第三章线性系统的时域分析演示文稿

第三章线性系统的时域分析演示文稿当前第1页\共有139页\编于星期三\8点优选第三章线性系统的时域分析当前第2页\共有139页\编于星期三\8点

分析和设计控制系统的首要工作是确定系统的数模，一旦获得系统的数学模型，可以采用几种不同的方法去分析系统的性能。

线性系统：时域分析法ch3，根轨迹法ch4，频率法ch5

非线性系统：

多输入多输出系统：描述函数法，相平面法ch7

采样系统：Z

变换法ch8状态空间法当前第3页\共有139页\编于星期三\8点

分析系统的时间响应亦即分析描述其运动的微分方程的解。以RC网络为例：若稳态分量暂态分量稳态分量暂态分量可见：不论哪种求解方法，也不论初始条件如何，均有：系统响应=稳态响应+暂态响应§3-1典型输入信号和时域性能指标

当前第4页\共有139页\编于星期三\8点典型输入信号动态性能需要通过其对输入信号的响应过程来评价。因此在分析和设计控制系统时，需要一个对系统的性能进行比较的基准---典型输入信号。条件：1能反映实际输入；2在形式上尽可能简单，便于分析；3使系统运行在最不利的工作状态。tf(t)01考查系统对恒值信号的跟踪能力

系统响应由稳态响应和暂态响应组成，稳态响应由稳态性能描述，而暂态响应由暂态性能描述，故系统的性能指标也就由稳态性能指标和暂态性能指标组成。

因为阶跃输入对系统来说是最一般也是最严峻的工作状态，如果系统在阶跃信号输入下的暂态性能满足要求，则在其他形式下的输入信号下，其暂态性能也会令人满意。当前第5页\共有139页\编于星期三\8点A=1，称单位斜坡函数,记为t·1(t)

2.斜坡函数（等速度函数）

tf(t)0考查系统对匀速信号的跟踪能力当前第6页\共有139页\编于星期三\8点

3.抛物线函数（等加速度函数）A=1，称单位抛物线函数,记为tf(t)0考查系统的机动跟踪能力当前第7页\共有139页\编于星期三\8点

4.脉冲函数t

(t)0考查系统在脉冲扰动下的恢复情况当前第8页\共有139页\编于星期三\8点

各函数间关系：（5）正弦函数tf(t)0考查随动系统在波浪环境中的控制和跟随能力当前第9页\共有139页\编于星期三\8点

二.阶跃响应的时域性能指标c(t)=ct(t)+css(t)=暂态响应+稳态响应

1.暂态性能指标

非振荡阶跃响应过程衰减振荡阶跃响应过程当前第10页\共有139页\编于星期三\8点(1)延迟时间td：c(t)从0到0.5c(∞)的时间。(2)上升时间tr：c(t)第一次达到c(∞)的时间。无超调时,c(t)从0.1c(∞)到0.9c(∞)的时间。(3)峰值时间tp：c(t)到达第一个峰值的时间。(4)调节时间ts：c(t)衰减到与稳态值之差不超过±2%或±5%所需的时间。通常该偏差范围称作误差带,用符号△表示，即△

=2%或△

=5%

。

快速性(5)超调量σp

%：c(t)最大峰值偏离稳态值的部分，常用百分数表示，描述系统的平稳性。当前第11页\共有139页\编于星期三\8点2.稳态性能指标

稳态误差ess：稳定系统误差的终值。即系统响应的实际值与期望值（即输入量）之差。最后一节细讲。现输入信号的最终精度。一上述各种性能指标中，描述系统起始段的快慢；反映暂态过程振荡的剧烈列程度；

总体上反映系统的表示系统过渡过程持续时间，快速性；反映系统复般以、和评价系统

响应的稳、快、准。当前第12页\共有139页\编于星期三\8点凡是可用一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。T＝RC，时间常数。其典型传递函数及结构图为：3.2一阶系统的时域分析RC

r(t)c(t)1Ts﹣+R(s)C(s)1Ts+1R(s)C(s)

系统中只有一个参数T,一阶系统也叫惯性环节。当前第13页\共有139页\编于星期三\8点tc(t)

０T

2T3T4T

当输入信号r(t)=1(t)时，系统的响应c(t)称作其单位阶跃响应。3.2.1单位阶跃响应

响应曲线在[0，）的时间区间中始终不会超过其稳态值，把这样的响应称为非周期响应。无振荡0.6320.950.9820.8651.0当前第14页\共有139页\编于星期三\8点一阶系统的瞬态响应指标调整时间ts定义：︱c(ts)1︱=(取5%或2%)

一阶系统响应具备两个重要的特点：①可以用时间常数T去度量系统输出量的数值。②响应曲线的初始斜率等于1/T。

０T

2T3T4T

tc(t)0.6320.950.9820.8651.0T反映了系统的惯性。T越小惯性越小，响应快！T越大，惯性越大，响应慢。当前第15页\共有139页\编于星期三\8点

