一元三次方程

一元三次方程数学术语01配方法三次重根式的化简求根公式的推导解只含有一次项的三次方程求根公式有三个实根的三次方程目录030502040607求根公式的检验未知数与常数互易法Excel求解三次方程目录0908基本信息一元三次方程（英文：cubicequationwithoneunknown）是只含有1个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为3次的整式方程。一元三次方程的标准形式是ax3+bx2+cx+d=0（a，b，c，d为常数，x为未知数，且a≠0）。一元三次方程的公式解法为卡尔丹公式法。配方法配方法与换元法的等价性不能用配方法直接求解的三次方程可用配方法直接求解的三次方程配方法配方法与换元法的等价性对于一元n次方程，配方法和换元法是等价的。

在一元二次方程中，用x=y-b/2a换元能消去方程中的一次项，只剩下二次项和常数项，所以配方法能解所有的一元二次方程。但在一元三次方程中，用x=y-b/3a换元不一定能同时消去二次项和一次项，只留下三次项和常数项，所以配方法只能直接求解一部分一元三次方程。可用配方法直接求解的三次方程满足下面形式的方程可以直接通过配立方来求解两边除以a，把常数项移到右边，然后再在两边加上，可以配成，方程的解为。开立方可以开出三个根出来，所以x也有三个解。这类方程用x=y-b/3a换元，可同时消去二次项和一次项，即不能用配方法直接求解的三次方程对于不能用配方法直接求解的一元三次方程，配方法只能消去方程的二次项。配方是根据三次项系数和二次项系数来配的。例如x³+6x²+x=10这个方程，三次项和二次项的系数分别为1和6，对应的完全立方式的一次项系数和常数项分别为12和8，所以在方程两边加上11x+8，得到x³+6x²+12x+8=11x+18即(x+2)³=11x+18右边的11x+18可以表示成11x+22-4=11(x+2)-4(x+2)³=11(x+2)-4这和二次方程很不一样。二次方程配方后只有左边有x，可以两边开平方求解。三次方程配方后，方程的两边都有x，所以无法直接开立方求解，我们必须要寻找新方法解出x+2的值才行（这个所谓的新方法就是卡丹公式法）。解只含有一次项的三次方程解只含有一次项的三次方程一般的一元三次方程通过配方法转换后，或通过代换后，可消去二次项，得到，所以解三次方程的关键是解只含有一次项的方程。含有二次项但不含有一次项的一元三次方程，经过代换后可以消掉二次项，但是却会冒出一次项出来。对于方程，代换后得到的是。因为b≠0，所以一定会有一次项冒出来。下面我们通过解一个具体的方程来说明只带一次项的一元三次方程的解法。

