演示文稿高斯求积公式数值微分

当前第1页\共有50页\编于星期二\11点一、高斯点定义：高斯公式机械求积公式含有2n+2个待定参数

若适当选择这些参数使求积公式具有尽量高次（2n+1次?!）代数精度，则这类公式称为高斯公式。(4.1)当前第2页\共有50页\编于星期二\11点定义：高斯公式的求积节点称为高斯点。???请回顾:以前学过的梯形公式、辛甫生公式、柯特斯公式、中矩形公式是高斯公式吗？

除中矩形公式外都不是！注：机械型高斯求积公式一定是插值求积公式。当前第3页\共有50页\编于星期二\11点举例求

[a,b]上的两点高斯公式。解

设两点高斯公式为当前第4页\共有50页\编于星期二\11点这是关于四个未知数的非线性方程组，是否有解？一般难于求解…要求其代数精度最高，四个未知数，可列出4个方程:当前第5页\共有50页\编于星期二\11点高斯点具有以下性质：定理插值型求积公式(4.1)成为Gauss求积公式的充要条件：求积节点为n+1次正交多项式的零点。如何求高斯公式?当前第6页\共有50页\编于星期二\11点正交多项式概述：当前第7页\共有50页\编于星期二\11点首先证明对于任给节点x0，x1，…，xn，均存在某个次数为2n+2的多项式f(x),机械型求积公式不能精确成立，即其最高代数精度不能达到2n+2。如取：证明则有：当前第8页\共有50页\编于星期二\11点设求积节点为n+1次正交多项式ωn+1(x)

的零点。现证充分性。即求积公式是高斯型。证明当前第9页\共有50页\编于星期二\11点现对于任意给定的次数不超过2n+1的多项式f(x),用除f(x)，记商为P(x)，余式为Q(x)，即≤2n+1n+1≤

n≤n由已知条件，ω(x)与P(x)正交，故得当前第10页\共有50页\编于星期二\11点由于所给求积公式(4.1)是插值型的，它至少具有n次代数精度，故对Q(x)能准确成立：再注意到ω(xk)=0，知Q(xk)=f(xk)，从而有综之得：这说明公式对一切次数不超过2n+1的多项式准确成立，综之说明xk是高斯点。当前第11页\共有50页\编于星期二\11点再证必要性，即若是高斯求积公式设P(x)是任意次数不超过n

的多项式，则P(x)ω(x)的次数不超过2n+1，因此应准确成立但故.求积节点构造的当前第12页\共有50页\编于星期二\11点注：1、总可通过施密特正交化求出[a,b]上与所有次数不超过n的多项式都正交的多项式ωn+1(x)。2、命题：n次正交多项式有n个单零点。当前第13页\共有50页\编于星期二\11点解：设P0(x)=C，ω1(x)=x–x0。由于即展开，得则一个点的高斯公式为中矩形公式例.求[-1，1]上与次数为0的多项式正交的多项式ω1(x)=？当前第14页\共有50页\编于星期二\11点二、高斯—勒让得公式若[a,b]=[-1,1]，其上的高斯公式为称为高斯-勒让得公式。[-1，1]上的正交多项式称为勒让得多项式，勒让得多项式Pn+1(x)的零点就是高斯点。当前第15页\共有50页\编于星期二\11点几个Legandre多项式：当前第16页\共有50页\编于星期二\11点

若取P1(x)=x

的零点x0=0作求积节点构造公式：令它对f(x)=1准确成立，即可定出A0=2.从而得到一点高斯公式：中矩形公式当前第17页\共有50页\编于星期二\11点令它对f(x)=1,x

