反比例函数知识点总结和练习题

/反比例函数知识点1反比例函数的定义一般地.形如〔k为常数.的函数称为反比例函数.它可以从以下几个方面来理解：⑴x是自变量.y是x的反比例函数；⑵自变量x的取值范围是的一切实数.函数值的取值范围是；⑶比例系数是反比例函数定义的一个重要组成部分；⑷反比例函数有三种表达式：①〔.②〔.③〔定值〔；⑸函数〔与〔是等价的.所以当y是x的反比例函数时.x也是y的反比例函数。〔k为常数.是反比例函数的一部分.当k=0时..就不是反比例函数了。知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数〔中.只有一个待定系数.因此.只要一组对应值.就可以求出k的值.从而确定反比例函数的表达式。知识点3反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线.它有两个分支.这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限.它们与原点对称.由于反比例函数中自变量函数中自变量.函数值.所以它的图像与x轴、y轴都没有交点.即双曲线的两个分支无限接近坐标轴.但永远达不到坐标轴。反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。再作反比例函数的图像时应注意以下几点：①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多.画的图像越精确；③连线时.必须根据自变量大小从左至右〔或从右至左用光滑的曲线连接.切忌画成折线；④画图像时.它的两个分支应全部画出.但切忌将图像与坐标轴相交。知识点4反比例函数的性质☆关于反比例函数的性质.主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况.如下表：反比例函数〔的符号图像性质①的取值范围是.y的取值范围是②当时.函数图像的两个分支分别在第一、第三象限.在每个象限内.y随x的增大而减小。①的取值范围是.y的取值范围是②当时.函数图像的两个分支分别在第二、第四象限.在每个象限内.y随x的增大而增大。注意：描述函数值的增减情况时.必须指出"在每个象限内……"否则.笼统地说.当时.y随x的增大而减小".就会与事实不符的矛盾。反比例函数图像的位置和函数的增减性.是有反比例函数系数k的符号决定的.反过来.由反比例函数图像〔双曲线的位置和函数的增减性.也可以推断出k的符号。如在第一、第三象限.则可知。☆反比例函数〔中比例系数k的绝对值的几何意义。如图所示.过双曲线上任一点P〔x.y分别作x轴、y轴的垂线.E、F分别为垂足.则反比例函数〔中.越大.双曲线越远离坐标原点；越小.双曲线越靠近坐标原点。双曲线是中心对称图形.对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形.对称轴是直线y=x和直线y=－x。例题[例1]如果函数的图像是双曲线.且在第二.四象限内.那么k的值是多少？[答案]由反比例函数的定义.得：解得[例2]在反比例函数的图像上有三点。若则下列各式正确的是〔AA．B．C．D．[解析]可直接以数的角度比较大小.也可用图像法.还可取特殊值法。知识点一：反比例函数的定义例1：在下列函数中.是反比例函数的是。；〔2；〔3；〔4；〔5；〔6；〔7；〔8；〔9；例2：当取何值时.是关于x的反比例函数？并求出其表达式。知识点二：反比例函数表达式的确定例3：由欧姆定律可知：电压不变时.电流强度I与电阻R成反比例。已知电压保持不变.电阻R=12.5欧姆.电流强度I=0.2安培。〔1求I与R的函数关系式；〔2当R=5欧姆时.求电流强度。重点一：反比例函数与其他函数的综合应用例1：已知.与x成正比例.与x成反比例.并且当x=2时.；当时..求与x的函数表达式。重点二：反比例函数的实际应用例2：水产公司有一种海产品工艺2104千克.为寻求合适的销售价格.公司进行了8天的试销.试销情况入下：售价x〔元/千克第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第8天400250240200150125120销售量y/千克304048608096100观察表中数据.发现可以用反比例函数刻画出这种海产品每天的销售情况量y〔千克与销售价格x〔元/千克之间的关系。现假设这批海产品每天的销售量y〔千克与销售价格x〔元/千克都满足这一关系。