解方程：首先，我们令x=u+v，其中u和v是任取的，把这个式子代入方程，我们得到展开(u+v)³，得提取3u²v+3uv²的公因式3uv，得合并同类项，得由于u和v可以任取，只要满足u+v=x就行。如果我们取3uv+6=0，那么就可以将式子化简为u³+v³-20=0，于是得到方程组三次重根式的化简三次重根式的化简在已知的情况下，可以利用一元二次方程将化简为的形式。例如，在解三次方程的过程中，我们会遇到下面这个式子强行开平方、开立方后计算出来，这个式子的值大约为5。用计算器分别计算两个三次根式的值，算到小数点后29位，可以发现小数部分是一模一样的（就算不一样，也仅仅是最后一位或两位）。所以我们可以直接肯定，这两个根式的和就是5。+8.-3.通过平方差公式，可以求出这两个三次重根式的乘积这可以组成一个二元二次方程组其中u和v是待化简的三次重根式用代入消元法消去v，得到关于u的一元二次方程求根公式一般的特殊的求根公式特殊的一元三次方程都可化为。它的解是：其中。根与系数的关系为。判别式为。当时，有一个实根和两个复根；时，有三个实根，当时，为三重零根，时，三个实根中有两个相等；时，有三个不等实根。三个根的三角函数表达式（仅当时）为其中。一般的一般的一元三次方程的形式为其中a≠0，这个方程的根为其中ω为1的其中一个立方根，是模长为1，辐角为120°的虚数三个根与系数的关系为判别式为标准型方程中卡尔丹公式的一个实根当△大于0时，有一个实根和两个共轭虚根。当△=0时，有三个实根。若p=q=0，三个实根都相等；否则三个实根中有两个相等。当△小于0时，有三个不相等的实根。求根公式的推导卡尔丹诺法韦达代换法推导过程中产生的增根判别式求根公式的推导卡尔丹诺法卡尔丹诺法的基本思想是：将x分解为u和v的和（即x=u+v），使一元方程先变为二元方程。然后再添加一个关于u和v的方程，形成二元方程组。这个方程组经过消元后会变成一元二次方程，解这个方程可求出u和v，u和v相加便得到了x。首先，令x=u+v，代入方程，得到(u+v)³+p(u+v)+q=0展开立方项，得u³+v³+3uv(u+v)+p(u+v)+q=0u³+v³+(3uv+p)(u+v)+q=0方程有两个未知数，却只有一个方程，没有办法解。需要添加一个方程，形成方程组之后才能解。我们可以添加下面这个方程3uv+p=0添加这个方程后，就会使原来方程中的(3uv+p)(u+v)这一项变为0，从而变得更加简单，并形成方程组韦达代换法在上面的推导过程中，新添加的方程是3uv+p=0，即u和v之间的关系是v=-p/3u，所以x=u+v=u-p/3u。我们只需要令x=u-p/3u就可以将缺二次项的一元三次方程降次为一元二次方程，这个代换叫做韦达代换。代换后得到的方程为两边同乘u³，得令M=u³，这个方程和之前卡丹公式法的二次方程是一模一样的，只是符号刚好相反。由于没有v的存在，最终得到的求根公式稍微有些复杂但实际上，根据平方差公式所以由韦达代换得到的公式和卡丹公式是等价的。推导过程中产生的增根任何正实数都有两个平方根，一个为正，另一个为负，正的称为算术平方根。例如4的平方根是2和-2，其中2是算术平方根。我们将算术平方根的概念推广到复数，-9的平方根为3i和-3i，其中3i是算术平方根。对于3+4i这个数，模长为5，辐角约为53.13°，两个平方根为2+i和-2-i，模长都是√5，辐角大约为26.565°和-153.435°。由于2+i的辐角是3+4i辐角的一半，所以2+i是3+4i的算术平方根。在复数范围内，任何非零数都有三个立方根。而三次根号开方结果仅为其中的一个立方根，这个立方根叫做算术立方根。在求根公式中有两个三次根号，每个三次根号都能开出三个立方根，总共组合起来有9个根。但实际上，9个根里面只有3个根是原三次方程的根。其余6个根都是增根，不是原三次方程的根。上面的推导过程中已经提到，这6个增根是在uv=-p/3两边立方变为u³v³=-p³/27的过程中产生的。我们先看1有哪些立方根。求1的立方根，其实就是求方程x³-1=0的三根。方程可根据立方差公式，因式分解为(x-1)(x²+x+1)=0，得到x1=1，x2,3=(-1±√3i)/2，通常将x2=(-1+√3i)/2记为ω。于是1的三个立方根可记为x1=ωº=1，x2=ω¹，x3=ω²，其中x1=1是1的算术立方根：³√1=1。类似数a的全部平方根为±√a的表示方法，数a的全部立方根可表示为。判别式二次根号下的式子就是一元三次方程的判别式M的±取正号，N取负号。将x1表示为u+v，把虚数ω的值代入公式后，x2为x3=ω²u+ωv，其实就是把x2里面的u和v换了下位置，u+v和v+u相等，u-v和v-u互为相反数，即u-v=-(v-u)所以，x2和x3可表示为当△大于0时，△开平方后是正数，u和v是不相等的实数，于是x1是实数。由于u-v≠0，所以x2和x3为共轭虚数。当△=0时，△开平方为0，u和v相等，u-v=0，于是三个根都是实数。x1=2u；x2和x3相等，都等于-u。特别地，当q=0时（因△=0此时p也等于0），u=0，为三重零根。当△小于0时，△开平方为纯虚数，M和N为共轭虚数。共轭虚数的辐角互为相反数，开n次方后辐角除以n，仍然为相反数，所以共轭虚数开任意次方结果仍是共轭虚数。因此M和N开立方后的u和v也是共轭虚数，且u≠v。根据共轭虚数的性质，共轭虚数的和为实数（即(a+bi)+(a-bi)=2a），所以x1为实数。共轭虚数的差为纯虚数（即(a+bi)-(a-bi)=2bi），而纯虚数与i相乘一定为实数，因此(u-v)i为实数，x2和x3都是实数，方程有三个不相等的实根。有三个实根的三次方程有三个实根的三次方程当判别式△小于0时，三次方程的三个根都是实数根。此时求根公式中的二次根号下是负数，开平方后是虚数，所以这类方程需要用到虚数才能求解。比如，解方程：x³+3x²-12x-18=0。其中a=1,b=3,c=-12,d=-18。先算出p和q：p=(3ac-b²)/3a²=-15，q=(27a²d-9abc+2b³)/27a³=-4所以-121开平方后是11i，接下来需要对2+11i和2-11i开立方。2+11i的模长为√(2²+11²)=√125，辐角为arctan(11/2)=arctan5.5≈79.°所以2+11i≈√125∠79.°开立方后是³√(√125)∠(79.°/3)=√5∠26.°√5≈2.求根公式的检验求根公式的检验我们可以将求根公式代入回原方程中来检验公式是否正确。特殊型一元三次方程其中一个解为u和v的关系的证明代入x³，展开后得到u和v的立方和为u和v的乘积可以用平方差公式计算所以因此，卡丹公式是正确的。Excel求解三次方程Excel求解三次方程Excel求解三次方程A~D栏填写方程的系数（实数）F栏计算参数p：=(3A2C2-B2B2)/(3A2A2)G栏计算参数q：=(27A2A2D2-9A2B2C2+2B2B2B2)/(27A2A2A2)H栏计算判别式△：=G2G2/4+F2F2F2/27I栏计算判别式的平方根：=IMSQRT(H2)J栏为