随机系统的建模与仿真

随机系统的建模与仿真第一页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.1

随机系统基本知识6.1.1

随机系统概述1随机事件与随机变量随机事件:在随机实验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复实验中具有某种规律性的事件。随机变量:设S为随机实验，它的样本空间为，对于每一个，有一个实数与之对应，则就称之为随机变量。第二页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.1

随机系统基本知识(续）2随机过程、样本函数随机过程(StochasticProcess)：设（）是随机实验，每一次实验都有一条时间波形（称为样本函数），记为，所有可能出现的结果总体就构成一随机过程，记作。如图6-1所示。第三页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.1

随机系统基本知识(续）图6-1样本函数的总体----随机过程第四页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.1

随机系统基本知识(续）6.1.2

随机变量的统计特性均值概率密度函数概率分布函数均方根均方值随机变量的统计特性方差第五页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.1

随机系统基本知识(续）1概率密度函数概率密度函数表示每个值发生的可能性，即每个事件发生的概率分布，表示其中一个事件。概率密度函数的性质如下(6.1)(6.2)第六页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.1

随机系统基本知识(续）2概率分布函数随机变量的概率分布函数是指变量的值小于或者等于的随机变量的概率。定义为 (6.3)如果有两个随机变量，则可以用联合概率分布函数及联合概率密度函数来加以描述，定义如下：联合概率分布函数

(6.4)联合概率密度函数

(6.5)第七页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.1

随机系统基本知识(续）3均值、均方值、均方根随机变量的均值定义为

(6.6)随机变量的均方值定义为

(6.7)随机变量的均方根定义为

(6.8)第八页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.1

随机系统基本知识(续）4方差随机变量的方差定义为

(6.9)第九页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.1

随机系统基本知识(续）泊松分布指数分布正态分布分布类型均匀分布

分布爱尔朗分布常用的几种概率分布第十页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.1

随机系统基本知识(续）(1)均匀分布若在区间中，连续型随机变量的概率密度函数为

（6.10）则称在区间上服从均匀分布，记作。第十一页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.1

随机系统基本知识(续）均匀分布的概率密度函数和分布函数可用图6-2的曲线表示。图6-2均匀分布的分布曲线第十二页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.1

随机系统基本知识(续）(2)正态分布正态分布又称为高斯分布，是最常用的一种连续分布。若连续型随机变量的概率密度函数为

(6.12)其中为大于零的常数，则称服从参数的正态分布，记作。第十三页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.1

随机系统基本知识(续）(3)泊松分布若离散型随机变量的概率分布为

(6.13)其中为常数，则称服从参数的泊松分布，记作。其中参数为泊松分布随机变量的均值和方差。第十四页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.1

随机系统基本知识(续）(4)指数分布若连续型随机变量的概率密度函数为

(6.14)其中为常数，则称服从参数的指数分布。第十五页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.1

随机系统基本知识(续）（a）指数分布的曲线(b)指数分布的曲线图6-5指数分布曲线第十六页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.1

随机系统基本知识(续）(5)分布和爱尔朗分布以p为参数的广义积分，当p>0时收敛，它所确定的函数p称为的函数，记作若随机变量的概率密度函数为

(6.16)其中p>0为常数，则称X服从a,p参数的分布。第十七页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.1

随机系统基本知识(续）k个相互独立，具有相同分布的指数分布随机变量之和服从爱尔朗分布。即若有k个相互独立的机变量，其概率密度函数为第十八页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.1

随机系统基本知识(续）那么，随机变量

其概率密度函数为第十九页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.1.3

随机过程的统计特性12频域特性

3自相关域特性

幅值域(时域)特性第二十页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.1.3

随机过程的统计特性(续）1.幅值域(时域)特性对于各态历经平稳随机过程（即平稳随机过程的数据特征与一个样本函数的时间平均数据特征相同），随机过程统计特性可以简化为的时间统计特性。统计特性有:第二十一页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.1.3

随机过程的统计特性(续）(1)均值

(6.18)(2)方差

(6.19)(3)均方值

(6.20)第二十二页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.1.3

随机过程的统计特性(续）2.自相关域特性自相关函数是对随机过程在相关域上的特性描述。它表征随机过程在一个时刻和另一时刻采样值之间的相互依赖程度，即表征信号随机变化的程度。对于平稳随机过程，有自相关函数(6.21)