1．与有确定关系，是表征系统响应特征的唯一参数。2.初始速度：，若以等速上升到

1，所需时间正好为T。

一阶系统阶跃响应：

０T

2T3T4T

tc(t)0.6320.950.9820.8651.0系统单位阶跃响应曲线可用实验的方法确定，将测得的曲线与下图的曲线作比较，就可以确定该系统是否为一阶系统或等效为一阶系统。此外，用实验的方法测定一阶系统的输出响应由零值开始到达稳态值的63.2%所需的时间，就可以确定系统的时间常数T。当前第16页\共有139页\编于星期三\8点3.2.2单位斜坡响应

[r(t)=t]tc(t)0r(t)=tc(t)=t﹣T+Te﹣t/T

稳态响应是一个与输入斜坡函数斜率相同但在时间上迟后了一个时间常数T的斜坡函数。TT稳态分量（跟踪项+常值）暂态分量当前第17页\共有139页\编于星期三\8点

表明过渡过程结束后，其稳态输出与单位斜坡输入之间，在位置上仍有误差，一般叫做跟踪误差。比较阶跃响应曲线和斜坡响应曲线：

在阶跃响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而减小，最终趋于0，而在初始状态下，位置误差最大，响应曲线的斜率也最大；无差跟踪

在斜坡响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而增大，最终趋于常值T，在初始状态下，位置误差和响应曲线的斜率均等于0。有差跟踪。

0tc(t)1.0tc(t)0r(t)=tTT当前第18页\共有139页\编于星期三\8点表明一阶系统在过渡过程结束后，其稳态输出与单位斜坡输入之间，在位置上仍有误差。4．对斜坡响应求导：即单位斜坡响应的导数是单位阶跃响应。2．初始速度：斜坡响应（续）当前第19页\共有139页\编于星期三\8点单位脉冲响应

[R(s)=1]

它恰是系统的闭环传函，这时输出称为脉冲（冲激）响应函数，以g(t)标志。

求系统闭环传函提供了实验方法，以单位脉冲输入信号作用于系统，测定出系统的单位脉冲响应，可以得到闭环传函。对应T2T3Tth(t)01/T0.368/T0.135/T0.05/T当前第20页\共有139页\编于星期三\8点1．一阶系统不能跟踪抛物线信号。2．对抛物线响应求导：斜坡响应。、单位抛物线响应：当前第21页\共有139页\编于星期三\8点★这是线性定常系统的一个重要特征，适用于任何线性系统，但不适用于非线性系统。

当前第22页\共有139页\编于星期三\8点线性定常系统的重要性质

2.在零初始条件下，当系统输入信号为原来输入信号时间的积分时，系统的输出则为原来输出对时间的积分，积分常数由零初始条件决定。

1.当系统输入信号为原来输入信号的导数时，这时系统的输出则为原来输出的导数。当前第23页\共有139页\编于星期三\8点例1系统如图所示，现采用负反馈方式，欲将系统调节时间减小到原来的0.1倍，且保证原放大倍数不变，试确定参数Ko和KH的取值。

当前第24页\共有139页\编于星期三\8点例2已知单位反馈系统的单位阶跃响应

试求

F(s),g(t),G(s)。

解．当前第25页\共有139页\编于星期三\8点3.3.1二阶系统的数学模型标准化二阶系统的结构图为：

闭环传递函数为

二阶系统有两个结构参数ξ(阻尼比)和n(无阻尼振荡频率)

。二阶系统的性能分析和描述，都是用这两个参数表示的。3.3典型二阶系统时域分析s(s+2ξn)R(s)C(s)n2

﹣+当前第26页\共有139页\编于星期三\8点微分方程式为：

对于不同的二阶系统，阻尼比和无阻尼振荡频率的含义是不同的。

例如:RLC电路RCr(t)c(t)L当前第27页\共有139页\编于星期三\8点

j

0二阶系统的闭环极点二阶系统的闭环特征方程，即

s2+2ξns+n2=0其两个特征根为：

上述二阶系统的特征根表达式中，随着阻尼比ξ

的不同取值，特征根有不同类型的值，或者说在s平面上有不同的分布规律。分述如下：s1s2ξ>1时，特征根为一对不等值的负实根，位于s平面的负实轴上，使得系统的响应表现为过阻尼的。当前第28页\共有139页\编于星期三\8点(3)

0<ξ

<1

时，特征根为一对具有负实部的共轭复根，位于s平面的左半平面上，使得系统的响应表现为欠阻尼的。(2)ξ=1时，特征根为一对等值的负实根，位于s平面的负实轴上，使得系统的响应表现为临界阻尼的。

j

0s1=s2=

nns1s2

jd

ξn

j

0当前第29页\共有139页\编于星期三\8点

j

0

(4)ξ=0时，特征根为一对幅值相等的虚根，位于s平面的虚轴上，使得系统的响应表现为无阻尼的等幅振荡过程。

jn

j

0

(5)ξ<0时，特征根位于s平面的右半平面，使得系统的响应表现为幅值随时间增加而发散。s1s2当前第30页\共有139页\编于星期三\8点

j

0s1s2

j

0s1=s2ns1s2

jd

ξn

j

0

j

0

jn

阻尼比取不同值时，二阶系统根的分布ξ>1ξ=10<ξ<1ξ=0过阻尼临界阻尼欠阻尼无阻尼ξ<0

j

0s1s2当前第31页\共有139页\编于星期三\8点

单位阶跃响应由式，其输出的拉氏变换为式中s1，s2是系统的两个闭环特征根。

对上式两端取拉氏反变换，可以求出系统的单位阶跃响应表达式。阻尼比在不同的范围内取值时，二阶系统的特征根在s平面上的位置不同，二阶系统的时间响应对应有不同的运动规律。下面分别加以讨论。当前第32页\共有139页\编于星期三\8点（1）欠阻尼情况0<ξ<1

