三维图形表达

三维图形表达第一页，共五十八页，编辑于2023年，星期六三视图缺乏空间立体感常采用立体感较强的轴测投影对物体进行辅助表达6.1.1轴测投影的基本知识第二页，共五十八页，编辑于2023年，星期六轴测投影（轴测图）是应用平行投影法将物体沿不平行于任一坐标面（附着在物体上的空间直角坐标系）的方向进行投射而得到的投影。6.1.1.1轴测投影的形成第三页，共五十八页，编辑于2023年，星期六轴测轴：物体坐标系的三根坐标轴OX1、OY1、OZ1在轴测投影面上的投影OX、OY、OZ。6.1.1.2轴测轴、轴间角

和轴向伸缩系数

轴间角：轴测轴OX、OY、OZ之间的夹角。轴向伸缩系数：与物体坐标系的坐标轴平行的线段，其轴测投影的长度与原线段长度的比值称为轴向伸缩系数。用p1、q1、r1分别表示OX、OY、OZ三个轴向的伸缩系数。

第四页，共五十八页，编辑于2023年，星期六轴测投影图根据投射方向不同，分为正轴测图和斜轴测图两大类。6.1.1.3轴测投影图的种类每一类又根据轴向伸缩系数的不同而分成三小类：等测图：三个轴向伸缩系数均相等。二测图：两个轴向伸缩系数均相等。三测图：三个轴向伸缩系数互不相等。常用的是正等轴测图（正等测）和斜二轴测图（斜二测）。第五页，共五十八页，编辑于2023年，星期六6.1.1.4轴测图的投影特性物体上相互平行的直线，其轴测投影也相互平行。物体上与坐标轴平行的直线，其轴测投影与相应的轴测轴平行。与坐标轴平行的直线段，其轴测投影的变化率与相应的伸缩系数相同。第六页，共五十八页，编辑于2023年，星期六6.1.2正等轴测图当空间三根相互垂直的坐标轴与轴测投影面的倾角相等时，形成了正等轴测投影，简称正等测。第七页，共五十八页，编辑于2023年，星期六6.1.2.1正等测的轴间角和轴向伸缩系数三个轴间角均为120轴向伸缩系数为0.82通常使用简化伸缩系数：1第八页，共五十八页，编辑于2023年，星期六6.1.2.2平面立体的正等测画法

坐标法：根据各点的坐标值，沿着轴测轴方向进行度量，从而得到各点的轴测投影，再连轮廓线。第九页，共五十八页，编辑于2023年，星期六6.1.2.2平面立体的正等测画法切割法：对于切割形体，可先画出形体在未切割时的轴测图，再对其进行切割。

第十页，共五十八页，编辑于2023年，星期六6.1.2.2平面立体的正等测画法叠加法：将叠加而成的组合体分成若干基本形体，分别画出各部分的轴测图并组合起来。第十一页，共五十八页，编辑于2023年，星期六6.1.2.3曲面立体的正等测画法常用曲面立体为回转体，它们的轴测图主要涉及到圆的轴测图画法。对于其他曲面立体，可用坐标法逐点作图来绘制轴测图。第十二页，共五十八页，编辑于2023年，星期六6.1.2.3曲面立体的正等测画法1．平行于坐标面的圆和圆弧的正等轴测图--菱形四心椭圆法第十三页，共五十八页，编辑于2023年，星期六6.1.2.3曲面立体的正等测画法圆弧（圆角）正等测的简化作图第十四页，共五十八页，编辑于2023年，星期六6.1.2.3曲面立体的正等测画法2．曲面立体的正等测（1）圆柱的正等测：根据圆柱的直径和高，先画出顶面椭圆，再用移心法画底面椭圆的下半椭圆（移心距离即为圆柱高度），然后作椭圆公切线（长轴端点连线）即可。第十五页，共五十八页，编辑于2023年，星期六6.1.2.3曲面立体的正等测画法(2)圆台的正等测(3)圆球的正等测第十六页，共五十八页，编辑于2023年，星期六6.1.2.3曲面立体的正等测画法(4)圆环的正等测第十七页，共五十八页，编辑于2023年，星期六6.1.2.3曲面立体的正等测画法3．正等测综合举例作轴承座的正等轴测图。作物体的轴测图时，应从上部或前部开始画，这样不可见的轮廓线可不必画出，以减少作图线，使图面清晰。第十八页，共五十八页，编辑于2023年，星期六6.1.3正二轴测图在正轴测投影中，如果只有两根轴的轴向伸缩系数相等，称为正二等轴测投影，简称正二测。

