对坐标曲线积分

一、对坐标的曲线积分的概念与性质二、对坐标的曲线积分的计算法三、两类曲线积分之间的联系机动目录上页下页返回结束对坐标的曲线积分

第十一章

2021/5/91复习、对弧长的曲线积分的概念与性质机动目录上页下页返回结束设是空间中一条有限长的光滑曲线,义在上的一个有界函数,都存在,上对弧长的曲线积分,记作若通过对的任意分割局部的任意取点,下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.称为被积函数，

称为积分弧段.和对2021/5/92如果L是xoy

面上的曲线弧,如果L

是闭曲线,则记为则定义对弧长的曲线积分为机动目录上页下页返回结束2021/5/93

性质（k为常数)(

由组成)(l为曲线弧

的长度)机动目录上页下页返回结束2021/5/94二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路:计算定积分转化定理:且上的连续函数,是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分机动目录上页下页返回结束2021/5/95如果曲线L的方程为则有如果方程为极坐标形式:则推广:

设空间曲线弧的参数方程为则机动目录上页下页返回结束2021/5/96练习.

设

C

是由极坐标系下曲线及所围区域的边界,求提示:

分段积分机动目录上页下页返回结束2021/5/972.

L为球面面的交线,求其形心.在第一卦限与三个坐标解:

如图所示,交线长度为由对称性,形心坐标为机动目录上页下页返回结束2021/5/98一、对坐标的曲线积分的概念与性质1.

引例:

变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在xoy

平面内从点A沿光滑曲线弧L

移动到点B,求移“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”变力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.机动目录上页下页返回结束2021/5/991)“大化小”.2)“常代变”把L分成n个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F

沿则用有向线段上任取一点在机动目录上页下页返回结束2021/5/9103)“近似和”4)“取极限”(其中为n

个小弧段的最大长度)机动目录上页下页返回结束2021/5/9112.定义.设

L

为xoy

平面内从A到B的一条有向光滑弧,若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分.其中,L

称为积分弧段或积分曲线.称为被积函数,在L上定义了一个向量函数极限记作机动目录上页下页返回结束2021/5/912若为空间曲线弧,记称为对x的曲线积分;称为对y的曲线积分.若记,对坐标的曲线积分也可写作类似地,机动目录上页下页返回结束2021/5/9133.性质(1)若L

可分成k条有向光滑曲线弧(2)用L－

表示L的反向弧,则则

定积分是第二类曲线积分的特例.说明:

对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向

!机动目录上页下页返回结束2021/5/914二、对坐标的曲线积分的计算法定理:在有向光滑弧L上有定义且L的参数方程为则曲线积分连续,证明:

下面先证存在,且有机动目录上页下页返回结束2021/5/915对应参数设分点根据定义由于对应参数因为L为光滑弧,同理可证机动目录上页下页返回结束2021/5/916特别是,如果L

的方程为则对空间光滑曲线弧:类似有定理目录上页下页返回结束2021/5/917例1.计算其中L为沿抛物线解法1

取x

为参数,则解法2取y

为参数,则从点的一段.机动目录上页下页返回结束2021/5/918例2.计算其中L为(1)半径为a

圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点

B(–a,0).解:(1)取L的参数方程为(2)取L的方程为则则机动目录上页下页返回结束2021/5/919例3.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3)有向折线

解:

(1)原式(2)原式(3)原式机动目录上页下页返回结束2021/5/920例4.设在力场作用下,质点由沿移动到解:(1)(2)

的参数方程为试求力场对质点所作的功.其中为机动目录上页下页返回结束2021/5/921例5.求其中从

z

轴正向看为顺时针方向.解:取的参数方程机动目录上页下页返回结束2021/5/922三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧L

以弧长为参数

的参数方程为已知L切向量的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系机动目录上页下页返回结束2021/5/923类似地,在空间曲线

上的两类曲线积分的联系是令记A

在t

上的投影为机动目录上页下页返回结束2021/5/924例6.将积分化为对弧长的积分,解：其中L沿上半圆周机动目录上页下页返回结束2021/5/9251.定义2.性质(1)L可分成k

条有向光滑曲线弧(2)L－

表示L的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!内容小结机动目录上页下页返回结束2021/5/9263.计算•对有向光滑弧•

对有向光滑弧机动目录上页下页返回结束2021/5/9274.两类曲线积分的联系•

对空间有向光滑弧

:机动目录上页下页返回结束2021/5/928原点O

的距离成正比,思考与练习1.设一个质点在处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到提示:F

的大小与M到原F

的方向力F的作用,求力F

所作的功.思考:

若题中F的方向改为与OM垂直且与

y

轴夹锐角,则机动目录上页下页返回结束2021/5/9292.

已知为折线ABCOA(如图),计算提示:机动目录上页下页返回结束2021/5/930备用题

1.解:线移动到向坐标原点,其大小与作用点到xoy

面的距离成反比.沿直求F所作的功W.已知F

的方向指一质点在力场F

作用下由点机动目录上页下页返回结束2021/5/9312.

设曲线C为曲面与曲面从ox

轴正向看去为逆时针方向,(1)写出曲线C

的参数方程;(2)计算曲线积分解:(1)机动目录上页下页返回