准确成立，即可定出A0,A1可得两点高斯—勒让得公式为若取的零点作求积节点构造公式注：更高阶的公式见书p122。当前第18页\共有50页\编于星期二\11点???请思考:高斯—勒让得公式的求积区间是[-1，1]，那么对于任意求积区间[a,b]如何办？解作变换可以化到区间[-1，1]上，这时当前第19页\共有50页\编于星期二\11点三、带权的高斯公式（更一般的表现形式）有时需要求如下带权的积分：称上述ρ(x)≥0是权函数。当前第20页\共有50页\编于星期二\11点定义：若求积公式具有2n+1次代数精度，则称这类公式为带权的高斯公式.高斯点我们类似的可有：当前第21页\共有50页\编于星期二\11点定理是高斯点的充要条件：是区间[a,b]上带权ρ(x)正交的多项式。当前第22页\共有50页\编于星期二\11点若[a,b]=[-1，1]，权函数为所建立的高斯公式切比雪夫—高斯公式称为切比雪夫—高斯公式。xk是切比雪夫多项式的零点。当前第23页\共有50页\编于星期二\11点4.7.4Gauss-Chebyshelv

quadratureformula当前第24页\共有50页\编于星期二\11点Remark1threetermrecurrenceformula

v.s.

Schmidtorthogonolization;Remark2Tnare

perpendicular

polynomials;当前第25页\共有50页\编于星期二\11点当前第26页\共有50页\编于星期二\11点Atlast,we’llstatetheerrorestimationoftheGauss-Chebyshelvformulawithouttheproof:当前第27页\共有50页\编于星期二\11点AccordingtotheerrorestimationoftheGauss-Typeformula,wehave:

当前第28页\共有50页\编于星期二\11点Consultthetableinp122.当前第29页\共有50页\编于星期二\11点当前第30页\共有50页\编于星期二\11点构造高斯公式的一般方法：1、构造正交多项式，继而求其零点，再按插值求积公式获得高斯公式；2、待定系数法此外，还可涉及到无穷区间上的广义积分等。例如：---拉盖尔-高斯积分当前第31页\共有50页\编于星期二\11点举例要构造下列形式的高斯公式解则其代数精度应为即求解…?!当前第32页\共有50页\编于星期二\11点定理（稳定性）高斯求积公式的求积系数Ak>0.证明：事实上这表明高斯求积法是稳定的。当前第33页\共有50页\编于星期二\11点关于积分余项和收敛性有：积分余项：收敛性：设f(x)∈C[a,b],则有：当前第34页\共有50页\编于星期二\11点4.1NumericalDifferentiationHowever,(i)Thereisnoerrorestimation;(ii)ArethereanyothernumericalmethodsforND?Howtoconstructthem&whatabouterror?Toanswerthesequestions,weobservefirst:当前第35页\共有50页\编于星期二\11点ErrorBound当前第36页\共有50页\编于星期二\11点当前第37页\共有50页\编于星期二\11点当前第38页\共有50页\编于星期二\11点Calledforwarddifference¢raldifferenceformula.Therearealsobackwarddifferenceformulas.当前第39页\共有50页\编于星期二\11点Five-pointformulabelowcanbeobtainedsimilarly:Itthenbecalledcompactform.当前第40页\共有50页\编于星期二\11点Forhigherorderderivatives,itcanalsobeobtainedbyinterpolationliketothe1storderderivativeusingmorepoints.

Alternately,wecanobtaintheformulaswhicharealgebraicallytediousbyTaylor’sexpansionsuchas:Cf.theresultsobtainedbythetwomethods.当前第41页\共有50页\编于星期二\11点Balancebetweenround-off&truncatederror当前第42页\共有50页\编于星期二\11点4.2Richardson’sExtrapolation(1927)Richardson’sExtrapolationisusedtogeneratehigh-accuracyresultswhileusinglow-accuracyformulas.当前第43页\共有50页\编于星期二\11点当前第44页\共有50页\编于星期二\11点ThencombinedwiththeformulaofN2(h)toeliminatetheh2term,weobtain:Whichposseshigherordertruncatederror!当前第45页\共有50页\编于星期二\11点当前第46页\共有50页\编于星期二\11点Thegeometryexplanation(Forh→0,theapproximationshouldbeaccuracy):Relatedtopic:steffensen’saccelerationforconvergentlinearlyiterativesequence.当前第47页\共有50页\编于星期二\11点NumericalDifferentiationRevisit

-------UsingExtrapolationMethod当前第48页\共有50页\编于星期二\11点ThetechniqueofRichardson’sextrapolationisalsousedinapproximatingdefiniteintegralsandindeterminingapproximatesolutiontodifferentialequationsi