切时为左支）．显然，，又，故．所以所求的点轨迹方程是：．3．动点转移法：若动点随已知曲线上的点的变动而变动，且、可用、表示，则将点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点的轨迹方程．这种方法称为动点转移法（或代换法或相关点法）．【例5】已知定点、为抛物线，上任意一点，点在线段的中点，当点在抛物线上变动时，求点的轨迹方程．解：设点，且设点，则有．∵点是线段的中点．由中点坐标公式得：，∴．将此式代入中，并整理得：，即为所求轨迹方程．它是一条抛物线．4．待定系数法：当动点的轨迹是确定的某种曲线时，设出这种曲线的方程，然后列方程，求出所设的参数，进而求出方程．如求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求．【例7】若抛物线和以坐标轴为对称轴、实轴在轴上的双曲线仅有两个公共点，又直线被双曲线截得的线段长等于，求此双曲线方程．解：设所求双曲线方程为，将代入整理得：．∵抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程应有等根．∴，即．由和得：．由弦长公式得：．即．由得：，．∴双曲线的方程是．5．参数法：当动点的坐标、之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量，并用表示动点的坐标、，从而动点轨迹的参数方程消去参数，便可得到动点的的轨迹的普通方程，但要注意方程的等价性，即有的范围确定出、的范围．【例8】抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于不同两点、，以、为邻边作平行四边形，求顶点的轨迹方程．解：设，：，中点为，，，与联立得：．，，．，．，∵，为中点，∴，．消得：．巩固练习：1．平面上和两相交的定圆（半径不等）同时相外切的动圆圆心的轨为（）（A）椭圆的一部分（B）椭圆（C）双曲线的一部分（D）双曲线2．已知动点与定点的距离比动点到轴的距离大，则动点的轨迹（）（A）抛物线（B）抛物线的一部分（C）抛物线和一射线（D）抛物线和一直线3．已知定直线和外一点，过与相切的圆的圆心轨迹是（）（A）抛物线（B）双曲线（C）椭圆（D）直线4．一动圆与两圆和都外切，则动圆圆心轨迹为（）（A）圆（B）椭圆（C）双曲线的一支（D）抛物线5．已知椭圆的焦点是、、是椭圆上的一个动点．如果延长到，使得，那么动点的轨迹是（）（A）圆（B）椭圆（C）双曲线的一支（D）抛物线6．已知点、，动点满足，则点的轨迹是（）（A）圆（B）椭圆（C）双曲线（D）抛物线7．与圆外切，又与轴相切的圆的圆心的轨迹方程是（）（A）（B）和（C）（D）和8．过抛物线的焦点作直线与此抛物线相交于两点、，则线段中点的轨迹方程为（）（A）（B）（C）（D）9．过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于A、B两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是（）（A）（B）（C）（D）10．已知两点、，点为坐标平面内的动点，满足，则动点的轨迹方程为（）（A）（B）（C）（D）11．与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线方程是（）（A）（B）（C）（D）12．设为双曲线上一动点，为坐标原点，为线段的中点，则点的轨迹方程是．13．已知，是圆：（为圆心）上一动点，线段的垂直平分线交于，则动点的轨迹方程为．14．倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则线段中点的轨迹方程是．15．求焦点在坐标轴上，中心在原点且经过和两点的椭圆方程．16．已知双曲线与椭圆共焦点，它的一条渐近线方程为，则双曲线的方程是．17．已知是椭圆上的任意一点，从右焦点作的外角平分线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程．18．如图，直线：与直线：之间的阴影区域（不含边界）记为，其左半部分记为，右半部分记为．（1）分别用不等式组表示和；（2）若区域中的动点到，的距离之积等于，求点的轨迹的方程；19．设椭圆方程为，过点的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程．20．过双曲线：的左焦点作直线与双曲线交于、两点，以线段、为邻边作平行四边形，求顶点的轨迹方程．21．设点和为抛物线上原点以外的两个动点，已知，，求点的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．（一）求轨迹方程的一般方法：1.定义法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。2.直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。3.参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t），y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。4.代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。一：用定义法求轨迹方程例1：已知的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C为动点，且满足求点C的轨迹。【变式】：已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。二：用直译法求轨迹方程此类问题重在寻找数量关系。例2：一条线段两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，且BM=a，AM=b，求AB中点M的轨迹方程？【变式】:动点P（x,y）到两定点A（－3，0）和B（3，0）的距离的比等于2（即），求动点P的轨迹方程？三：用参数法求轨迹方程此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。例3．过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。四：用代入法求轨迹方程例4.轨迹方程。【变式】如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程五、用交轨法求轨迹方程例5.