2023人教版·文科数学新课标高考总复习专项演练：第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2-8高考数学考点难点分析

2-8A组专项基础训练(时间：45分钟)A.eq\f(1,2)，0B．－2，0C.eq\f(1,2)D．0【解析】当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝eq\f(1,2)，又因为x>1，所以此时方程无解．综上函数f(x)的零点只有0，故选D.【答案】D2．方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是()A．1B．2C．3D．4【解析】(数形结合法)∵a>0，∴a2＋1>1.而y＝|x2－2x|的图象如图，∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．【答案】B3．(2015·湖南四月调研)已知函数f(x)＝lnx－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x－2)的零点为x0，则x0所在的区间是()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)【解析】∵f(x)＝lnx－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x－2)在(0，＋∞)是增函数，又f(1)＝ln1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－1)＝ln1－2<0，f(2)＝ln2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(0)<0，f(3)＝ln3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(1)>0，∴x0∈(2，3)，故选C.【答案】C4．函数f(x)＝xcosx2在区间0，4]上的零点个数为()A．4B．5C．6D．7【解析】由f(x)＝xcosx2＝0，得x＝0或cosx2＝0.又x∈0，4]，所以x2∈0，16]．由于coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋kπ))＝0(k∈Z)，而在eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)的所有取值中，只有eq\f(π,2)，eq\f(3π,2)，eq\f(5π,2)，eq\f(7π,2)，eq\f(9π,2)满足在0，16]内，故零点个数为1＋5＝6.【答案】C5．已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则()A．a<b<cB．a<c<bC．b<a<cD．c<a<b【解析】方法一：由于f(－1)＝eq\f(1,2)－1＝－eq\f(1,2)<0，f(0)＝1>0，且f(x)为R上的递增函数．故f(x)＝2x＋x的零点a∈(－1，0)．∵g(2)＝0，∴g(x)的零点b＝2；∵heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－1＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)<0，h(1)＝1>0，且h(x)为(0，＋∞)上的增函数，∴h(x)的零点c∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，因此a<c<b.方法二：由f(x)＝0得2x＝－x；由h(x)＝0得log2x＝－x作出函数y＝2x，y＝log2x和y＝－x的图象(如图)．由图象易知a<0，0<c<1，而b＝2，故a<c<b.【答案】B6．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)>0的解集是________．【解析】∵f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2，3.∴－2，3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，∴f(x)＝x2－x－6.∵不等式af(－2x)>0，即－(4x2＋2x－6)>0⇔2x2＋x－3<0，解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)<x<1)))).【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)<x<1))))7．函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________．【解析】由于ln2<lne＝1，所以f(2)<0，f(3)＝2＋ln3，由于ln3>1，所以f(3)>0，所以增函数f(x)的零点位于区间(2，3)内，故n＝2.【答案】28．(2015·湖北)函数f(x)＝4cos2eq\f(x,2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))－2sinx－|ln(x＋1)|的零点个数为________．【解析】先化简f(x)，把函数的零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题求解．f(x)＝4cos2eq\f(x,2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))－2sinx－|ln(x＋1)|＝2(1＋cosx)sinx－2sinx－|ln(x＋1)|＝2sinxcosx－|ln(x＋1)|＝sin2x－|ln(x＋1)|.