函数的单调性2

1.3.1函数的单调性学习目标:1、掌握增、减函数的定义，理解增、减函数的图像的特点，会根据图像指出单调区间；2、学会用定义证明函数的单调性，掌握其方法和步骤;3、体验数学概念的形成过程，学会数学学习的基本方法，培养数学思维能力。O

yOxOxyOxy21yOx通过几个函数的图象观察函数值随自变量而变化的规律.这种函数在其定义域的一个区间上函数值随着自变量的___________的性质我们称之为“函数在这个区间上是增函数”；函数在其定义域的一个区间上函数值随着自变量的___________的性质我们称之为“函数在这个区间上是减函数”.如何用函数的解析式和数学语言进行描绘？增大而增大增大而减少如何用x与f(x)来描述上升的图象？Oxy如何用x与f(x)来描述上升的图象？Oxy如何用x与f(x)来描述上升的图象？Oxy如何用x与f(x)来描述上升的图象？Oxyx1＜x2x2x1如何用x与f(x)来描述上升的图象？Oxyx1＜x2y＝f(x)x2x1如何用x与f(x)来描述上升的图象？Oxyx1＜x2y＝f(x)f(x1)

f(x2)

x2x1如何用x与f(x)来描述上升的图象？Oxyx1＜x2y＝f(x)f(x1)f(x2)x2x1如何用x与f(x)来描述上升的图象？Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)x1＜x2f(x1)＜f(x2)x2x1如何用x与f(x)来描述上升的图象？Oxyy＝f(x)f(x1)

f(x2)

x2x1在给定区间上任取x1,x2x1＜x2

f(x1)＜f(x2)函数f(x)在给定区间上为增函数。如何用x与f(x)来描述上升的图象？Oxyy＝f(x)f(x1)

f(x2)

x2x1在给定区间上任取x1,x2x1＜x2

f(x1)＜f(x2)函数f(x)在给定区间上为增函数。如何用x与f(x)来描述下降的图象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)x2x1函数f(x)在给定区间上为减函数。x1＜x2

f(x1)＞f(x2)在给定区间上任取x1,x2一、增函数、减函数：一般地，设函数f(x)的定义域为I。1.如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间D上是增函数。2.如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间D上是减函数。0思考？二、函数单调性：-212345-23-3-4-5-1-112例1:如图是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数。解:函数f(x)的单调区间有[-5,-2)，[-2,1)，[1,3)，[3,5]其中f(x)在区间[-5,-2)，[1,3)上是减函数，在区间[-2,1)，[3,5]上是增函数。图象法(1)函数的单调性也叫函数的增减性。(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概念。这个区间是定义域的子集。(3)单调区间：针对自变量x而言的。若函数在此区间上是增函数，则区间为单调递增区间若函数在此区间上是减函数，则区间为单调递减区间注意：(4)单调函数的图像特征(几何特征)：增函数图像从左向右上升减函数图像从左向右下降O

yOxOxy观察下列函数的图象及其变化规律指出单调区间

：

Oxy21yOx增区间为:减区间为:增区间为：减区间为：减区间为：函数f(x)＝kx＋b(k>0)在R上是增函数。函数f(x)＝kx＋b(k<0)在R上是减函数。结论：一次函数的单调性：单调增区间单调减区间a>0a<0的对称轴为结论：OxyOxy二次函数的单调性：k>0k<0结论：反比例函数的单调性：OxyOxy增函数增函数减函数减函数结论：函数f(x)＝在其定义域上不具有单调性。1、求y＝－x+5的单调区间。2、求y＝4x+5的单调区间。3、求y＝x2－4x+5的单调区间。4、求y＝－

x2+3x+5的单调区间。练一练：例2:证明函数f(x)＝3x＋2在R上是增函数。证明：(条件)(论证结果)在R上是增函数。

(结论)任取x1,x2∈R，且x1＜x2①取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值,且x1<x2;②作差变形：即作差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1)),并用因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形;③定号：确定差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1))的符号,当符号不确定时,可进行分类讨论;④判断：根据定义得出结论.利用定义证明或判断函数在指定区间上的单调性的步骤:【提升总结】练习1:证明函数f(x)＝在(0,＋∞)上是减函数。证明：所以函数在(0,+)上是减函数。任取x1,x2∈(0,＋∞)

，且x1＜x2证明：任取x1,x2∈[0,＋∞)

，且x1＜x2练习2:Oxy练习2:证明：任取x1,x2∈[0,＋∞)

，且x1＜x2练习3:1.函数的单调性定义的内涵与外延：内涵:是用自变量的大小变化来刻画函数值的变化情况；外延:①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相反时是单调递减.②几何特征：在自变量取值区间上，若函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.题型一：用定义证明函数的单调性例1、判断函数f(x)=－x3+1在(－∞,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果x∈（0，＋∞），函数f(x)是增函数还是减函数？所以f(x)在(－∞,0)上是减函数证明函数单调性的问题，只需严格按照定义的步骤就可以了。题型二：图象法对单调性的判断例2：指出下列函数的单调区间：例2：指出下列函数的单调区间：如果函数的图象比较好画，我们就画图象观察——图象法利用图象法求单调区间的时候，应特别注意某些特殊点，尤其是图象发生急转弯的地方。用它们将定义域进行划分，再分别考察。题型二：图象法对单调性的判断结论1：y＝f(x)(f(x)恒不为0），与的单调性相反。题型三：利用已知函数单调性判断例3：判断函数在(1,+∞)上的单调性。题型三：利用已知函数单调性进行判断例4：设f(x)在定义域A上是减函数，试判断y＝3－2f(x)在A上的单调性，并说明理由。解：y=3－2f(x)在A上是增函数，因为：任取x1，x2∈A，且x1<x2,由f(x)在A上为减函数，所以f(x1)>f(x2),故－2f(x1)<－2f(x2)所以3－2f(x1)<3－2f(x2)即有y1<y2,由定义可知，y＝3－2f(x)在A上为增函数。结论2：y＝f(x)与y＝kf(x)当k>0时，单调性相同；当k<0时，单调性相反。题型三：利用已知函数单调性进行判断结论3：若f(x)与g(x)在R上是增函数，则f(x)+g(x)也是增函数。结论4：若f(x)在R上是增函数，g(x)在R上是减函数，则f(x)－g(x)也是增函数结论5：若f(x)(其中f(x)>0)在某个区间上为增函数，则也是增函数复合函数：y=f[g(x)]令u=g(x)则y=f(u)内函数外函数y=f[g(x)]原函数以x为自变量以u为自变量以x为自变量复合函数的单调性复合函数单调性定理：①当内外函数在各自定义域内同增同减时，原函数增②当内外函数在各自定义域内一增一减时，原函数减复合函数f[g(x)]