j

ns1s2

jd

ξn0阻尼振荡频率当前第33页\共有139页\编于星期三\8点设直角三角形：则

当前第34页\共有139页\编于星期三\8点

欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应由两部分组成：稳态分量为1，表明系统在1(t)作用下不存在稳态位置误差；瞬态响应是阻尼正弦项，其振荡频率为阻尼振荡频率ωd，而其幅值则按指数曲线衰减，两者均由参数ξ

和n决定。c(t)t01衰减振荡衰减系数或振荡阻尼系数当前第35页\共有139页\编于星期三\8点c(t)t0等幅振荡

(2)无阻尼情况ξ=0当前第36页\共有139页\编于星期三\8点（3）临界阻尼情况ξ=1

s1,2=n

此时响应是稳态值为1的非周期上升过程，其变化率t=0，变化率为0；t>0变化率为正，c(t)单调上升；t→∞

，变化率趋于0。整个过程不出现振荡，无超调，稳态误差＝0。tc(t)01当前第37页\共有139页\编于星期三\8点

其中（4）过阻尼情况ξ>1当前第38页\共有139页\编于星期三\8点1、由两项指数函数组成；2、曲线单调上升，无

0tc(t)1.0ts当前第39页\共有139页\编于星期三\8点

响应特性包含两个单调衰减的指数项，且它们的代数和不会超过1，因而响应是非振荡的。调节速度慢。（不同于一阶系统）

0tc(t)1.0ts当前第40页\共有139页\编于星期三\8点∴响应中两个指数项随着时间的延长，后一项很小∴后一项只在后的前期对响应有影响，求时可忽略。的近似计算：3．则有当前第41页\共有139页\编于星期三\8点此时相当于的惯性环节。

（一般）计算。当响应是非振荡的。调节速度慢。（不同于一阶系统）当前第42页\共有139页\编于星期三\8点

过阻尼系统响应缓慢，对于一般要求时间响应快的系统过阻尼响应是不希望的。但在有些应用场合则需要过阻尼响应特性：例如（1）大惯性的温度控制系统、压力控制系统等。（2）指示仪表、记录仪表系统，既要无超调、时间响应尽可能快。另外，有些高阶系统可用过阻尼二阶系统近似。当前第43页\共有139页\编于星期三\8点（5）不稳定系统

ξ<0总结：

1）ξ<0时，响应发散，系统不稳定；

2）ξ>＝1时，响应与一阶系统相似，无超调，但调节速度慢；

3）ξ＝0时，无过渡过程，直接进入稳态，响应等幅振荡；

4）0<ξ<1时，响应有超调，但上升速度快，调节时间短，合理选择ξ可使响应既快又平稳，工程上把ξ＝0.707的二阶系统称为二阶最优系统；当前第44页\共有139页\编于星期三\8点45横坐标nt

，曲线只是的函数。=0,0.1,0.2,0.4,0.6,0.8,1,2二阶系统的阶跃响应：当前第45页\共有139页\编于星期三\8点σp%3.3.4二阶系统的动态性能指标1.欠阻尼

用tr

,

tp

,σ

p

,

ts

四个性能指标来衡量瞬态响应的好坏。

c(t)t010.50.05或0.02tr

tp

tstd当前第46页\共有139页\编于星期三\8点(1)上升时间tr

：从零上升至第一次到达稳态值所需的时间，是系统响应速度的一种度量。tr越小，响应越快。(2)

峰值时间tp：响应超过稳态值，到达第一个峰值所需的时间。当前第47页\共有139页\编于星期三\8点(3)超调量σp%：响应曲线偏离阶跃曲线最大值，用百分比表示。当前第48页\共有139页\编于星期三\8点

σp

%只是ξ

的函数，其大小与自然频率ωn无关。ξ

σp(4)调节时间ts

：响应曲线衰减到与稳态值之差不超过5%或2%所需要的时间。c(t)c()c()(tts)=0.2p=52.7%=0.4p=25.4%=0.6p=9.5%

=0.707p=4.3%当前第49页\共有139页\编于星期三\8点

工程上，为简单起见，可以采用近似的计算方法，忽略正弦函数的影响，认为指数项衰减到0.05（或0.02）时，过渡过程即进行完毕，于是得到当前第50页\共有139页\编于星期三\8点其中为包络线的时间常数。当0.1<ξ

<0.9

时，通常用下列二式近似计算调节时间。当前第51页\共有139页\编于星期三\8点总结：各性能指标之间是有矛盾的。

(1)ωn

一定，使trtp

ξ

使ts

ξ(ξ

一定范围)必须必须必须(2)ξ

一定，使

trtpts

ωn

(3)ξ

σp

只由ξ

决定必有当前第52页\共有139页\编于星期三\8点例3-1单位负反馈随动系统如图所示(1)确定系统特征参数与实际参数的关系。(2)若K=16(rad/s)、T=0.25(s)，试计算系统的动态性能指标。解:(1)系统的闭环传递函数为与典型二阶系统比较可得：K/T=n21/T=2ns(Ts+1)R(s)C(s)K﹣+当前第53页\共有139页\编于星期三\8点(2)K=16，T=0.25时(=0.05)K/T=n21/T=2ntr=?tp=?ts=?σp=?当前第54页\共有139页\编于星期三\8点（3）若要求