已知椭圆（a＞b＞o）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2，求A1P1与A2P2交点M的轨迹方程.六、用点差法求轨迹方程例6.已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；练习1.在中，B，C坐标分别为（-3，0），（3，0），且三角形周长为16，则点A的轨迹方程是_______________________________.2.两条直线与的交点的轨迹方程是__________.3.已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的弦0A，则弦的中点M的轨迹方程是_____4.当参数m随意变化时，则抛物线的顶点的轨迹方程为______。5:点M到点F（4，0）的距离比它到直线的距离小1，则点M的轨迹方程为________。6:求与两定点距离的比为1：2的点的轨迹方程为_____________7.抛物线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于A、B两点，动点C在抛物线上，求△ABC重心P的轨迹方程。8.已知动点P到定点F（1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求点P的轨迹方程。9.过原点作直线l和抛物线交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程。高二（上）求轨迹方程的常用方法答案例1：已知的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C为动点，且满足求点C的轨迹。【解析】由可知，即，满足椭圆的定义。令椭圆方程为，则，则轨迹方程为（，图形为椭圆（不含左，右顶点）。【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。圆：到定点的距离等于定长椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）到定点与定直线距离相等。【变式1】:1:已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。解：设动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：，。。∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。故所求轨迹方程为2:一动圆与圆O：外切，而与圆C：内切，那么动圆的圆心M的轨迹是：A：抛物线B：圆C：椭圆D：双曲线一支【解答】令动圆半径为R，则有，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选D。二：用直译法求曲线轨迹方程此类问题重在寻找数量关系。例2：一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB中点P解设M点的坐标为由平几的中线定理：在直角三角形AOB中，OM=M点的轨迹是以O为圆心，a为半径的圆周.【点评】此题中找到了OM=这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法有下列几种情况：1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.【变式2】:动点P（x,y）到两定点A（－3，0）和B（3，0）的距离的比等于2（即），求动点P的轨迹方程？【解答】∵|PA|=代入得化简得（x－5）2+y2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的圆.三：用参数法求曲线轨迹方程此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。例3．过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。【解析】分析1：从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线l1引发的，可设出l1的斜率k作为参数，建立动点M坐标（x，y）满足的参数方程。解法1：设M（x，y），设直线l1的方程为y－4＝k（x－2），（k≠０）∵M为AB的中点，消去k，得x＋2y－5＝0。另外，当k＝0时，AB中点为M（1，2），满足上述轨迹方程；当k不存在时，AB中点为M（1，2），也满足上述轨迹方程。综上所述，M的轨迹方程为x＋2y－5＝0。分析2：解法1中在利用k1k2＝－1时，需注意k1、k2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用△PAB为直角三角形的几何特性：解法2：设M（x，y），连结MP，则A（2x，0），B（0，2y），∵l1⊥l2，∴△PAB为直角三角形化简，得x＋2y－5＝0，此即M的轨迹方程。分析3：：设M（x，y），由已知l1⊥l2，联想到两直线垂直的充要条件：k1k2＝－1，即可列出轨迹方程，关键是如何用M点坐标表示A、B两点坐标。事实上，由M为AB的中点，易找出它们的坐标之间的联系。解法3：设M（x，y），∵M为AB中点，∴A（2x，0），B（0，2y）。又l1，l2过点P（2，4），且l1⊥l2∴PA⊥PB，从而kPA·kPB＝－1，注意到l1⊥x轴时，l2⊥y轴，此时A（2，0），B（0，4）中点M（1，2），经检验，它也满足方程x＋2y－5＝0综上可知，点M的轨迹方程为x＋2y－5＝0。【点评】解法1用了参数法，消参时应注意取值范围。解法2，3为直译法，运用了kPA·kPB＝－1，这些等量关系。。用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响【变式3】过圆O：x2+y2=4外一点A（4，0），作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC的中点M的轨迹。解法一：“几何法”设点M的坐标为（x,y）,因为点M是弦BC的中点，所以OM⊥BC,所以|OM|２＋|ＭＡ|２＝|ＯＡ|２，