正二测的伸缩系数和轴间角

第十九页，共五十八页，编辑于2023年，星期六6.1.4斜二轴测投影图物体坐标系与投影坐标系处于平行位置，此时将物体进行斜投影所得到的图形称为斜轴测投影图。常用的为斜二测。

斜二测的伸缩系数和轴间角

第二十页，共五十八页，编辑于2023年，星期六6.1.4斜二轴测投影图物体坐标系与投影坐标系处于平行位置，此时将物体进行斜投影所得到的图形称为斜轴测投影图。常用的为斜二测。p=r=1,q=0.5。

斜二测的伸缩系数和轴间角第二十一页，共五十八页，编辑于2023年，星期六6.1.4斜二轴测投影图立方体的斜二测第二十二页，共五十八页，编辑于2023年，星期六6.1.4.1坐标面平行圆的斜二测由于X1O1Z1与轴测投影面平行，所以该坐标面或其平行面上的圆的斜二测仍然为圆。而其它两个坐标面的平行圆的斜二测为椭圆。椭圆的长轴约为圆直径的1.06倍，且长轴方向不再与Z轴或X轴垂直，而是大约倾斜7。椭圆的短轴约为圆直径的0.33倍，其方向不再与Z轴或X轴平行。第二十三页，共五十八页，编辑于2023年，星期六6.1.4.1坐标面平行圆的斜二测当物体在一个坐标面方向上的形状为圆、圆弧或复杂曲线时，采用斜二测画法就较为方便。轴承座的斜二测第二十四页，共五十八页，编辑于2023年，星期六6.1.4.1坐标面平行圆的斜二测图a是连杆的主、俯视图。连杆在同一方向上有圆和圆弧，所以适合于斜二测。其作图步骤如图b、c所示。先作出各圆及圆弧的中心，再逐个作出可见的轮廓线。在作图时，特别要注意Y1轴的轴向伸缩系数为0.5,度量尺寸时要缩小一半。第二十五页，共五十八页，编辑于2023年，星期六6.1.5轴测剖视图在轴测投影图中，为了表达物体的内部结构形状，可采用剖切画法。假想用剖切平面将物体的一部分剖去，并移去观察者与剖切平面之间的部分，然后画出轴测图。这种剖切之后画出的轴测图成为轴测剖视图。第二十六页，共五十八页，编辑于2023年，星期六6.1.5轴测剖视图方法一：先画出物体完整的轴测图，然后沿轴测方向用剖切平面把物体剖开。第二十七页，共五十八页，编辑于2023年，星期六6.1.5轴测剖视图方法二：画剖面的轴测投影，再画上可见轮廓线。该方法可以减少作图线，提高作图效率。