第二十三页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.1

随机系统基本知识(续）反映了在时刻和的值和的相关性，或者说已知，的可预见性。自相关函数大，则变化缓慢，由预见的可能性大；自相关函数小，则相反。

是一个偶函数，即，并且在时有最大值，即。第二十四页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.1.3

随机过程的统计特性(续）3.频域特性功率谱密度是对随机过程在频域上的特性描述，它是自相关函数的傅里叶变换，有功率谱密度函数

(6.22)其逆变换为

(6.23)第二十五页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.1.3

随机过程的统计特性(续）以上两式构成傅里叶变换对，称为维纳-辛钦公式。

功率谱密度函数表示随机过程的均方值（总能量）在频率域内的分布情况。第二十六页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.1.4

白噪声的统计特性白噪声是最简单的一种随机过程。所谓白噪声是指它的自相关函数为一理想脉冲函数，它的功率谱密度是一个常数。有

(6.24)

(6.25)式中为白噪声的方差，为脉冲函数。第二十七页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.1.4

白噪声的统计特性从频域角度看，白噪声的能量在整个频谱上均匀分布。如图6-6所示。图6-6白噪声的自相关函数及功率谱密度第二十八页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.1.4

白噪声的统计特性(续）白噪声只有理论上的价值，实际上只有近似的白噪声，即在系统感兴趣的频带之内是一个常数，而也只是近似于一个脉冲。如图6-7所示。第二十九页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.1.4

白噪声的统计特性(续）图6-7近似白噪声的自相关函数及功率谱密度第三十页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.2

随机系统模型简介假设某一随机系统为一线性时变系统，其数学模型可用状态方程描述

(6.26)式中：为系统的状态变量；为随机初值；为系统输出；为外界扰动,为随机变量；为系数矩阵,为确定量；为输入矩阵，为确定量；为输出矩阵，为确定量；为系统参数随机误差；亦为系统参数随机误差。第三十一页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.2

随机系统模型简介（续）指数相关的随机过程

常见的随机系统模型随机常数

随机斜坡

随机游动

组合模型

自回归-滑动平均模型

第三十二页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.3随机变量的分布参数估计1.分布参数的类型位置参数形状参数比例参数第三十三页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.3随机变量的分布参数估计（续）(1)位置参数位置参数确定了一个分布函数取值范围的横坐标。(2)比例参数比例参数决定分布参数在其取值范围内取值的比例尺。(3)形状参数形状参数确定分布参数的形状，从而改变分布参数的性质。

第三十四页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.3随机变量的分布参数估计（续）2.分布参数的估计总体参数：已知仿真模型中随机模型的分布类型，为完全确定一个分布所需要确定的分布类型中所含参数的数值参数空间：总体参数可能取值的范围参数估计：已知被仿真实际系统随机变量的实际数据,根据这些数据对分布类型中的未知总体参数进行估计的过程第三十五页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.3随机变量的分布参数估计（续）参数估计问题的实质：给出一组分布函数，只知道其中有一个是总体分布函数，但不知道究竟是哪一个，需要根据样本来估计这个实际的总体分布。分布参数的方法：最大似然估计，最小二乘估计，无偏估计等第三十六页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.4

随机系统的仿真方法6.4.1

蒙特卡罗仿真法定义：蒙特卡罗法是一种通过随机变量的统计实验、随机仿真来求解数学物理、工程技术问题近似解的数值方法。1.蒙特卡罗方法概述第三十七页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.4

随机系统的仿真方法（续）步骤：第一，建立随机系统模型；第二，多次循环仿真，记录每次仿真的主要结果；第三，多次仿真结果的后处理，计算统计特性，如均值、方差、频谱或相关函数。第三十八页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.4

随机系统的仿真方法（续）特点：第一，适应线性系统和非线性系统，使用限制条件少；第二，仿真工作量大。尤其系统存在多种随机因素，而且想得到每种因素对系统的影响时更为繁琐。第三十九页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.4