写出这个反比例函数的解析式.并补全表格；在试销8天后.公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克.并且每天都按这个价格销售.那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？练习：1.已知函数是关于x的反比例函数.求k的值。2.已知定A〔1.-k+2在双曲线上.求常数k的值。4、正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点.点A坐标为〔2,1.<1>求正比例函数、反比例函数的表达式〔2求点B的坐标。5、已知.与x成反比例.与成正比例.且当x=-1时.；当时..求与x的函数表达式。6、已知一次函数和反比例函数的图象交于点A〔1,1.求两个函数的解析式。7、已知正比例函数和反比例函数的图象交于点〔4.2。〔1求两个函数的解析式。〔2这两个函数图象还有其他交点吗？若有.请求出交点的坐标.若没有.请说明理由。知识点一：反比例函数的图象例1：反比例函数反比例函数的图象在所在象限内.y随x的增大而增大.求反比例函数的解析式。例2：在反比例函数的图像上有A〔.B〔两点.当时.有.则m的取值范围是。知识点二：反比例函数的性质例3：设A〔.B〔反比例函数的图象上的任意两点.且.则可能满足的关系是〔A、B、C、D、知识点三：反比例函数中k的几何意义yA说明：在反比例函数的图象上任取一点.过这一点分别作x轴、y轴的平行线.与坐标轴围成的矩形面积总是等于常量。yAOxB例3：如图.直线OA与妇女比例函数的图象在第一象OxB限内交于点A.AB⊥x轴于点B,△OAB的面积为2.则k=。y练习：如右图.若点A在反比例函数的图象上.AM⊥x轴于点M,yA△OAM的面积为3.则k=。AxOMxOM重点：反比例函数和一次函数的综合应用xODyxOCy例1：在同一平面直角坐标系中xODyxOCyxBxBOyxAOyxDOyxOCyxBOyxAxDOyxOCyxBOyxAOy例2：已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于〔1,5。求这两个函数的解析式；〔2求这两个函数的另一个交点的坐标。练习：1、已知点M〔-2,3在双曲线上.则下列各点一定在双曲线上的是〔A、〔3.-2B、〔-2.-3C、〔2.3D、〔3.22、已知.反比例函数的图象与经过原点的直线l相交于A、B两点.已知点A的坐标为〔-2,1.那么点B的坐标为。3、已知.一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A〔1,3。xAxAOyB观察图象.写出使函数值的自变量x的取值范围。xAOyB4、如图.在平面直角坐标系中.一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限相交于点A。过点A分别作x轴、y轴的垂线.垂足为B、C。如果四边形OBAC是正方形xAOyB反比例函数综合检测题一、选择题〔每小题3分.共30分1、反比例函数y＝图象经过点〔2.3.则n的值是〔．A、－2B、－1C、0D、12、若反比例函数y＝〔k≠0的图象经过点〔－1.2.则这个函数的图象一定经过点〔．A、〔2.－1B、〔－.2C、〔－2.－1D、〔.23、已知甲、乙两地相距〔km.汽车从甲地匀速行驶到乙地.则汽车行驶的时间〔h与行驶速度〔km/h的函数关系图象大致是〔tt/hv/<km/h>Ot/hv/<km/h>Ot/hv/<km/h>Ot/hv/<km/h>OA．B．C．D．4、若y与x成正比例.x与z成反比例.则y与z之间的关系是〔．A、成正比例B、成反比例C、不成正比例也不成反比例D、无法确定5、一次函数y＝kx－k.y随x的增大而减小.那么反比例函数y＝满足〔．A、当x＞0时.y＞0B、在每个象限内.y随x的增大而减小C、图象分布在第一、三象限D、图象分布在第二、四象限6、如图.点P是x轴正半轴上一个动点.过点P作x轴的垂线PQ交双曲线y＝于点Q.连结OQ.点P沿x轴正方向运动时.Rt△QOP的面积〔．A、逐渐增大B、逐渐减小C、保持不变D、无法确定7、在一个可以改变容积的密闭容器内.装有一定质量m的某种气体.当改变容积V时.气体的密度ρ也随之改变．ρ与V在一定范围内满足ρ＝.它的图象如图所示.则该气体的质量m为〔．A、1.4kgB、5kgC、6.4kgD、7kg8、若A〔－3.y1.B〔－2.y2.C〔－1.y3三点都在函数y＝－的图象上.