第二十八页，共五十八页，编辑于2023年，星期六6.1.5轴测剖视图轴测剖视图上剖面线的方向正等测正二测斜二测第二十九页，共五十八页，编辑于2023年，星期六6.1.6轴测图的选择选择轴测图的两个基本原则是：立体感强以及作图方便。正二测的立体感较强，但对于不同形状的物体应具体分析，但由于作图较繁，实际应用较少。。正等测作图较为简便；可用30、60三角尺画出所有与坐标轴平行的线；且三个坐标面上的椭圆的画法也相同。斜二测作图也较为简便；可用45三角尺直接作图；特别对于正面形状较为复杂的物体更为方便。第三十页，共五十八页，编辑于2023年，星期六6.1.6轴测图的选择连接块采用正等测较为合适，既能清楚地表达形状，又能方便作图。第三十一页，共五十八页，编辑于2023年，星期六6.1.6轴测图的选择凸轮由于该凸轮正面较复杂，故选用斜二测以简化作图。第三十二页，共五十八页，编辑于2023年，星期六6.1.6轴测图的选择支座物体顶部有正四棱柱，若画成斜二测就有些变形；若画成正等测则有些面重合为一条线，立体感不强。因此，选用正二测。第三十三页，共五十八页，编辑于2023年，星期六三维建模技术研究如何合理正确地表达三维形体的几何信息，是计算机图形学的重要内容。它被广泛地应用到艺术造型的各个领域。它可以逼真地反映物体的外观，既可产生已有物体的真实模型，也可生成各种设计模型和艺术模型。6.2三维建模方法第三十四页，共五十八页，编辑于2023年，星期六根据对三维形体描述方法的不同，三维建模方法分成：线框造型（WireframeModeling）表面造型（SurfaceModeling）实体造型（SolidModeling）分形造型（FractalModeling）。6.2三维建模方法第三十五页，共五十八页，编辑于2023年，星期六线框造型是20世纪70年代初发展应用的，70年代后期出现了表面造型。实体造型自80年代以来得到了发展和广泛应用，并已经成为三维建模的主要方法。随着计算机图形学的迅速发展，人们在使用计算机深入探讨一系列问题的过程中，逐渐感到，用传统的几何学已不能有效地描述自然界中大量存在的对象，如：海岸线、山形、河流、岩石、断裂、树木、森林、云团、闪电等等。于是在70年代末80年代初，用于描述大自然和不规则形体的分形造型就逐渐发展起来了。6.2三维建模方法第三十六页，共五十八页，编辑于2023年，星期六线框造型是用顶点和基本线条（直线、圆弧等曲线）来表达物体的计算机模型。线框造型的数据结构为两张表：顶点表和顶点连线表。6.2.1线框造型第三十七页，共五十八页，编辑于2023年，星期六6.2.1线框造型第三十八页，共五十八页，编辑于2023年，星期六6.2.1线框造型第三十九页，共五十八页，编辑于2023年，星期六6.2.1线框造型线框造型结构简单，占用空间较少。但其缺点是：表达的信息不完备。用线框表示物体，没有面和体的概念，无法进行剖切处理，难以进行消隐，且无法表达出物体的物理参数（如质量、体积、表面积等）。线框造型表示的物体有时具有二义性甚至是无效的。第四十页，共五十八页，编辑于2023年，星期六6.2.2表面造型表面造型就是在线框造型的基础上，加上面的信息。因此，在表面造型中，还要给出立体的各个面的信息表，即面表。第四十一页，共五十八页，编辑于2023年，星期六6.2.2表面造型表面造型比较完整地描述了三维立体的表面，在三维建模中具有重要的地位。表面造型又有平面造型和曲面造型之分。曲面造型中，常用的曲面有：Bezier曲面、COONS曲面、B样条曲面、有理B样条曲面以及非均匀有理有理B样条曲面（NURBS：Non-UniformRationalB-Spline）。第四十二页，共五十八页，编辑于2023年，星期六6.2.2表面造型NURBS造型方法已经成为自由曲线、自由曲面造型中的经典方法。如今，NURBS造型方法已经广泛应用在各行各业中，如轿车车身的曲面造型、飞机头部的曲面造型等。虽然如此，表面造型也存在不足。它只能描述物体的边界面，而没有表达出三维立体的内部结构特征，它仍然无法进行剖切处理，且无法表达出诸如质量、质心等物理参数。第四十三页，共五十八页，编辑于2023年，星期六6.2.3实体造型6.2.3.1有效实体有效实体必须具有以下性质：(1)刚性(2)有界性(3)三维性(4)运算不变性第四十四页，共五十八页，编辑于2023年，星期六6.2.3实体造型6.2.3.2正则集合运算能产生正则几何体的集合运算（并、交、差）称为正则集合运算。相应的运算称为正则并、正则交、正则差。正则运算根据实体普通集合运算的结果，除去悬点、悬边和悬面，以形成有效的实体。

第四十五页，共五十八页，编辑于2023年，星期六6.2.3实体造型第四十六页，共五十八页，编辑于2023年，星期六6.2.3实体造型6.2.3.3Euler公式和Euler运算Euler公式设V、E、F分别表示简单多面体的顶点数、边数和面数，满足以下关系：V-E+F=2第四十七页，共五十八页，编辑于2023年，星期六6.2.3实体造型6.2.3.3Euler公式和Euler运算Euler-Poincare公式设L为多面体上不连通的孔环数，B为互不连接的多面体数量，H为贯穿多面体的孔数，满足以下关系：V-E+F=2（B-H）+L第四十八页，共五十八页，编辑于2023年，星期六6.2.3实体造型6.2.3.4实体造型方法1、扫描（Sweeping）造型第四十九页，共五十八页，编辑于2023年，星期六6.2.3实体造型6.2.3.4实体造型方法1、扫描（Sweeping）造型第五十页，共五十八页，编辑于2023年，星期六6.2.3实体造型6.2.3.4实体造型方法2、边界表示法（B-rep）通过描述物体的边界来表达物体。第五十一页，共五十八页，编辑于2023年，星期六6.2.3实体造型6.2.3.4实体造型方法2、边界表示法（B-rep）边界表示法在表达物体时，将物体的几何信息和拓扑信息分开。便于查询物体中的各几何元素；容易实现各种局部操作；容易表达具相同拓扑结构的几何体；易于在数据结构上附