原创2022年《南方新课堂·高考总复习》数学 第二章 第2讲 函数的表示法配套课件

第2讲函数的表示法课标要求考情分析在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数结合近几年的高考试题，预计2022年高考仍将以表示函数的解析法、图象法、分段函数为主要考点，重点考查求函数值、求函数解析式及数形结合、分类讨论思想的应用.题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度中等偏上函数的三种表示法(1)图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.(2)列表法：就是列出表格表示两个变量的函数关系.(3)解析法：就是把两个变量的函数关系用等式表示.题组一走出误区1.(多选题)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，函数.以下说法正确的是(

)A.D(x)的值域是{0，1}B.∀x∈R，都有D(－x)＋D(x)＝0C.存在非零实数T，使得D(x＋T)＝D(x)D.对任意a，b∈(－∞，0)，都有{x|D(x)>a}＝{x|D(x)>b}

解析：对于选项A，根据函数的对应法则，x是有理数时，D(x)＝1，x是无理数时，D(x)＝0，故A正确；对于选项B，因为有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，所以∀x∈R，都有D(－x)＝D(x)，故B错误；对于选项C，任意非零有理数都是D(x)的周期，故C正确；对于选项D，因为D(x)＝0或1，所以对任意a，b∈(－∞，0)，都有{x|D(x)>a}＝{x|D(x)>b}，故D正确.故选ACD.答案：ACD题组二走进教材

2.(必修1P23

第2题改编)(2015年全国Ⅱ)已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1，4)，则

a＝________.

解析：由函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1，4)，得4＝a(－1)3－2×(－1).解得a＝－2.

答案：－2x－3－2－1123f(x)41－1－335g(x)1423－2－43.(必修1P24第4题改编)观察下表：则f(g(3)－f(－1))＝()A.3B.4C.－3D.5解析：由题表知，g(3)－f(－1)＝－4－(－1)＝－3，∴f[g(3)－f(－1)]＝f(－3)＝4.答案：B题组三真题展现

4.(2018年全国Ⅰ)已知函数f(x)＝

log2(x2＋a)，若

f(3)＝1，则a＝________.

解析：f(3)＝log2(32＋a)＝1，∴32＋a＝2，a＝－7.

答案：－7A.|x|＝x|sgnx|C.|x|＝|x|sgnx

B.|x|＝xsgn|x|D.|x|＝xsgnx答案：D考点1求f(x)的函数值自主练习

1.(2014年上海)设常数a∈R，函数f(x)＝|x－1|＋|x2－a|.若f(2)＝1，则f(1)＝________.

解析：由题意，得

f(2)＝1＋|4－a|＝1.则a＝4.所以f(1)＝|1－1|＋|1－4|＝3.

答案：3

答案：D(

)A.2B.4C.6D.8解析：当a≥1时，a＋1>1，f(a)＝f(a＋1)显然不成立；当0<a<1时，a＋1>1，f(a)＝f(a＋1)，

答案：C

4.已知a，b为常数，若f(x)＝x2

＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，则5a－b＝________.

解析：因为

f(x)＝x2＋4x＋3，所以f(ax＋b)＝(ax＋b)2

＋4(ax＋b)＋3＝a2x2＋(2ab＋4a)x＋(b2＋4b＋3).答案：2ex－e－x

ex＋e－x，g(x)＝22，则f(x)，

5.(多选题)已知函数f(x)＝g(x)满足( )A.f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)B.f(－2)<f(3)，g(－2)<g(3)C.f(2x)＝2f(x)g(x)D.[f(x)]2－[g(x)]2＝1答案：ABC【题后反思】第1题由f(2)＝1求出a，然后将x＝1代入求第4题需要利用待定系数法先求出a，b再代入；第5题需要逐项计算验证.考点2求函数的解析式师生互动

[例1](1)已知f(x＋1)＝x2－1，求f(x)的解析式.

(3)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式. (4)已知f(x)＋2f(－x)＝x＋1，求f(x)的解析式. (5)f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，它们有相同的定义域，且f(x)＋g(x)＝

1x－1，求f(x)的解析式.解：(1)方法一，f(x＋1)＝x2－1＝(x＋1)2－2x－2＝(x＋1)2－2(x＋1).可令t＝x＋1，则有f(t)＝t2－2t.故f(x)＝x2－2x.方法二，令x＋1＝t，则x＝t－1.代入原式，有f(t)＝(t－1)2－1＝t2－2t，∴f(x)＝x2－2x.所以f(t)＝3－(t2＋1)＝2－t2(t≥0)，即f(x)＝2－x2(x≥0).(3)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立.

∴f(x)＝2x＋7. (4)因为f(x)＋2f(－x)＝x＋1，对任意x∈R都成立，所以用－x替换x，

【题后反思】本例中(1)(2)题是换元法，一定要注意保持换元前后自变量的范围不变；(3)题是待定系数法，对于已知函数特征，如正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等可用此法；(4)(5)题是构造方程组法，通过变量替换消去f(－x)及g(x)，从而求出f(x)的解析式.【考法全练】1.已知

f(3x)＝4xlog23＋233，则

f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)的值等于__________.

解析：f(3x)＝

4xlog23＋233⇒f(x)＝4log2x＋233，∴f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝8×233＋4(log22＋2log22＋3log22＋…＋8log22)＝1864＋144＝2008.答案：20082.(2014年湖南)已知

f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()A.－3B.－1C.1D.3

解析：方法①∵f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1， ∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1，即f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1.

两式联立得：f(x)＝x2＋1，g(x)＝－x3. ∴f(1)＋g(1)＝－1＋1＋1＝1.

方法②∵f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，

f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1， ∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1，即f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1. ∴f(1)＋g(1)＝－1＋1＋1＝1.

答案：C

⊙对信息给予题的理解(二) [例2](2019年贵州模拟)若函数f(x)满足：在定义域D内存在实数x0，使得f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立，则称函数f(x)为“1的饱和函数”.给出下列三个函数：

其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为()A.①③B.②C.①②D.③解析：对于①，若存在实数x0，满足f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)，该方程无实根，因此①不是“1的饱和函数”； 对于②，若存在实数x0

，满足f(x0

＋1)＝f(x0)＋f(1)，则2x0＋1＝2x0＋2，解得x0＝1，因此②是“1的饱和函数”； 对于③，若存在实数x0

，满足f(x0

＋1)＝f(x0)＋f(1)，则显然该方程无实根，因此③不是“1的饱和函数”.

答案：B【高分训练】要使函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，只需方程