当T不变时：当前第55页\共有139页\编于星期三\8点例3-2已知单位负反馈系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试求系统的开环传递函数。

解：由系统的单位阶跃响应曲线，直接求出超调量和峰值时间。

σp=30%tp=0.1求解上述二式，得到=0.357，n=33.65(rad/s)。于是二阶系统的开环传递函数为1c(t)t01.30.1当前第56页\共有139页\编于星期三\8点解：

Tp=0.785σp=e-2.355ts=1

当前第57页\共有139页\编于星期三\8点§3.2.3一阶系统的典型响应r(t)R(s)C(s)=F(s)R(s)c(t)一阶系统典型响应

d(t)11(t)

t

一阶系统的典型响应当前第58页\共有139页\编于星期三\8点59横坐标nt

，曲线只是的函数。=0,0.1,0.2,0.4,0.6,0.8,1,2二阶系统的阶跃响应：当前第59页\共有139页\编于星期三\8点总结：各性能指标之间是有矛盾的。

(1)ωn

一定，使trtp

ξ

使ts

ξ(ξ

一定范围)必须必须必须(2)ξ

一定，使

trtpts

ωn

(3)ξ

σp

只由ξ

决定必有当前第60页\共有139页\编于星期三\8点二阶系统性能的改善1.误差的比例－微分控制具有误差比例－微分控制的二阶系统如图所示:系统的开环传递函数为闭环传递函数为(仍符合规律)式中

d

为系统的有效阻尼比。s(s+2n)R(s)C(s)n2

﹣+Tds++K(=1)当前第61页\共有139页\编于星期三\8点

比例－微分控制的二阶系统有时称为有零点的二阶系统。与没有零点的二阶系统相比，由于微分项的原因，初始快速性提高，超调量会增大一些，但整体响应的速度会加快。t01c(t)c1(t)

可见，比例－微分控制的二阶系统不改变系统的自然频率，但是可以增大系统的有效阻尼比以抑制振荡。同时为系统增加了一个闭环零点。若令Z=1/Td

c1(t)有零点的二阶系统。

c(t)没有零点的二阶系统。当前第62页\共有139页\编于星期三\8点以角度随动系统为例(a)比例控制[0，t1)系统阻尼小，修正转矩过大；输出超调[t1,t3)转矩反向，起制动作用，但惯性与制动转矩不够大，仍超调[t3,t5)误差又为正，修正转矩又为正，力图使输出趋势减小……(b)控制措施：附加误差的微分量

[0，t2)内减小正向修正转矩，增大反向制动转矩；

[t2,t4)内减小反向制动转矩，增大正向修正转矩

比例－微分控制的二阶系统有时称为有零点的二阶系统。与没有零点的二阶系统相比，由于微分项的原因，初始快速性提高，超调量会增大一些，但整体响应的速度会加快。当前第63页\共有139页\编于星期三\8点(2)(1)当前第64页\共有139页\编于星期三\8点系统的闭环传递函数为：式中为系统的有效阻尼比。2.输出量的速度反馈控制输出量的速度反馈控制也可以在不改变系统的自然频率基础上，增大系统的有效阻尼比，使超调量减小。s(s+2n)R(s)C(s)n2

﹣+Kfs﹣+与比例微分控制不同的是，输出量的速度反馈控制没有附加零点的影响，两者对系统动态性能的改善程度是不同的。当前第65页\共有139页\编于星期三\8点3.两种控制方案的比较都为系统提供了一个参数选择的自由度，兼顾了系统响应的快速性和平稳性。但是，二者改善系统性能的机理及其应用场合是不同的。简述如下：（1）微分控制的附加阻尼作用产生于系统输入端误差信号的变化率，而速度反馈控制的附加阻尼作用来源于系统输出量的变化率。微分控制为系统提供了一个实零点，可以缩短系统的初始响应时间，但在相同阻尼程度下，将比速度反馈控制产生更大的阶跃响应超调量。当前第66页\共有139页\编于星期三\8点

(2)比例－微分控制位于系统的输入端，微分作用对输入噪声有明显的放大作用。当输入端噪声严重时，不宜选用比例－微分控制。同时，由于微分器的输入信号是低能量的误差信号，要求比例－微分控制具有足够的放大作用，为了不明显恶化信噪比，需选用高质量的前置放大器。输出速度反馈控制，是从高能量的输出端向低能量的输入端传递信号，无需增设放大器，并对输入端噪声有滤波作用，适合于任何输出可测的控制场合。当前第67页\共有139页\编于星期三\8点典型输入信号典型输入信号。条件：1能反映实际输入；2在形式上尽可能简单，便于分析；3使系统运行在最不利的工作状态。当前第68页\共有139页\编于星期三\8点