随机系统的仿真方法（续）2.蒙特卡罗方法的概率收敛性根据大数定律，是个独立的随机变量，它们有相同的分布，且有相同的有限期望和方差，。则对于任意，有

(6.30)第四十页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.4

随机系统的仿真方法（续）由伯努利定理说明，设随机事件A的概率为P(A)，在N次独立实验中，事件A发生的频数为n，频率为n/N，则对于任意的，有

(6.31)第四十一页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.4

随机系统的仿真方法（续）蒙特卡罗方法从总体抽取简单子样做抽样实验，根据简单子样的定义，为具有同分布的独立随机变量当N足够大时，以概率1收敛于，而频率以概率1收敛于，这就保证了使用蒙特卡罗方法的概率收敛性。第四十二页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.4

随机系统的仿真方法（续）6.4.2

伴随系统仿真法定义：将原系统转变成它的伴随系统，再用伴随系统仿真代替原系统仿真的一种仿真方法。第四十三页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.4

随机系统的仿真方法（续）特点：第一，只适用于线性时变或非时变系统；第二，一次仿真可以得到系统的统计特性，因而仿真工作量小；第三，当系统存在多个干扰时，一次仿真可以获得每个干扰引起的系统响应的分量第四十四页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.4

随机系统的仿真方法（续）1.伴随系统

伴随系统是原系统的共轭系统，共轭是指时间上和输入/输出间的共轭。

假定用以下状态方程

(6.32)代表一个线性时变系统。

第四十五页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.4

随机系统的仿真方法（续）为维系统状态变量，为维输入，为维输出，，，分别为，，维实数阵，分别为系统的开始及结束运行时间。第四十六页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.4

随机系统的仿真方法（续）如果上式是原系统状态方程，它的伴随系统状态方程为

(6.33)

因此，如果知道原系统模型，就可以按式(6.33)求出它的伴随系统模型。第四十七页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.4

随机系统的仿真方法（续）2.伴随系统的性质假定为原系统的脉冲响应过渡函数，这里和分别为系统响应的观察时间和脉冲加入时间。再假定为其伴随系统的脉冲响应过渡函数，和分别为伴随系统响应的观察时间和脉冲加入时间。可以证明两个系统的脉冲响应过渡函数和有以下关系

(6.34)第四十八页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.4

随机系统的仿真方法（续）3.伴随系统的仿真对于随机过程作用下的线性系统，输入输出间关系的时域和频率域表示如图6-13所示(a)线性系统的时域表示(b)线性系统的频域表示图6-13随机过程与线性系统第四十九页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.4

随机系统的仿真方法（续）根据工程数学的知识，可用卷积表示系统输入输出间的关系，即

(6.38)由上式得的均方值表达式为

(6.39)上式反映了系统输入输出间的时域关系。第五十页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.5

几种常见的模型1.随机常数一个连续随机常数可表示为

(6.43)与其相应的离散过程为

(6.44)第五十一页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.5

几种常见的模型(续）随机常数表示初始条件是一个随机变量，因而相当于一个没有输入但有随机初始值的积分器的输出，如图6-15所示。图6-15

随机常数第五十二页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.5

几种常见的模型(续）2.随机斜坡

随机过程随时间线性增长，但是增长的斜率则是具有一定概率分布的随机量。图6-16为其结构图

(6.45)图6-16随机斜坡第五十三页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.5

几种常见的模型(续）3.随机游动

如果输入的白噪声过程具有零均值和平稳的正态分布，则输出就称为维纳过程，也称作随机游动。

(6.47)第五十四页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.5

几种常见的模型(续）式中。图6-17为其结构图。图6-17随机游动第五十五页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.5

几种常见的模型(续）4.指数相关的随机过程

随机过程具有如下指数型相关函数

(6.49)式中，为随机过程的方差，为过程的相关时间。显然这是一个一阶马尔可夫过程。

第五十六页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.5

几种常见的模型(续）5.组合模型

图6-19所示随机过程为由随机常数、随机游动、随机斜坡以及一阶马尔可夫过程组合而成。图6-19组合模型第五十七页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.5

几种常见的模型(续）6.自回归-滑动平均模型（ARMA）

设时间序列，其自回归-滑动平均模型表示为

(6.57)第五十八页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.5

几种常见的模型(续）式中，p为自回归阶次，q为滑动平均阶次，为平均值，。当时p=0，为滑动平均模型（MA模型）；当q=0时为自回归模型（AR模型）。第五十九页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.6系统辨识6.6.1

