2024届新高考一轮复习湘教版 5-4 平面向量的综合应用 学案

第四节平面向量的综合应用关键能力·题型突破题型一向量与平面几何例1(1)在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形(2)[2023·辽宁沈阳模拟]如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，BC＝2，P是线段AB上的动点，则|PC＋4PD|的最小值为()A．35B．6C．25D．4题后师说平面几何问题的向量解法巩固训练1(1)如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，BC＝4BE，则CA·DE＝()A．43B．－C．－558D．－(2)若△ABC是边长为2的等边三角形，AD为BC边上的中线，M为AD的中点，则MA·(MB+MC)的值为题型二向量与三角函数例2设向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3sinx，sinx)．(1)若a∥b，求cos2x的值；(2)设函数f(x)＝(b－a)·a，x∈[－π，π]，求f(x)的零点．题后师说向量与三角函数综合问题的解法解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键：准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数问题解决．巩固训练2已知a＝(sin2x，cos2x)，b＝(3，2)，f(x)＝a·b－1＋m的最大值为2.(1)求函数f(x)的最小正周期及m的值；(2)若x∈0，π2，求出当x取何值时函数f(题型三向量与解三角形例3[2023·河北秦皇岛模拟]已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C所对的边，向量m＝(a－b，c－a)，n＝(sinB，sinA＋sinC)，且m⊥n.(1)求角C；(2)若sinB<sinC，b＝4，D为BC的中点，AD＝13，求△ABC的面积．题后师说向量与解三角形综合问题的解题策略巩固训练3[2023·广东广州模拟]在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足bcosB+C2＝asinB(1)求A；(2)若a＝19，BA·AC＝3，AD是△ABC的中线，求AD专题突破❺平面向量与三角形的“四心”微专题1平面向量与三角形的重心(1)三角形的重心：三角形的三条中线的交点．(2)O是△ABC的重心⇔OA+OB例1已知O是△ABC所在平面上的一点，若PO＝13(PA+PB+PC)(其中P为平面上任意一点)，则点OA．外心B．内心C．重心D．垂心微专题2平面向量与三角形的垂心(1)三角形的垂心：三角形的三条高线的交点．(2)O是△ABC的垂心⇔OA·OB＝OB·OC＝OC·OA.例2已知点O为△ABC所在平面内一点，且OA2＋BC2＝OB2＋CA2＝OC2＋AB2，则点O一定为A．外心B．内心C．重心D．垂心微专题3平面向量与三角形的外心(1)三角形的外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)．(2)O是△ABC的外心⇔|OA|＝|OB|＝|OC|(或OA2＝OB2＝OC例3已知点O是△ABC所在平面上的一点．若(OA+OB)·AB＝(OB+OC)·BC＝(OC+OA)·CA＝0，则点O是A．外心B．内心C．重心D．垂心微专题4平面向量与三角形的内心(1)三角形的内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)．(2)O是△ABC的内心⇔OA·(ABAB-ACAC)＝OB·(BABA-BCBC)例4O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：OP＝OA＋λ(ABAB+ACAC)，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABCA．内心B．垂心C．重心D．外心第四节平面向量的综合应用关键能力·题型突破例1解析：(1)∵AN·MN＝(AD+DN)·(MC+CN)＝(AD+＝13|AD|2－316|AB|2＝13×9－316∴AN⊥MN，∴△AMN是直角三角形．故选C.(2)如图，以点B为坐标原点，建立平面直角坐标系，设AB＝a，BP＝x(0≤x≤a)，因为AD＝1，BC＝2，所以P(0，x)，C(2，0)，D(1，a)，所以PC＝(2，－x)，PD＝(1，a－x)，4PD＝(4，4a－4x)，所以PC＋4PD＝(6，4a－5x)，所以|PC＋4PD|＝36+4a-5x2≥所以当4a－5x＝0，即x＝45a时，|PC＋4PD|的最小值为故选B.答案：(1)C(2)B巩固训练1解析：(1)以CD的中点O为原点，建立平面直角坐标系，如图所示：依题意可得D(－32，0)，C(32，0)，A(－1，152)，E(98所以CA＝(－52，152)，DE＝故CA·DE＝－52×21故选B.(2)已知△ABC是边长为2的等边三角形，AD为BC边上的中线，M为AD的中点，则AM＝MD＝32，AM又MB+MC＝2则MA·(MB+MC)＝－2MA2＝－2×(32)2答案：(1)B(2)－3例2解析：(1)由a∥b，得cosxsinx－3sin2x＝0，所以sinx＝0或cosx＝3sinx，若sinx＝0，则cos2x＝1－2sin2x＝1.若cosx＝3sinx，又sin2x＋cos2x＝1，则sin2x＝14，cos2x＝1－2sin2x＝12.综上，cos2x的值为1或(2)f(x)＝b·a－a2＝3sinxcosx＋sin2x－1＝32sin2x＋1-cos2x2－1＝sin(2x－π令f(x)＝0，得sin(2x－π6)＝12，又x∈[－π，π]，知2x－π6则2x－π6＝－11π6，－7π6，π6，5π6巩固训练2解析：(1)f(x)＝3sin2x＋2cos2x－1＋m＝3sin2x＋cos2x＋m＝2(32sin2x＋12cos2x)＋m＝2(cosπ6sin2x＋sinπ6cos2＝2sin(2x＋π6)＋m∴T＝2πω＝2π2＝f(x)的最大值为2×1＋m＝2，解得m＝0.(2)由(1)得f(x)＝2sin(2x＋π6)∵x∈0，π2，∴2x＋π∴当2x＋π6＝7π6时，即x＝π2时，f(x)min＝2×(－1例3解析：(1)因为m⊥n，所以(a－b)×sinB＋(sinA＋sinC)(c－a)＝0，由正弦定理得(a－b)×b＝(a＋c)(a－c)．即a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理得cosC＝a2+b因为0<C<π，所以C＝π3(2)在三角形ADC中，AD2＝AC2＋CD2－2AC·CDcos∠ACD，即13＝16＋CD2－4CD，解得CD＝1或CD＝3，即a＝2或a＝6，因为sinB<sinC，故B<C，因为C＝π3，所以A>C>B，故a>c>b，所以a＝6所以S△ABC＝12absinC＝12×6×4×32＝巩固训练3解析：(1)cosB+C2＝cos(π2-A2)∴bsinA2＝asinB由正弦定理得sinBsinA2＝sinAsinB∵sinB≠0，∴sinA2＝sinA∴sinA2＝2sinA2cosA2，∵A∈(0，π)，A2∈(0∴sinA2≠0得cosA2＝12，即A2∴A＝2π3(2)∵BA·AC＝3，∴bccos(π－A)＝3，得bc＝6，由余弦定理得b2＋c2＝a2＋2bccosA＝13，AD＝12(∴|AD|2＝14(AB+AC)2＝14(c2＋b2＋2bccos∴|AD|＝72即AD的长为72专题突破❺平面向量与三角形的“四心”例1解析：由已知得3PO＝OA-所以3PO＋3OP＝OA+即OA+OB+所以点O是△ABC的重心．故选C.答案：C例2解析：因为OA2＋BC2＝OB2所以OA2－OB2＝CA2所以(OA-OB)·(OA+OB)＝(CA+BC所以BA·(OA+OB)＝BA·(CA所以BA·(OA+OB-CA所以BA·(OA+AC+OC所以BA·OC＝0，所以BA⊥OC.同理可得CA⊥OB，CB⊥所以O为△ABC的垂心．故选D.答案：D例3解析：(OA+OB)·(OB-OA)＝(OB+OC)·(O