准:(稳态要求）稳态输出与理想输出间的误差(稳态误差)要小

稳：(基本要求)系统受扰动影响后能回到原来的平衡位置

延迟时间

td—阶跃响应第一次达到终值的50％所需的时间

上升时间

tr—阶跃响应从终值的10％上升到终值的90％所需的时间

有振荡时，可定义为从0到第一次达到终值所需的时间

峰值时间

tp—阶跃响应越过终值达到第一个峰值所需的时间

超调量

s％

—峰值超出终值的百分比

调节时间

ts—阶跃响应到达并保持在终值5％误差带内所需的最短时间

快:(动态要求)阶跃响应的过渡过程要平稳，迅速动态性能指标当前第69页\共有139页\编于星期三\8点G(s)，H(s)

一般是复变量s的多项式之比，故上式可记为3.4高阶系统的时域分析高阶系统的阶跃响应控制系统的基本结构如图所示。其闭环传递函数为G(s)R(s)C(s)﹣+H(s)当前第70页\共有139页\编于星期三\8点

式中0<ξ

k<1

。即系统有q

个实极点和r

对共轭复数极点。称为系统闭环特征根，或闭环极点。分子多项式的阶次m不一般高于分母多项式的阶次n。对上式进行因式分解，可以表示为当前第71页\共有139页\编于星期三\8点

取拉氏反变换，并设全部初始条件为零，得到系统单位阶跃响应的时间表达式：

于是，系统单位阶跃响应的拉氏变换：式中；k

=arccosξ

k

；Ai、Bk是与C(s)在对应闭环极点上的留数有关的常数。当前第72页\共有139页\编于星期三\8点

上式表明，如果系统的所有闭环极点都具有负实部，系统时间响应的各暂态分量都将随时间的增长而趋近于零，这时称高阶系统是稳定的。闭环主导极点

1）高阶系统瞬态响应各分量的衰减快慢由pi，ξkk决定，也即闭环极点负实部的绝对值越大，相应的分量衰减越快。

2）各分量所对应的系数由系统的零极点分布决定。

3）系统的零极点共同决定了系统瞬态响应曲线的形状。当前第73页\共有139页\编于星期三\8点4）对系统瞬态响应起主导作用的极点，称为闭环主导极点。

条件：

1距离s平面虚轴较近，且周围没有其它的闭环零点；对应的暂态分量衰减缓慢，起主要作用。不会构成闭环偶极子，产生零极点相消现象（相应分量的系数很小）。

2其实部的绝对值比其它极点小5倍以上。

应用闭环主导极点的概念，可以把一些高阶系统近似为一阶或二阶系统，以实现对高阶系统动态性能的近似评估。一般情况，高阶系统具有振荡性，所以主导极点常常是一对共轭复数极点。找到了这一对共轭复数主导极点，高阶系统的动态性能就可以应用二阶系统的性能指标来近似估计。当前第74页\共有139页\编于星期三\8点试求阶跃响应。解：c(t)=11.1e

t+0.11e

10t

≈

11.1e

t主导极点是s=1

，这时系统传递函数近似为tc(t)01例3-4-1已知闭环传递函数为当前第75页\共有139页\编于星期三\8点当前第76页\共有139页\编于星期三\8点例3-4-2已知闭环传递函数为试求阶跃响应。解：

j

01101.25c(t)=10.22e

t

0.78e

10tc(t)=11.1e

t+0.11e

10t当前第77页\共有139页\编于星期三\8点tc(t)010.220.780.78e

10t0.22e

t

（1）零点不影响系统动态响应分量的个数，也不影响系统的稳定性；（2）零点改变了系统动态响应的形状；（3）过渡过程要快。零点起微分加快作用。

c(t)=10.22e

t

0.78e

10t当前第78页\共有139页\编于星期三\8点

零极点分布对系统动态响应的影响:1）极点决定系统固有运动属性；

2）零点决定运动模态的比重；

3）若闭环零、极点离虚轴较远，则对系统的动态性能影响不大。反之，则影响较大。

4）增加闭环零点，将会提高系统的响应速度。闭环零点越靠近虚轴，这种作用将会越显著。

5）增加闭环极点，将会延缓系统的动态响应，也即响应速度变慢。且离虚轴愈近，其作用愈显著。当前第79页\共有139页\编于星期三\8点3.5线性系统的稳定性分析

稳定性是对系统的基本要求，探讨系统的稳定条件，提出保证系统稳定的措施。稳定的概念和定义

如果系统受到有界扰动，不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能以足够的准确度恢复到初始平衡状态，则这种系统称为大范围稳定的系统。（课本上单摆的例子）

a当前第80页\共有139页\编于星期三\8点

如果系统受到有界扰动，只有当扰动引起的初始偏差小于某一范围时，系统才能在取消扰动后恢复到初始平衡状态，否则就不能恢复到初始平衡状态，则称为小范围稳定的系统。

当前第81页\共有139页\编于星期三\8点

对于稳定的线性系统，它必然在大范围内和小范围内都能稳定，只有非线性系统才可能有小范围稳定而大范围不稳定的情况。

如果系统受到有界扰动，不论扰动引起的初始偏差有多小，当扰动取消后，无论经过多长时间，系统都不可能恢复到初始平衡状态，则这种系统称为不稳定的系统。（课本上倒立摆的例子）

b当前第82页\共有139页\编于星期三\8点

线性控制系统稳定性的定义如下：若线性控制系统在初始扰动(t)的影响下，其过渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零，则称系统为稳定。反之，则为不稳定。线性系统的稳定条件

