隐函数参数方程表示的函数求导

隐函数参数方程表示的函数求导第一页，共三十七页，编辑于2023年，星期四第9讲隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

一、授课时间：2007－4－17－3、4节二、教学目的要求：在复习巩固上节显函数导数运算法则的基础上，讲述并要求掌握隐函数与参数方程确定的函数的求导方法。三、教学重点：隐函数与参数方程确定的函数的求导；教学难点：对数求导法求幂指函数的导数。四、课型、教学方法：讲述为主，讲练结合。五、教学手段：多媒体＋适当板书。第二页，共三十七页，编辑于2023年，星期四继续【2－2】课堂练习课堂练习：习题2－2）2（14）第三页，共三十七页，编辑于2023年，星期四复习：导数公式与求导法则1、基本导数公式2、求导法则(1)函数的和、差、积、商的求导法则(2)反函数的求导法则(3)复合函数的求导法则第四页，共三十七页，编辑于2023年，星期四1、基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式）第五页，共三十七页，编辑于2023年，星期四2、求导法则(1)函数的和、差、积、商的求导法则(2)反函数的求导法则第六页，共三十七页，编辑于2023年，星期四(3)复合函数的求导法则注：以上公式与法则是针对显函数而言的。第七页，共三十七页，编辑于2023年，星期四易知函数用解析法表示的方法有：【1】显函数（上节已讲其求导公式与法则）【2】隐函数【3】用参数方程表示的函数，即问：对【2】、【3】表示的函数如何求导？第八页，共三十七页，编辑于2023年，星期四

第9讲隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

【1】2－3隐函数及由参数方程所确定的函数的导数【2】总结【3】课堂练习第九页，共三十七页，编辑于2023年，星期四【1】2－3隐函数及由参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数第二章导数与微分三、对数微分法第十页，共三十七页，编辑于2023年，星期四一、隐函数的导数定义:隐函数的显化问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.第十一页，共三十七页，编辑于2023年，星期四例1解解得第十二页，共三十七页，编辑于2023年，星期四课堂练习1－例2。30

设方程x2+y2=R2(R为常数)确定函数y=y(x)，解

将方将程两边求导，可得当y0时或第十三页，共三十七页，编辑于2023年，星期四例2设方程y+x–exy=0确定了函数y=y(x)，解方程两边求导，得当1-

xexy

0时，解得即第十四页，共三十七页，编辑于2023年，星期四例3求曲线x2+y4=17在x=4处对应于曲线上的点的切线方程.解方程两边求导数，可得即对应于x=4有两个纵坐标，这就是说曲线上有两个点P1(4,1)和P2(4,-1).将x=4代入方程，得y=1.第十五页，共三十七页，编辑于2023年，星期四在P1处的切线斜率y|(4,1)=-2，y–1=-2(x

-4)即y+2x–9=0在点P2处的切线方程为y

+1=2(x

-4)，即y

-2x+9=0在P2处切线的斜率y|(4,-1)=2.所以，在点P1处的切线方程为第十六页，共三十七页，编辑于2023年，星期四【再用隐函数求导法补证反三角函数的导数公式】设y=arcsinx，则x=siny，两边对x求导，得≤≤cosy取正号，第十七页，共三十七页，编辑于2023年，星期四二、由参数方程所确定的函数的导数例如消去参数问题:消参困难或无法消参如何求导?第十八页，共三十七页，编辑于2023年，星期四由复合函数及反函数的求导法则得第十九页，共三十七页，编辑于2023年，星期四例4设参数方程(椭圆方程)确定了函数y=y(x)，解

所以第二十页，共三十七页，编辑于2023年，星期四例5解第二十一页，共三十七页，编辑于2023年，星期四所求切线方程为第二十二页，共三十七页，编辑于2023年，星期四例6设炮弹与地平线成a角，初速为v0射出，如果不计空气阻力，以发射点为原点，地平线为x轴，过原点垂直x轴方向上的直线为y轴(如图).由物理学知道它的运动方程为求(1)炮弹在时刻t时的速度大小与方向，(2)如果中弹点与以射点同在一水平线上，求炮弹的射程.yOx中弹点第二十三页，共三十七页，编辑于2023年，星期四解(1)炮弹的水平方向速度为炮弹的垂直方向速度为yOx中弹点VxVy所以，在t时炮弹速度的大小为它的位置是在t时所对应的点处的切线上，且沿炮弹的前进方向，其斜率为第二十四页，共三十七页，编辑于2023年，星期四(2)令y=0，得中弹点所对应的时刻第二十五页，共三十七页，编辑于2023年，星期四三、对数求导法观察函数上述函数的求导方法－采用对数求导法：

先对方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.适用范围:第二十六页，共三十七页，编辑于2023年，星期四例7解等式两边取对数得第二十七页，共三十七页，编辑于2023年，星期四例8解等式两边取对数得第二十八页，共三十七页，编辑于2023年，星期四一般地第二十九页，共三十七页，编辑于2023年，星期四课堂练习2解两边取对数，得两边求导，例9设3第三十页，共三十七页，编辑于2023年，星期四所以第三十一页，共三十七页，编辑于2023年，星期四【2】总结：导数公式与求导法则1、基本导数公式2、求导法则(1)函数的和、差、积、商的求导法则(2)反函数的求导法则(3)复合函数的求导法则(4)对数求导法(5)隐函数求导法则(6)参变量函数的求导法则第三十二页，共三十七页，编辑于2023年，星期四1、基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式）第三十三页，共三十七页，编辑于2023年，星期四2、求导法则(1)函数的和、差、积、商的求导法则(2)反函数的求导法则第三十四页，共三十七页，编辑于2023年，星期四(3)复合函数的求导法则(4)对数求导法先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.适用范围:第三十五页，共三十七页，编辑于2023年，星期四(5)隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边