第二信号检测与估计理论2

柏拉图当前第1页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/141柏拉图回到雅典，创办了哲学学校，这就是著名的阿卡德米学园（也称柏拉图学园）。门口写着“不懂几何者不得入内”。当前第2页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/142亚里士多德(Aristotle)

(B.C.384–B.C.322)当前第3页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/143雅典学院拉斐尔①

②

③

当前第4页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/144③毕德哥拉斯②苏格拉底①柏拉图（左）与亚里士多德（右）回提纲当前第5页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/145“吾爱吾师，吾尤爱真理。”－－亚里士多德19世纪法国莫森在真理女神的周围围绕着象征着天文（天球仪）、音乐（七弦琴）、美术（画板）的三位人物以及纯洁的小爱神，手持镜子，预示着光明和智慧与她同在。

哈佛校训是拉丁文“Amicus

Plato，AmicusAristotle，

sedMagisVERITAS”。意思是“与柏拉图为友，与亚里士多德为友，更要与真理为友”。哈佛校徽上的文字，就是真理一

词的拉丁文“Veritas”。《真理》19世纪法国朱里斯.约瑟夫.利弗贝尔当前第6页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/146实事求是的科学精神

当前第7页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/147科学求实精神的几个主要“敌人”当前第8页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/1481.浮躁

浮躁是科学求实的最大敌人，特别是在社会转型时期。今天接到了一个电话，张三赚了大钱；明天又知道了一个信息：李四升迁很快。向左看，王五不费吹灰之力写出了论文；向右看陈六虚夸却得到了媒体的报道。

当前第9页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/149在这样的环境下，坐不下身子，静不下心境。做第一个题目嫌难度太大，做第二个题目又觉前途不明，朝三暮四，心猿意马。在浮躁的情绪，急于求成的心理支配下，时间却在悄悄流失，长期未得到成绩的境况下于是想到“弄虚作假”。因此，浮躁和虚假往往是一对孪生兄弟。

当前第10页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/14102.虚荣

我们常常有这样的感觉：自己能力一般而且又不肯下功夫。但是由于面子，由于不甘人后，又希望出“惊人的成果”。明明是三层楼的水平，非要把自己架到五层楼，“虚荣之下，其实难符”。生长在虚荣的环境中，自己终日难受。老百姓说，虚荣使人“打肿脸充胖子”。是否可以这样说：“虚假是虚荣的必然归宿”。

当前第11页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/14113.偏见

人们的偏见是十分危险的。偏见会使十分明显的事实视而不见，而对于善意的忠告充耳不闻。在58年大跃进时代，并不是没有人反映，当彭德怀元帅视察湖南时，一位老红军递上一个纸条，反映了浮夸作风和农民的痛苦，希望元帅为民“鼓咙胡”。他写道

“谷撒地，薯叶枯，轻壮炼铁去，收获童与姑，来年日子怎么过，请为人民鼓咙胡。”

正是偏见挡住了我们的双目，塞住了我们的双耳，偏见是求实的大敌。

当前第12页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/14124.随风

“风向”是求实求真理的另一敌人。在刮大风的时候，要做到像郑板桥所说的：“咬定青山不放松，立根原在破岩中。千磨万击还坚劲，任尔东南西北风。”

是十分困难。

在刮风时，不求实是为了群众观点；在刮风时，不求实是为了小集体利益；刮风时，不求实是为了不当叛徒。大家都把“鹿”说成是“马”，你怎么办？

当前第13页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/14135.名利

不求实说到底是名和利两个字在作怪。

但是，面对那些宁折腰而坚持求实的科

学家，面对杰出工人代表许振超的脚踏实

地，于平凡处创奇迹的精神，我们只有惭

愧，我们只有反思，我们只有暗下决心：

当前第14页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/1414皇帝的新装当前第15页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/14152.2.7随机变量的特征函数1特征值的引入矩阵理论量子力学(波动力学/矩阵力学)

量子力学中,矩阵代表力学量,矩阵的特征向量代表定态波函数,矩阵的特征值代表力学量的某个可能的观测值.2特征值的定义当前第16页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/1416当前第17页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/1417当前第18页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/1418傅里叶变换思想1768年生于法国1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数的级数表示”1822年发表“热的分析理论”，首次提出“任何非周期信号都可用正弦函数的积分表示”当前第19页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/1419特征函数的引入

当前第20页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/1420当前第21页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/1421当前第22页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/1422当前第23页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/1423当前第24页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/1424当前第25页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/1425当前第26页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/1426当前第27页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/1427当前第28页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/1428当前第29页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/1429当前第30页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/1430当前第31页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/1431当前第32页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/1432当前第33页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/1433当前第34页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/1434当前第35页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/1435当前第36页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/1436当前第37页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/1437当前第38页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/1438当前第39页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/1439当前第40页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/1440