线性系统的稳定性只取决于系统自身固有特性，而与输入信号无关。根据定义输入扰动(t)，设扰动响应为Cn(t)。如果当t→∞时，Cn(t)收敛到原来的平衡点，即有

那么，线性系统是稳定的。

不失一般性，设n阶系统的闭环传递函数为当前第83页\共有139页\编于星期三\8点

线性系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的所有根都具有负实部，或者说，闭环传递函数的极点均位于s左半平面（不包括虚轴）。

根据稳定的充要条件决定系统的稳定性，必须知道系统特征根的全部符号。如果能解出全部根，则立即可判断系统的稳定性。然而对于高阶系统，求根的工作量很大，常常希望使用一种直接判断根是否全在s左半平面的代替方法，下面就介绍劳斯代数稳定判据。当前第84页\共有139页\编于星期三\8点

线性系统的代数稳定判据

首先给出系统稳定的必要条件：设线性系统的闭环特征方程为

式中，si（i=1,2,,

n）是系统的n个闭环极点。根据代数方程的基本理论（韦达定理），下列关系式成立：当前第85页\共有139页\编于星期三\8点

从上式可以导出，系统特征根都具有负实部的必要条件为：aiaj>0(i,

j=1,2,

,

n)即，闭环特征方程各项同号且不缺项。如果特征方程不满足上式的条件，系统必然非渐近稳定。但满足上式，还不能确定一定是稳定的，因为上式仅是必要条件。下面给出系统稳定的充分必要条件。

1.劳斯判据

系统稳定的充要条件是：特征方程式的全部系数为正，且由该方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都为正。若不满足，则不稳定劳斯表中第一列元素符号改变的次数，等于相应特征方程式位于右半s平面上根的个数。当前第86页\共有139页\编于星期三\8点表中：1）最左一列元素按s的幂次排列，由高到低，只起标识作用，不参与计算。

2）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。

3）从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到。a0

a2a4…a1

a3a5…b1

b2b3…┋…ansnsn−1

sn−2

┋s1

s0

劳斯表的构造：当前第87页\共有139页\编于星期三\8点对系统瞬态响应起主导作用的极点，称为闭环主导极点。

条件：

1距离s平面虚轴较近，且周围没有其它的闭环零点；对应的暂态分量衰减缓慢，起主要作用。不会构成闭环偶极子，产生零极点相消现象（相应分量的系数很小）。

2其实部的绝对值比其它极点小5倍以上。

应用闭环主导极点的概念，可以把一些高阶系统近似为一阶或二阶系统，以实现对高阶系统动态性能的近似评估。当前第88页\共有139页\编于星期三\8点

零极点分布对系统动态响应的影响:1）极点决定系统固有运动属性；

2）零点决定运动模态的比重；

3）若闭环零、极点离虚轴较远，则对系统的动态性能影响不大。反之，则影响较大。

4）增加闭环零点，将会提高系统的响应速度。闭环零点越靠近虚轴，这种作用将会越显著。

5）增加闭环极点，将会延缓系统的动态响应，也即响应速度变慢。且离虚轴愈近，其作用愈显著。当前第89页\共有139页\编于星期三\8点

线性控制系统稳定性的定义如下：若线性控制系统在初始扰动(t)的影响下，其过渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零，则称系统为稳定。反之，则为不稳定。劳斯判据

系统稳定的充要条件是：特征方程式的全部系数为正，且由该方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都为正。若不满足，则不稳定劳斯表中第一列元素符号改变的次数，等于相应特征方程式位于右半s平面上根的个数。当前第90页\共有139页\编于星期三\8点2.劳斯判据的应用（1）判断系统的稳定性

例3-3

设有下列特征方程D(s)=s4+2s3+

3s2+4s+5=0，试用劳斯判据判别该特征方程的正实部根的数目。解：劳斯表第一列元素符号改变了2次，∴系统不稳定，且s右半平面有2个根。s4s3s2s1s0135246155当前第91页\共有139页\编于星期三\8点例3-4系统的特征方程为

D(s)=s33s+2=0试用劳斯判据确定正实数根的个数。解：系统的劳斯表为第一种特殊情况：劳斯表中某行的第一列元素为零，而其余各项不为零，或不全为零。对此情况，可作如下处理：s3s2s1s01302∞①用一个很小的正数ε来代替第一列为零的项，从而使劳斯表继续下去。②可用因子（s+a）乘以原特征方程，其中a可为任意正数，再对新的特征方程应用劳斯判据。当前第92页\共有139页\编于星期三\8点∵ε→0+时，b1<0，劳斯表中第一列元素符号改变了两次∴系统有两个正根，不稳定。

用（s+3）乘以原特征方程，得新的特征方程为：

D1(s)