即(x2+y2)+(x－４)2+y2=16化简得：（x－2）2+y2=4................................①由方程①与方程x2+y2=4得两圆的交点的横坐标为1，所以点M的轨迹方程为（x－2）2+y2=4（0≤x＜1）。所以M的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆在圆O内的部分。解法二：“参数法”设点M的坐标为（x,y），B（x1,y1）,C（x2,y2）直线AB的方程为y=k(x－4),由直线与圆的方程得（1+k2）x2－8k2x+16k2－4=0...........(*),由点M为BC的中点，所以x=...............(1),又OM⊥BC，所以k=.................(2)由方程（1）（2）消去k得（x－2）2+y2=4,又由方程（*）的△≥0得k2

≤,所以x＜1.所以点M的轨迹方程为（x－2）2+y2=4（0≤x＜1）所以M的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆在圆O内的部分。四：用代入法等其它方法求轨迹方程例4.轨迹方程。分析：题中涉及了三个点A、B、M，其中A为定点，而B、M为动点，且点B的运动是有规律的，显然M的运动是由B的运动而引发的，可见M、B为相关点，故采用相关点法求动点M的轨迹方程。【解析】设动点M的坐标为（x，y），而设B点坐标为（x0，y0）则由M为线段AB中点，可得即点B坐标可表为（2x－2a，2y）【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系【变式4】如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程【解析】：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|又因为R是弦AB的中点，依垂径定理在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=,代入方程x2+y2－4x－10=0,得－10=0整理得x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程五、用交轨法求轨迹方程六、用点差法求轨迹方程分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．解：设弦两端点分别为，，线段的中点，则①－②得．由题意知，则上式两端同除以，有，将③④代入得．⑤（1）将，代入⑤，得，故所求直线方程为：．⑥将⑥代入椭圆方程得，符合题意，为所求．（2）将代入⑤得所求轨迹方程为：．（椭圆内部分）（3）将代入⑤得所求轨迹方程为：．（椭圆内部分）练习1【正确解答】ABC为三角形，故A，B，C不能三点共线。轨迹方程里应除去点，即轨迹方程为2.两条直线与的交点的轨迹方程是.【解答】:直接消去参数即得(交轨法):3:已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的弦0A，则弦的中点M的轨迹方程是.【解答】:令M点的坐标为(,则A的坐标为(2,代入圆的方程里面得:4:当参数m随意变化时，则抛物线的顶点的轨迹方程为【分析】：把所求轨迹上的动点坐标x，y分别用已有的参数m来表示，然后消去参数m，便可得到动点的轨迹方程。【解答】：抛物线方程可化为它的顶点坐标为消去参数m得：故所求动点的轨迹方程为。5:点M到点F（4，0）的距离比它到直线的距离小1，则点M的轨迹方程为【分析】：点M到点F（4，0）的距离比它到直线的距离小1，意味着点M到点F（4，0）的距离与它到直线的距离相等。由抛物线标准方程可写出点M的轨迹方程。【解答】：依题意，点M到点F（4，0）的距离与它到直线的距离相等。则点M的轨迹是以F（4，0）为焦点、为准线的抛物线。故所求轨迹方程为。6:求与两定点距离的比为1：2的点的轨迹方程为_________【分析】:设动点为P，由题意，则依照点P在运动中所遵循的条件，可列出等量关系式。【解答】：设是所求轨迹上一点，依题意得由两点间距离公式得：化简得：7抛物线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于A、B两点，动点C在抛物线上，求△ABC重心P的轨迹方程。【分析】：抛物线的焦点为。设△ABC重心P的坐标为，点C的坐标为。其中【解答】：因点是重心，则由分点坐标公式得：即由点在抛物线上，得：将代入并化简，得：（9.已知动点P到定点F（1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求点P的轨迹方程。【解答】：设点P的坐标为（x，y），则由题意可得。（1）当x≤3时，方程变为，化简得。（2）当x>3时，方程变为，化简得。故所求的点P的轨迹方程是或10.过原点作直线l和抛物线交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程。【解答】：由题意分析知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程y=kx。把它代入抛物线方程，得。因为直线和抛物线相交，所以△>0，解得。设A（），B（），M（x，y），由韦达定理得。由消去k得。又，所以。∴点M的轨迹方程为。【基础练习】1．到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是()A．B．C．D．2．已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．两条射线D．以上都不对3．设定点、，动点满足条件，则点P的轨迹()A．椭圆B．线段C.不存在D．椭圆或线段4．动点P与定点、的连线的斜率之积为，则点的轨迹方程为______________.【例题精选】直接法求曲线方程根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。即把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程了。例1．已知中，，试求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.练习：已知两点M（-1，0）、N（1，0），且点P使，，成公差小于零的等差数列。点P的轨迹是什么曲线？二定义法若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程。例1．⊙C：内部一点与圆周上动点Q连线AQ的中垂线交CQ于P，求点P的轨迹方程.例2．设动点到定点的距离比它到y轴的距离大。记点P的轨迹为曲线C求点P的轨迹方程；练习．若动圆与圆相外切，且与直线相切，则动圆圆心轨迹方程是.