由f(x)＝0，得sin2x＝|ln(x＋1)|.设y1＝sin2x，y2＝|ln(x＋1)|，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所示．由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数f(x)有两个零点．【答案】29．判断函数f(x)＝4x＋x2－eq\f(2,3)x3在区间－1，1]上零点的个数，并说明理由．【解析】因为f(－1)＝－4＋1＋eq\f(2,3)＝－eq\f(7,3)<0，f(1)＝4＋1－eq\f(2,3)＝eq\f(13,3)>0，所以f(x)在区间－1，1]上有零点．又f′(x)＝4＋2x－2x2＝eq\f(9,2)－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)，当－1≤x≤1时，0≤f′(x)≤eq\f(9,2)，所以f(x)在－1，1]上单调递增．所以f(x)在－1，1]上有且只有一个零点．10．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间0，2]上有解，求实数m的取值范围．【解析】方法一：设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈0，2]，①若f(x)＝0在区间0，2]上有一解，∵f(0)＝1>0，则应有f(2)<0，又∵f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，∴m<－eq\f(3,2).②若f(x)＝0在区间0，2]上有两解，则∴－eq\f(3,2)≤m≤－1.由①②可知m的取值范围是(－∞，－1]．方法二：显然x＝0不是方程x2＋(m－1)x＋1＝0的解，0<x≤2时，方程可变形为1－m＝x＋eq\f(1,x)，又∵y＝x＋eq\f(1,x)在(0，1]上单调递减，1，2]上单调递增，∴y＝x＋eq\f(1,x)在(0，2]的取值范围是2，＋∞)，∴1－m≥2，∴m≤－1，故m的取值范围是(－∞，－1]．B组专项能力提升(时间：25分钟)11．设函数f(x)的零点为x1，g(x)＝4x＋2x－2的零点为x2，若|x1－x2|≤0.25，则f(x)可以是()A．f(x)＝x2－1B．f(x)＝2x－4C．f(x)＝ln(x＋1)D．f(x)＝8x－2【解析】选项A：x1＝±1；选项B：x1＝2；选项C：x1＝0；选项D：x1＝eq\f(2,8)＝eq\f(1,4).∵g(x)为增函数，g(1)＝4＋2－2>0，g(0)＝1－2<0，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2＋1－2>0，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝eq\r(2)＋eq\f(1,2)－2<0，∴x2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2))).故选D.【答案】D【解析】利用函数的零点分段求解．①当0<x≤1时，方程为－lnx＝1，解得x＝eq\f(1,e).②当1<x<2时，f(x)＋g(x)＝lnx＋2－x2单调递减，值域为(ln2－2，1)，方程f(x)＋g(x)＝1无解，方程f(x)＋g(x)＝－1恰有一解．③当x≥2时，f(x)＋g(x)＝lnx＋x2－6单调递增，值域为ln2－2，＋∞)，方程f(x)＋g(x)＝1恰有一解，方程f(x)＋g(x)＝－1恰有一解．综上所述，原方程有4个实根．【答案】413．若方程eq\r(4－x2)＝k(x－2)＋3有两个不等的实根，则k的取值范围是________．【解析】作出函数y1＝eq\r(4－x2)和y2＝k(x－2)＋3的图象如图所示，函数y1的图象是圆心在原点，半径为2的圆在x轴上方的半圆(包括端点)，函数y2的图象是过定点P(2，3)的直线，因为点A(－2，0)，则kPA＝eq\f(3－0,2－（－2）)＝eq\f(3,4).直线PB是圆的切线，由圆心到直线的距离等于半径得，eq\f(|3－2kPB|,\r(keq\o\al(2,PB)＋1))＝2，得kPB＝eq\f(5,12).由图可知当kPB<k≤kPA时，两函数图象有两个交点，即原方程有两个不等实根．所以eq\f(5,12)<k≤eq\f(3,4).【答案】eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,12)，\f(3,4)))14．(2015·湖南)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．【解析】将函数f(x)＝|2x－2|－b的零点个数问题转化为函数y＝|2x－2|的图象与直线y＝b的交点个数问题，数形结合求解．由f(x)＝|2x－2|－b＝0得|2x－2|＝b.在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示，则当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．【答案】(0，2)15．已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋eq\f(e2,x)(x>0)．(1)若y＝g(x)－m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．【解析】(1)方法一：∵g(x)＝x＋eq\f(e2,x)≥2eq\r(e2)＝2e，等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域是2e，＋∞)，因而只需m≥2e，则y＝g(x)－m就有零点．方法二：作出g(x)＝x＋eq\f(e2,x)(x>0)的大致图象如图．可知