=D(s)(s+3)=s4+

3s3

3s2

7s+6=0s3s2s1s0130(ε)22s4s3s2s1s0136372/36206会得到相同的判断结果当前第93页\共有139页\编于星期三\8点例3-5

设某线性系统的闭环特征方程为

D(s)=s4+

s3

3s2

s+2=0

试用劳斯判据判断系统稳定性。解:该系统的劳斯表如下：第二种特殊情况：劳斯表中某行元素全为零。此时，特征方程中存在关于原点对称的根（实根，共轭虚根或共轭复数根）。对此情况，可作如下处理：s4s3s2s1s0132112200当前第94页\共有139页\编于星期三\8点

由于劳斯表中第一列元素的符号改变了两次，∴系统有两个正根，系统不稳定。通过解辅助方程可求出关于原点对称的根：

s1=1和s2=1

。对本例题，可用长除法求出另二个根，分别为s3=1和s4=2

。

用全零行的上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助方程求导，用所得方程的系数代替全零行，继续劳斯表。s4s3s2s1s01321122

42F(s)=2s2+2

F(s)=4s当前第95页\共有139页\编于星期三\8点（2）分析参数变化对稳定性的影响例3-6

已知系统结构图如下，试确定使系统稳定时K的取值范围。

解：系统特征方程式s3+3s2+2s+K=0要使系统稳定，劳斯表中第一列元素均大于零。0<K<6s3s2s1s012

3K(6K)/3Ks(s+1)(s+2)R(s)C(s)

K﹣+当前第96页\共有139页\编于星期三\8点（3）确定系统的相对稳定性

例3-7

检验多项式2s3+10s2+13s+4=0是否有根在s右半平面，并检验有几个根在垂直线s

=1的右边？解：1)

劳斯表中第一列元素均为正∴系统在s右半平面没有根，系统是稳定的。

2)令s=s1

1坐标平移，得新特征方程为

2

s13+4

s12

s1

1=0s3s2s1s0213

10412.24-1ss1当前第97页\共有139页\编于星期三\8点

劳斯表中第一列元素不全为正，且第一列元素符号改变了一次，故系统在s1右半平面有一个根。因此，系统在垂直线s=1的右边有一个根。s13s12s11s1021410.512

s13+4

s12

s1

1=0当前第98页\共有139页\编于星期三\8点系统的稳态分量反映系统跟踪控制信号的准确度或抑制扰动信号的能力，用稳态误差来描述。在系统的分析、设计中，稳态误差是一项重要的性能指标，它与系统本身的结构、参数及外作用的形成有关，也与元件的不灵敏、零点漂移、老化及各种传动机械的间隙、摩擦等因素有关。本节只讨论由于系统结构、参数及外作用等因素所引起的稳态误差。3.6

线性系统的误差分析当前第99页\共有139页\编于星期三\8点

误差的基本概念

1.误差的定义误差的定义有两种：①从系统输入端定义，它等于系统的输入信号与反馈信号之差，即

E(s)=R(s)B(s)

在实际当中，各量均可测量，具有物理意义。G(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)B(s)U(s)﹣+E*(s)C*(s)当前第100页\共有139页\编于星期三\8点

②从系统输出端定义，它定义为系统输出量的期望值与实际值之差。E*

(s)=C*(s)C(s)由于C*(s)不可测量，故仅具有数学意义。

对于单位反馈系统，两种定义是一致的。

2.两种定义的关系G(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)B(s)U(s)﹣+E*(s)C*(s)当前第101页\共有139页\编于星期三\8点

将上图等效成单位负反馈系统，两图比较可知，U(s)=1/H(s),C*(s)为输出的期望值。因而，E*(s)是从输出端定义的非单位反馈控制系统的误差。

由此可见，从系统输入端定义的稳态误差，可以直接或间接地表示出从系统输出端定义的稳态误差。G(s)H(s)R(s)C(s)1H(s)E*(s)C*(s)﹣+G(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)B(s)U(s)﹣+E*(s)C*(s)U(S)当前第102页\共有139页\编于星期三\8点

3.稳态误差ess定义：例3-8设单位反馈控制系统的开环传函为：

当r(t)=t2/2R(s)=1/s3解法一：试求当输入信号分别为r(t)=t2/2，r(t)=1(t)，

r(t)=t

，

r(t)=sinωt时，控制系统的稳态误差。解：

终值定理的条件：除原点外，在虚轴及s平面的右半平面无极点。当前第103页\共有139页\编于星期三\8点解法二：e(t)=T(t－T)+T2e－t/T

(2)

当r(t)=1(t)R(s)=1/s(3)当r(t)=t

R(s)=1/s2当前第104页\共有139页\编于星期三\8点(4)当r(t)=sinωt

R(s)=ω/(s2+ω2)终值定理的条件不成立！

终值定理的条件：除原点外，在虚轴及s平面的右半平面无极点。当前第105页\共有139页\编于星期三\8点3.6.2控制系统类型不失一般性，闭环系统的开环传递函数可写为：υ