三代入法有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的。如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法。这种方法是一种极常用的方法，连续好几年高考都考查。例1、已知定点A(3,0)，P是圆x2+y2=1上的动点，∠AOP的平分线交AP于M，求M点的轨迹。例2、如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.针对练习一、客观题1．平面内到点、距离之和为的点的轨迹为()A．椭圆B．一条射线C．两条射线D．一条线段2．平面上动点到定点的距离比到轴的距离大，则动点的轨迹方程为()A．B．C．或D．或3．已知抛物线的方程为，且抛物线上各点与焦点距离的最小值为2,若点M在此抛物线上运动,点N与点M关于点A(1,1)对称,则点N的轨迹方程为（）A． B．C． D．4．动点P在抛物线上移动，则点P与点连线中点M轨迹方程是_____________.5．一动点P到点F(2，0)的距离比它到y轴的距离大2，则点P的轨迹方程是.二、解答题 6．动圆M过定点P（－4，0），且与圆C：x2+y2－8x=0相切，求动圆圆心M的轨迹方程。、、、7．已知抛物线=x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP∶PA=1∶2，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程．8.已知数列{an}的前n项和为Sn，点在直线上，数列{bn}满足，b3=11，且{bn}的前9项和为153.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)设，记数列{cn}的前n项和为Tn，求使不等式对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值．19.（本题满分14分）已知点C(1，0)，点A、B是⊙O:x2+y2=9上任意两个不同的点，且满足，设P为弦AB的中点。(1)求点P的轨迹T的方程；(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x=-1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．20、(本题满分14分)过点作直线交圆M：于点B、C，在BC上取一点P，使P点满足：,（1）求点P的轨迹方程；（2）若（1）的轨迹交圆M于点R、S，求面积的最大值。一、知识概要：1.定义法:若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程。2.直接法:根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。即把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程了。二、基本训练：1、已知ABC的一边BC的长为6，周长为16，则顶点A的轨迹是什么？答:.2、若,则点M的轨迹方程是.(注意区别轨迹与轨迹方程两概念)三、例题：例1、两根杆分别绕着定点A和B(AB=2a)在平面内转动,并且转动时两杆保持相互垂直求两杆交点的轨迹方程.

例3、过点，作直线l交双曲线于A、B不同两点，已知。（1）、求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。（2）、是否存在这样的直线，使若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。解：（1）、设直线l的方程为，代入得，当时，设，，则，设，由，则，解之得再将代入得……（1）当时，满足（1）式；当斜率不存在是，易知满足（1）式，故所求轨迹方程为，其轨迹为双曲线；当时，l与双曲线只有一个交点，不满足题意。（2），所以平行四边形OAPB为矩形，OAPB为矩形的充要条件是，即。当不存在时，A、B坐标分别为，，不满足上式。又化简得：，此方程无实数解，故不存直线l使OAPB为矩形。点评：平面向量和平面解析几何是新老教材的结合点，也是近几年高考常考查的热点，解此类题应注重从向量积的定义和向量的加减法的运算入手，还应该尽量联系向量与解析几何的共同点，综合运用解析几何知识和技巧，使问题有效解决。

课外作业：1．已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是()A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线2．如图,已知圆B：(x+1)2+y2=16及点A(1,0),C为圆B上任意一点，则线段AC的垂直平分l与线段CB的交点P的轨迹方程是.3．已知,A(3,0),B(-3,0),且三边长|AC|、|AB|、|BC|依次成等差数列，则顶点C的轨迹方程是.6*．△ABC中，A为动点，B、C为定点，B(－,0),C(,0)，且满足条件sinC－sinB=sinA,则动点A的轨迹方程为.

8．(06全国Ⅰ)在平面直角坐标系xoy中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x,y轴的交点分别为A、B，且向量。求点M的轨迹方程.9．如图,过A(-1,0),斜率为k的直线l与抛物线C:交于P、Q两点，若曲线C的焦点F与P、Q、R三点按图中顺序构成平行四边形，求点R的轨迹方程。

一、知识概要：代入法（相关点法）有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的。如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法。这种方法是一种极常用的方法，连续好几年高考都考查。二、基本训练：1、双曲线有动点P，F1,F2是曲线的两个焦点，求△PF1F2的重心M的轨迹方程。例2、已知定点A(3,0)，P是圆x2+y2=1上的动点，∠AOP的平分线交AP于M，求M点的轨迹。解：如图，设M(x,y)、P(x1,y1)。由于OM平分∠AOP，故M分AP的比为：λ==3由定比分点公式，得，即，由于x12+y12=1，故，即。故所求轨迹是以为圆心，以为半径的圆。例3、如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.错解分析:欲求Q的轨迹方程，应先求R的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质