则y1.y2.y3的大小关系是〔．A、y1＞y2＞y3B、y1＜y2＜y3C、y1＝y2＝y3D、y1＜y3＜y29、已知反比例函数y＝的图象上有A〔x1.y1、B〔x2.y2两点.当x1＜x2＜0时.y1＜y2.则m的取值范围是〔．A、m＜0B、m＞0C、m＜D、m＞10、如图.一次函数与反比例函数的图象相交于A、B两点.则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是〔．A、x＜－1B、x＞2C、－1＜x＜0或x＞2D、x＜－1或0＜x＜2二、填空题〔每小题3分.共30分11.某种灯的使用寿命为1000小时.它的可使用天数与平均每天使用的小时数之间的函数关系式为.12、已知反比例函数的图象分布在第二、四象限.则在一次函数中.随的增大而〔填"增大"或"减小"或"不变"．13、若反比例函数y＝和一次函数y＝3x＋b的图象有两个交点.且有一个交点的纵坐标为6.则b＝．14、反比例函数y＝〔m＋2xm－10的图象分布在第二、四象限内.则m的值为．15、有一面积为S的梯形.其上底是下底长的.若下底长为x.高为y.则y与x的函数关系是．16、如图.点M是反比例函数y＝〔a≠0的图象上一点.过M点作x轴、y轴的平行线.若S阴影＝5.则此反比例函数解析式为．17、使函数y＝〔2m2－7m－9xm－9m＋19是反比例函数.且图象在每个象限内y随x的增大而减小.则可列方程〔不等式组为．18、过双曲线y＝〔k≠0上任意一点引x轴和y轴的垂线.所得长方形的面积为______．19.如图.直线y＝kx<k＞0>与双曲线交于A〔x1.y1.B〔x2.y2两点.则2x1y2－7x2y1＝___________．20、如图.长方形AOCB的两边OC、OA分别位于x轴、y轴上.点B的坐标为B〔－.5.D是AB边上的一点.将△ADO沿直线OD翻折.使A点恰好落在对角线OB上的点E处.若点E在一反比例函数的图象上.那么该函数的解析式是．三、解答题〔共60分21、〔8分如图.P是反比例函数图象上的一点.且点P到x轴的距离为3.到y轴的距离为2.求这个反比例函数的解析式．22、〔9分请你举出一个生活中能用反比例函数关系描述的实例.写出其函数表达式.并画出函数图象．举例：函数表达式：23、〔10分如图.已知A〔x1.y1.B〔x2.y2是双曲线y＝在第一象限内的分支上的两点.连结OA、OB．〔1试说明y1＜OA＜y1＋；〔2过B作BC⊥x轴于C.当m＝4时.求△BOC的面积．24、〔10分如图.已知反比例函数y＝－与一次函数y＝kx＋b的图象交于A、B两点.且点A的横坐标和点B的纵坐标都是－2．求：〔1一次函数的解析式；〔2△AOB的面积．25、〔11分如图.一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于M、N两点．〔1求反比例函数与一次函数的解析式；〔2根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．26、〔12分如图.已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝ax＋b的图象交于M〔2.m和N〔－1.－4两点．〔1求这两个函数的解析式；〔2求△MON的面积；〔3请判断点P〔4.1是否在这个反比例函数的图象上.并说明理由．参考答案:一、1、D2、A3、C4、B5、D6、C7、D8、B9、D10、D．二、11、y＝12、减小13、514、－315、y＝16、y＝－17、；18、|k|；19、20；20、y＝－．三、21、y＝－．22、举例：要编织一块面积为2米2的矩形地毯.地毯的长x〔米与宽y〔米之间的函数关系式为y＝〔x＞0．x…12…y…421…〔只要是生活中符合反比例函数关系的实例均可画函数图象如右图所示．23、〔1过点A作AD⊥x轴于D.则OD＝x1.AD＝y1.因为点A〔x1.y1在双曲线y＝上.故x1＝.又在Rt△OAD中.AD＜OA＜AD＋OD.所以y1＜OA＜y1＋；〔2△BOC的面积为2．24、〔1由已知易得A〔－2.4.B〔4.－2.代入y＝kx＋b中.求得y＝－x＋2；〔2当y＝0时.x＝2.则y＝－x＋2与x轴的交点M〔2.0.即|OM|＝2.于是S△AOB＝S△AOM＋S△BOM＝|OM|·|yA|＋|OM|·|yB|＝×2×4＋×2×2＝6．25、〔1将N〔－1.－4代入y＝.得k＝4．∴反比例函数的解