导数证明单变量不等式

导数证明单变量不等式2020届高考专题复习浮山中学李善飞

铜陵市新型冠状病毒疫情防控期间名师课堂

通过对近几年的高考命题的分析，发现高考对导数的考查常以函数为依托，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、曲线的切线问题等内容有机的结合在一起，设计综合试题,从而考查函数、导数的基础知识和基本方法。解决这类有关的问题，需要借助构造函数，那么怎样合理的构造函数就是问题的关键。这里根据我多年的教学经验，总结出一些方法，希望对同学们有所帮助。考情分析方法梳理FANGFASHULI一、变形构造函数证明对不等式合理变形导数研究函数最值、单调性获得不等式结论构造函数步骤例1.

求证(1)当时，证法1：小结：直接作差构造函数，两次求导，利用函数单调性证明。1例1.

求证(1)当时，小结：对数单身狗，对含对数的不等式，先清理对数的因式再构造可减少求导分析的次数。证法2：例1.

求证(2)当时，小结：指数找朋友，对含指数的不等式，将变量集中到指数上既可减少求导分析的次数，也可以避免导函数零点不可求。作差后再构造【过关训练】1.求证：

【过关训练】

分析：方法梳理FANGFASHULI二、换元构造函数证明对不等式合理变形导数研究获得不等式结论构造函数步骤代数式换元例2.

证明：1小结：把数列不等式通过换元转化为代数不等式，利用导数再证明。换元后再构造【过关训练】2.求证:

分析：方法梳理FANGFASHULI三、切线放缩法证明对不等式切线放缩导数研究函数最值、单调性获得不等式结论构造函数步骤小结：运用切线放缩时，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.变复杂为简单，证明效果事半功倍。例3.证明：1【过关训练】3.已知函数

，证明：对任意恒成立.

分析：放缩后再构造xyO1附：几个常见的“切线不等式”xyO1xyO方法梳理FANGFASHULI四、分段构造函数证明对不等式合理变形导数研究函数最值、单调性获得不等式结论分段构造函数步骤例4.证明：1小结：根据不等式变量取值范围的特点，对其进行分类，再利用导数证明。注意分类要做到不重复不遗漏。【过关训练】4.

分析：分段后再构造方法梳理ZHISHISHULI五、凹凸反转法证明对不等式合理变形导数研究函数单调性与最值获得不等式结论构造两个函数步骤例5.证明：小结：f(x)>0⇔g(x)>h(x)g(x)min>h(x)max.或者f(x)>0⇔g(x)+h(x)>0g(x)min+h(x)min>01

f(x)>a⇔g(x)h(x)>a

g(x)minh(x)min>a.分析：【过关训练】5.

方法小结基于有界性进行分割,构造两个函数：（充分不必要条件）f(x)>0⇔g(x)+h(x)>a

g(x)min+h(x)min>a.

f(x)>a⇔g(x)h(x)>a

g(x)minh(x)min>a.（注意先证f(x)，g(x)的符号）常见有界函数方法梳理FANGFASHULI六、隐零点法证明例6.证明：二阶求导导函数隐零点的存在性获得不等式结论构造函数步骤整体代换1小结：构造函数求导发现导函数有零点，因为零点不可求，故称之为隐零点。一要证明零点的存在，二要利用零点方程进行整体代换所有的对数与指数，函数的最值就可以表示成隐零点的函数。【过关训练】6.分析：一定零点二代换变形构造函数证明1切线放缩法证明31.导数证明单变量不等式有哪些方法呢？分段讨论法证明4凹凸反转法证明5隐零点法证明6单变量不等式换元构造函数证明22课堂总结KETANGZONGJIE课堂总结KETANGZONGJIE2变形移项、乘除、平方、开方对数单身狗指数找朋友整体换元切线放缩化归思想函数思想构造