勾股定理 省赛获奖

17.1勾股定理

了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。过程与方法知识与能力教学目标

培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发爱国热情，促其勤奋学习。情感态度与价值观

勾股定理的内容及证明。勾股定理的证明。重点难点教学重难点毕达哥拉斯头像毕达哥拉斯(Pythagoras,572BC?—497BC?)古希腊数学家、哲学家。无论是解说外在物质世界，还是描写内在精神世界，都不能没有数学!最早悟出万事万物背后都有数的法则在起作用，是生活在2500年前的毕达哥拉斯。毕达哥拉斯简介

毕达哥拉斯本人以发现勾股定理(西方称毕达哥拉斯定理)著称于世。这定理早已为巴比伦人和中国人所知(在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。这就是中国著名的勾股定理.)，不过最早的证明大概可归功于毕达哥拉斯。他是用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和，即毕达哥拉斯定理(勾股定理)。毕达哥拉斯定理——勾股定理

我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。你是否发现与的关系，和的关系?对于任意的直角三角形也有这个性质吗？猜想命题1如果直角三角形的两直角边分别为a、b斜边长为c，那么例：已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。求证：。

勾股定理的证明方法，达300余种。你有那些方法证明呢？

赵爽指出：按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四。以勾股之差相乘为中黄实。加差实，亦成弦实。证明：如图所示，根据面积相等的原理有：即：知识要点

经过证明确认正确的命题叫做定理（theorem）。命题1与直角三角形的边有关，我们把它称为勾股定理，即：如果直角三角形的两直角边分别为a，b斜边长为c，那么例：在Rt△ABC，∠C=90°（1）已知a=b=5，求c。（2）已知a=1，c=2，求b。（3）已知c=17，b=8，求a。（4）已知a：b=1：2，c=5，求a。（5）已知b=15，∠A=30°，求a，c。解：1.如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）（1）两锐角之间的关系：

；（2）若D为斜边中点，则斜边中线

；（3）若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：

；（4）三边之间的关系：

。随堂练习2.填空：（1）在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c=

。（2）在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c=。（3）在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4， 则a=，b=。随堂练习1.勾股定理的内容。

如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边长为c，那么2.勾股定理的证明。

根据面积相等原理，四个直角三角形的面积加小正方形的面积等于大正方形的面积。课堂小结17.1.2勾股定理

树立数形结合的思想。过程与方法知识与能力情感态度与价值观教学目标会用勾股定理解决简单的实际问题。树立数形结合的思想。

勾股定理的应用。实际问题向数学问题的转化。教学重难点教学重点教学难点勾股定理除了考试有用，在平时有什么用啊？用处可多了！比如：农村房屋的屋顶构造，就可以用勾股定理来计算;设计工程图纸也要用到勾股定理等等。

也对，的确是哦！看来我得好好看看怎么用勾股定理，我以后要自己修一座属于自己的别墅！哈哈…..修别墅可不是简单的，但是这必定用到勾股定理，接下来就来看看我们是如何利用勾股定理解决问题的！

一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？为什么？解：能通过。探究1

如图，一个3m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子低端B也外移0.5m吗？解：不是。探究21.小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是

米。随堂练习2.如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4米，则这两株树之间的垂直距离是

米，水平距离是

米3.如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是米。4.如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？

用勾股定理解决简单的实际问题。课堂小结17.1.3勾股定理树立数形结合的思想。过程与方法知识与能力情感态度与价值观教学目标会用勾股定理解决较综合的问题。树立数形结合的思想。勾股定理的综合应用。勾股定理的综合应用。重点教学重难点难点

勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边长为c，那么。回顾旧知例1：已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD=，求线段AB的长。解：例2：已知：如图，△ABC中，AC=4，∠B=45°，∠A=60°，根据题设可知什么？解：例3：已知，如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。

解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。归纳解：延长AD、BC交于E。∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，∴ ∴∴

我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示的点吗？探究

不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解。归纳能，根据勾股定理就可以得到。1.△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=，CD⊥AB于D，则AC=

，CD=

，BD=

，AD=

,S△ABC=

。随堂练习2.已知：如图，△ABC中，AB=26，BC=25，AC=17，求S△ABC。

勾股定理解决较综合的问题。归纳D习题答案左图中，AC=8；右图中，AB=17