新数学竞赛讲座第三

数学竞赛讲座王进良无穷级数1.nln(n!)时，

，

(n

)

发散解：(1)

0n

nln(n!)

(n

1)ln

2

ln

2

ln

2，

发散n

n

1(2)0

2时，n

n

1nln(n!)

n

ln

n

ln

n

,(3)

2时，

1

1

,

收敛r

rn

nnln

nn

1

r，

1取

1

r

1

ln

n

敛散性判别n1ln(n!)n判别级数的敛散性2.解：敛散性n1n

11判别(

n

1

n

)2

ln1n

111(

n

1

n

)2(

n

1

n

)2

ln

n

1

ln(1

2

)

2

n

1

n

1

n

1212nn

1

1n4n

1

n

1

lim

(n

1(

n

1

n

)

ln5n41

ln

n

1n

)2

limnnlimn收敛n

1n

11(

n

1

n

)2

lnn1考虑级数,为交错级数12(1)kk

2kk

1

j

0

k

1k(1)

uk

jk

2k显然,0

u

2k

1

0(k

)k

2

k

2k

2k

2k

22k

k

k

j

2k

j

j

u

k

1

[

1

1

]

1

2k

1

,k

1j

0j

02k

2j

0(k

1)2

j

(k

1)2

1

2k

3

又uk

1

3.

判别(1)[n1n

]敛散性n判别级数的敛散性n]

k解：当n

k

2

,k

2

1,,k

2

2k时，[下证:{uk

}注意到,(k

2

j)(k

2

2k

j)

(k

2

k

)2

,

(0

j

k

)收敛

uk

k

1kkk

{u

}

，

(1)

u的关系：[

n

]kkn原级数的部分和S

与(1)

u

的部分和T[

n

]2|

2[

n

]

1k

1|

S

-

T[

n

]n收敛，条件收敛(1)[

0(n

)

n1n

]n4.判敛散：n

1(n

a)n

b

(n

b)n

a

,

a,

b

0，(1)n

n2nx2

x(2)当0

a

b

1时，f

(x)(

x

a)x

b

(

x

b)x

a

0n2n[ln

f

(x)]'

0

ln[

f

(x)]

f

(x)

且(n

a)n

b

(n

b)n

ana

bn2n[(1

a

)(1

b

)]n

1

1

e(a

b

)解：(n

a)n

b

(n

b)n

an

n收敛，n1n

b

n

a(n

a)

(n

b)(n

a)b

(

x

b)an2n(1)

a

b

1时，n

1条件收敛，(n

a)n

b

(n

b)n

a(1)n

n2n

0

a

b

1时，n

an

b(n

a)

(n

b)(1)n

n2n(3)a

b

0时，/

0

级数发散，5.解：ln[1

n1np(1)n]，

p

0判敛散：12n2

pnpnp

o(

)n2

p(1)n

1]

(1)nln[1

]绝对收敛，ln[1

n

1(1)nnp

(1)p

1时，]条件收敛，ln[1

1n

1(1)nnp

(2)

p

1时，2]发散。ln[1

1n

1(1)nnp

(3)0

p

时，26.解：

]，

,

0判敛散：sin[n

1n

n

n2n

n

n2当

1，2，时，sin[sin[)

]nnn2n

]

(1) sin[(

n

sin[n

1n2

]发散。

n

]

/

0nnn2n

]

(1)

sinn

n

当

1，2，时，sin[sin[n

1nn2

]条件收敛

n

{sin

}

0,n7.解：

1

n

2n

2n发散，

un发散n

1n

1u

1

,而1

0(n

),但不单调。级数为交错级数，且

u

n

(1)nn考虑部分和{S2n1

}

113

2

5

41

1

1

1

)

0

(2n

1

2n2n1k

2

k

(1)k(1)kS2n

)

(

)

(111

1

)

2n

2n

2

24

2

6

4 2n

22n

1

)

(又S

(

1

1

)

(

12

1

.2n{S

}收敛。

u2n

2

lim

S2n

lim

S2n1n

nS2n1

S2n{Sn

}条件收敛。条件收敛证明：级数n

2(1)nn

(1)n8.解：1pn2(1)nn1npndx

x

p

(

1)sin

xdx

1

1n1

sin

x(2)0

p

1,时，an

n,级数绝对收敛。1nnpx

pdx

1(1)

p

1时，|

a

|n1n|

sin

x

|pn其中，

[n,

n

1]

1n

pnn1

sin

x设a

dx,

n

1,2,...n.,

p

0,

证明：222}

0

{0

pnppn1

n

(

1)

1)

(

1)

(

an条件收敛。

n0

xn0

n0(1)

p

1,

an绝对收敛；

(2)0

p

1,时，

an条件收敛。9.en

n(2n)2n

nn

(n!)1

e12n2判别1n1

n

(n!)敛散性2n

nn

e

nn

/(12n)解：斯特林公式：n!

1时，级数收敛；

1时，级数发散。证明：21

1

n

1nnnn

1收敛1

x

x

x

,证明：10.

设x

1,

x2nnx

x

xxn

1

xn

(1

xn

)n

11

1

1xn

1xn

111

11

1

1xn

1

xn

1

xn

xn1n

1nk

1k k

1nk

1kn[

]

1

xx

x1

x部分和：S

2nnn

1nnn

1xx

1

{1

}

有下界0

x

x

x又x11.解：

收敛1n2a1

n2a

n2aan

n(1)

n

n

设an

0,an发散，试判断敛散性,

(2)(1)nnn

1

1

an

1

1

n2an

1an

an发散n

1nnnan1

aa

，an

1

1

a

1

M(2)若{an

}有界，0

an

M

,nnn若{a

}无界，则an1

a/

0，否则{a

}有界发散n

1nan1

a证明：12.