=0

称为0型系统；υ

=1称为Ⅰ型系统；υ

=2称为Ⅱ型系统。等等在一般情况下，系统误差的拉氏变换为：当前第106页\共有139页\编于星期三\8点1.阶跃输入作用下的稳态误差令称为系统的静态位置误差系数

0型系统：Kp

=

Kess=

A/(1+K)Ⅰ型及Ⅰ型以上系统：Kp

=∞

ess=03.6.3在给定作用下的稳态误差计算分析当前第107页\共有139页\编于星期三\8点2.单位斜坡输入作用下的稳态误差令静态速度误差系数

0型系统：Kv

=0ess=∞，0型系统无法跟踪斜坡输入

Ⅰ型系统：Kv

=

Kess=

B/K，有差跟踪Ⅱ型及Ⅱ型以上系统：Kv

=∞

ess=0，无差跟踪当前第108页\共有139页\编于星期三\8点3.加速度输入作用下的稳态误差令静态加速度误差系数

0型系统：Ka=0ess=∞Ⅰ型系统：Ka

=0ess=∞Ⅱ型系统：Ka

=

Kess=

C/KⅢ型及Ⅲ型以上系统：Ka

=∞

ess=0当前第109页\共有139页\编于星期三\8点阶跃、斜坡、加速度输入作用下的稳态误差r(t)=Ct2/2r(t)=Btr(t)=A·1(t)静态误差系数系统型别ess=C/Ka

ess=B/Kv

ess=A/(1+Kp)

KpKvKaυ∞∞A/(1+K

)

K

0

00∞C/K

00

∞∞

KПB/K

0

∞

K

0І当前第110页\共有139页\编于星期三\8点当前第111页\共有139页\编于星期三\8点例3-9

已知两个系统如图所示，当参考输入

r(t)=4+6t+3t2，试分别求出两个系统的稳态误差。

解：图（a），Ⅰ型系统

Kp=∞，

Kv=10/4

，Ka=0图（b），Ⅱ型系统Kp=∞，

Kv=∞

，Ka=10/410s(s+4)R(s)C(s)E(s)（a）﹣+10(s+1)s2(s+4)R(s)C(s)E(s)（b）﹣+当前第112页\共有139页\编于星期三\8点例3-10设图所示系统的输入信号r(t)=10+5t，试分析系统的稳定性并求出其稳态误差。解由图求得系统的特征方程为R(s)-C(s)系统结构图当前第113页\共有139页\编于星期三\8点由特征方程列劳斯表

21+0.5K3KK要使系统稳定，必须

K>0,1+0.5K>0,3(1+0.5K)－2K>0解得K>0，K>-2，K<6所以，当0<K<6时，系统是稳定的。由图可知，系统的开环传递函数为系统的稳态误差系数分别为当前第114页\共有139页\编于星期三\8点所以，系统的稳态误差为

上述结果表明，系统的稳态误差与K成反比，K值越大，稳态误差越小，但K值的增大受到稳定性的限制，当K>6时，系统将不稳定。r(t)=10+5t当前第115页\共有139页\编于星期三\8点给定稳态误差（由给定输入引起的稳态误差）扰动稳态误差（由扰动输入引起的稳态误差）对于随动系统，给定输入变化，要求系统输出量以一定的精度跟随输入量的变化，因而用给定稳态误差来衡量系统的稳态性能。

对恒值系统，给定输入通常是不变的，需要分析输出量在扰动作用下所受到的影响，因而用扰动稳态误差来衡量系统的稳态性能。3.6.4扰动作用下的稳态误差当前第116页\共有139页\编于星期三\8点所有的控制系统除承受输入信号作用外，还经常处于各种扰动作用之下。因此，系统在扰动作用下的稳态误差数值，反映了系统的抗干扰能力。

计算系统在扰动作用下的稳态误差，同样可以采用拉氏变换终值定理。例3-11控制系统如图G1(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)G2(s)N(s)++当前第117页\共有139页\编于星期三\8点H(s)=1，G1(s)=K1，G2(s)=K2/s(Ts+1)试求系统在单位阶跃给定和单位阶跃扰动共同作用下的稳态误差。解：（1）单位阶跃给定作用下的稳态误差:系统是Ⅰ型系统：Kp

=∞

ess=0

（2）单位阶跃扰动作用下的稳态误差。系统误差的拉氏变换为

K1R(s)C(s)﹣+E(s)K2

s(Ts+1)N(s)++当前第118页\共有139页\编于星期三\8点

系统结构稳定，且满足终值定理的使用条件。扰动单独作用时稳态误差为

（3）根据线性系统的叠加原理，系统在单位阶跃给定和单位阶跃扰动共同作用下的稳态误差为当前第119页\共有139页\编于星期三\8点例3-12系统结构图如图所示。（1）Kt=0时系统的性能?

（2）Kt时，s,ts变化趋势?

x=0.707时,s,ts=？

（3）Kt，r(t)=t，ess变化趋势?

x=0.707时,ess=？解.(1)时

系统结构不稳定！(2)时(2)时

(3)当前第120页\共有139页\编于星期三\8点3.6.5提高系统控制精度的措施

上面的分析和例题可知：通过调整系统的结构和参数，可以提高系统精度，比如：增加积分环节的个数或增大开环放大倍数；但积分环节个数一般不能超过2个，K也不能任意扩大，否则会造成动态品质变差，甚至造成系统不稳定。

解决的办法是引入与给定或扰动作用有关的附加控制作用，构成复合控制系统。例3-12控制系统结构图如图所示。图中试确定补偿通道的传递函数，使系统在单位斜坡给定作用下无稳态误差。当前第121页\共有139页\编于星期三