系统辨识的概念与分类概念：系统辨识是一种借助实验输入—输出观测数据确定过程动态品质或系统结构和参数的理论与技术。第六十页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.6系统辨识（续）分类：根据描述系统数学模型的不同可分为线性系统和非线性系统辨识、集中参数系统和分布参数系统辨识；根据系统的结构可分为开环系统与闭环系统辨识；根据参数估计方法可分为离线辨识和在线辨识等。第六十一页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.6系统辨识（续）6.6.2

系统辨识的内容和步骤研究内容：①实验设计；②模型结构确定；③模型参数估计；④模型验证。辨识内容及步骤如图6-20所示。第六十二页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.6系统辨识（续）图6-20

系统辨识的一般步骤第六十三页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.6系统辨识（续）一般步骤：(1)明确辨识目的(2)掌握和运用先验知识(3)实验设计(4)数据预处理(5)模型结构辨识(6)模型参数估(7)模型验证计第六十四页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.6系统辨识（续）6.6.3

系统辨识建模方法线性系统的辨识理主要方法：最小二乘法，递推最小二乘法，广义最小二乘法，增广最小二乘法，辅助变量法，Kalman滤波法，极大似然法等。

第六十五页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.6系统辨识（续）对于一个单输入单输出的线性定常系统，通常可以用一个离散时间的差分方程来描述，即(6.59)式中，和式系统实际测量到的输入输出序列；是零均值具有相同分布的不相关的随机序列；n表示系统的阶次。第六十六页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.6系统辨识（续）每一个观测方程可以表示为

(6.60)若观测方程组用向量-矩阵的形式表示，则可写成

(6.61)第六十七页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.6系统辨识（续）式(6.59)和式(6.60)可称为最小二乘模型类，它们最后都要变成式(6.61)。它可称为最小二乘的标准格式。第六十八页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.6系统辨识（续）2.系统参数与状态估计的极大似然法

设是一个随机变量，其概率密度依赖于某未知参数。为了由观测值估计，要选取使似然函数极大化的那个值。如果对所有的值，是中的最大值，那么是准确的参数值的可能性就最大。这时，我们就称是的极大似然估计，并记为。第六十九页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.6系统辨识（续）3.系统模型结构的辨识和检验

系统模型好坏的关键首先在于模型结构是否正确。根据AIC准则和SIC准则判别阶数的思想，文献[2]提出一种非线性系统模型多项式“阶数”的判别准则为

(6.88)第七十页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.6系统辨识（续）其中表示当多项式的“阶数”为n时系统模型误差的方差，和为两个加权系数，的取值表示了模型误差和模型简化之间的折衷关系，如图6-21所示

。第七十一页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.6系统辨识（续）图6-21NLC(n)准则函数第七十二页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.7

随机系统建模与仿真实例路面是一个典型的随机系统，通常把路面相对基准平面的高度，沿道路走向长度I变化q(I)，称为路面纵断面曲线或不平度函数，如图6-22所示。

图6-22路面纵断面曲线第七十三页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.7

随机系统建模与仿真实例（续）在利用路面随机高程作为激励信号对车辆的振动进行仿真研究时，为保证仿真结果的真实可信，对于仿真研究中生成的路面不平度（随机高程）需要进行验证，以确保对车辆模型输入激励的正确。第七十四页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.7

随机系统建模与仿真实例（续）当车速恒定时，路面不平度服从高斯概率分布，为具有零均值的平稳各态历经特性随机过程，可以用路面的功率谱密度(PSD)函数和方差来描述其统计特性。6.7.1

路面激励和空间频率功率谱第七十五页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.7

随机系统建模与仿真实例（续）路面功率谱密度Gq(n)的拟合表达式为

(6.89)式中：n——空间频率（），它是波长λ的倒数，表示每米长度中包含几个波长；

=0.1——参考空间频率，；第七十六页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.7

随机系统建模与仿真实例（续）Gq(

)——

下的路面功率谱密度值，称为路面不平度系数，；w——频率指数，为双对数坐标上斜线的斜率，它决定路面功率谱密度频率结构。第七十七页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.6系统辨识（续）同时，每种路面的均方根值来描述路面随机激励信号的强度或平均功率

(6.90)第七十八页，共八十九页，编辑于2023年，星期四6.6系统辨识（续）对于汽车振动系统而言，车速是必须要考虑的一个因素。当汽车以车速μ驶过空间频率n的路面时，时间频率功率谱密度和空间频率功率谱密度具有如下关系