2.3随机过程及其统计描述

限于讨论：连续随机过程；实随机过程。

2.3.1随机过程的基本概念设是一概率空间，T是一个实参数集，定义在T

和上的二元函数，对于任意固定的,是概率空间上的随机变量；而对于任意的固定的Kos,x(t,kos)是概率空间上的随机函数,则称为一随机过程，和都是变量。由随机过程的定义可知：，是一随机变量；，是一随机函数。可以看出其定义域和值域。定义域为：T和Omiga，值域是R当前第41页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/14412.3.2随机过程的统计描述图2.10示出了连续随机过程的部分随机函数。图2.10当前第42页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/1442

随机过程用其概率密度函数进行统计描述。设是随机过程在不同时刻的随机变量，其相应的N维联合概率密度函数为对于任意的和任意时刻，其是随机过程的完整数学描述。说明：今后为简明，符号简化。随机变量，简记为；随机矢量，简记为；其中第个分量记为；

当前第43页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/1443

随机过程，简记为；时刻的随机变量简记为。这样，随机过程的N维联合概率密度函数简记为2.3.3随机过程的统计平均量随机过程的统计平均量用来表示随机过程的主要特性。其中，一阶矩和二阶矩最为重要。随机过程的均值可将其理解为的直流分量。随机过程的均方值当前第44页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/1444

可将其理解为的平均功率。随机过程的方差可将其理解为的交流功率。随机过程的自相关函数可将其理解为与之间含有直流分量时的相关程度的度量。随机过程的自协方差函数可将其理解为与之间相关程度的度量。当前第45页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/1445

随机过程的互相关函数随机过程和，其互相关函数为随机过程的互协方差函数随机过程和，其互协方差函数为随机过程的平均统计量之间的关系当前第46页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/1446

2.3.4随机过程的平稳性

1.为讨论方便，将随机过程分为：严格平稳随机过程，广义平稳随机过程和非平稳随机过程三类。

(1)严格平稳随机过程

则称其是是N阶平稳的；如果对所有N＝1，2,…都是平稳的，则称是严格平稳的随机过程。对1-dpdf，令，则有由于可为任意时刻，所以有当前第47页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/1447

这说明严格平稳随机过程的一维概率密度函数与起始时刻无关。令，记，则有这说明严格平稳随机过程的二维联合概率密度函数仅与时间间隔有关，而与起始时刻无关。

(2)广义平稳随机过程若随机过程满足均值自相关函数当前第48页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/1448

则是广义平稳随机过程。

(3)非平稳随机过程既不满足严格平稳、也不满足广义平稳的随机过程，称为非平稳随机过程。

2.严格平稳与广义平稳随机过程的关系二阶矩过程的定义：如果随机过程的一、二阶矩存在。对二阶矩过程，严格平稳一定广义平稳；广义平稳不一定严格平稳，除非是高斯随机过程，这是高斯随机过程的重要特性之一。下面讨论一般指广义平稳随机过程。

3.平稳随机过程的统计平均量及其关系

(1)统计平均量：

(2)主要关系：当前第49页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/1449

4.联合平稳随机过程及其统计特性

(1)设和分别是两个平稳的随机过程，如果对任意的，其互相关函数当前第50页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/1450

则称与是联合平稳随机过程,即互相关函数仅与时间间隔有关。

(2)联合平稳随机过程的主要特性互协方差函数互相关系数且有当前第51页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/1451练习题当前第52页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/1452答案当前第53页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/1453答案当前第54页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/1454答案当前第55页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/14552.3.5随机过程的遍历性简言之，若的时间平均统计特性以概率1等于其总体平均统计特性，则该是具有遍历性的随机过程。用途：用时间平均统计特性代替总体平均统计特性。

当前第56页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/1456

2.3.5随机过程的遍历性关系：遍历性的随机过程一定是平稳的随机过程；理论上平稳的随机过程不一定是遍历性的随机过程；但是，实际上平稳的随机过程一般具有遍历性。当前第57页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/14572.3.6随机过程的正交性、不相关性和统计独立性

设随机过程的任意不同时刻的随机变量为

1.定义：

(1)相互正交性

(2)互不相关性或者

(3)相互统计独立性当前第58页\共有63页\编于星期三\8点2023/6/1458

2.关系结论1：若，则结论2：若与相互统计独立，则二者必互不相关。结论3：若与互不相关，不一定相互统计独立，除非它们是联合高斯分布的