设f

(x)为偶函数，在0点的某邻域内有连续二阶导数，且1收敛1n1n|

f

( )

1

|f

(0)

1,f

'(0)

0,f

"(0)

2,证明f

(

1

)

f

(0)

f

'(0)

1

1

f

"(

)

1

,

(0,

)n

n

2

n2

nf

(0)

1,

f

"(0)

2,

f

'(0)

01111

lim|

f

"(

)

|

1n2|

f

(

)

1

|n12

|

f

"(

)

|

lim2nn|

f

(

)

1

|n

2n收敛1n

1n|

f

(

)

1

|证明：13.

若正项级数

1)2收敛n1ann1nn(aa

收敛，则22

2n

n

nnan(an

1)

[exp{a

ln

a

}

1]

(a

ln

a

)2

1)2nnnnan

limna

0

lim

a

lna(an

ann1n(a

1)2收敛14.证明：nnan

n设数列{a

},(b

)满足e

a

ebn

,证明：n1nn1nnabn

收敛a

收敛，则(2)若a

0,

且(1)若an

0,则bn

0n

ebn

1

a

b

0n

n(1)ean

ax2a2bln[ex

x]

12x

nn(2)

lim

n

lim

n

limn

a2

nln[ean

a

]收敛n1nabn证明：2112n1n

nn1u

(u

1),讨论

un收敛性15.

设0

u

1,

u

2nn

(u

1)

11u

2un1n显然，0

u

1{un

}

有界

un收敛n1n设lim

un

A

u1

1

A

1

A(

A2

1)

A

022n

2n1

1

lim (un

1)

un2lim

un

116.解：收敛n设{an

}

0,证明：(1)n

1n

a1

a2

an1nnn

nnnlim

a

0n,则lim

b

记b

a

a2

an(n

1)b

bn

1n

(n

1)an

(a1

a2

an

1

)

0收敛1(1)n

1nna

a2

an17.解：1nn

1

kak

0n

n

1

k

1设an收敛，试证：limn

An2

nn

11s

s

s

则,

lim

sn

A,

limn设sn

ak

,k

11

lim2n

1n

]nn

1

kak

lim[sn

n

n

1

k

1s

s

s

A

A

018.解：设a1

a2

an

0,且an发散，则n

1

1

a3n

a1lim

a2

a2n

1

a4

a2n

1a1

a3

a2n

1

a2

a4

a2n

1

a2n

1a1a1

a3

a2n

1

a2n

1

a2n

1又

a2

a4

a2n

a3

a5a1

a3

a2n

1

a1

a32

12n1

s

a2n

1

1

a119.解：1n!f

(

n)

(0)，n

0,设f

(

x)

,

且a

1

x

x2

nf

(0)

1,

f

'(0)

1,且(1

x

x2

)f

(x)

1

,

n

2(n

1)! (n

2)!n!f

(

n

1)

(0)

f

(

n

2)

(0)f

(

n)

(0)求n阶导数：a0

a1

1

an

,收敛，并求和证明：n

0

anan

2an

111

1

11

1[

]

nk

0

an

2

an

1nnan

2an

1a0

a1ak

2akk

0

akak

2

ak

1

部分和S

1

2

1a0

a12n

1nn

bn

n)x

的收敛域，其中，a,b

0

n20.

求(a,

)1

1(a

an2bnn2(

)ab1nnn(

)a(1)nn1)收敛

收敛区间：[)发散，(n12n

n

/

2an

nn

na

n

解：(1)a

b,n

nan

bn

an

bn1a2

a,

R

, limn

n2n

n

/

2bn

nan

bnn

n2b

n

(2)a

b,n

nan

bn1b2

b,

R

, limn

n1

1(12b

bn2nan

n(

)bann(1)n(

)bn

1)收敛

收敛区间：

[

,

])，

(n121.解：n

1n1

(1)nn(

n2

sin

n)x

的收敛域求2n1

(1)nn

n当|

x

|

1时，(收敛区间：(

1,1)nnn|

3

|

x

|

sin

n)

x1

(1)n|

(

n22(

n

1n1

(1)nn

1nn

n

sin

n)x

绝对收敛|

x

|

1时，

3

|

x

|

收敛

sin

n)

x

/

0解：2(1

n1

n

nx1n)

e

的收敛域22.求

(1

1

)

n

e

x

e(

x

1)nn

(1

1

)

n2

e

nx2(1

n

nx1n)

e

收敛n当x

1时，正项级数2(1

n1

n

nx1n)

e

的收敛域(1,)n12(1

n1

n

nx1n)

e

发散当x

1时，正项级数n

nnn)

]1n12)

e

[e

/(1

n

n当x

1时，u

(1

1

11

e

2

0

e

e

2nO(

)nn[1

nln(1

1

)]23.nkn

kCk

12n

n(n

1)2

n求limnkC

k

nk

12解：

首先计算nk

0kknnk

1kknCx

C

考虑nk

1k

1knC

kx

n(1

x

)

n

1

x

1

(1

x

)

n

1nk

1k

kn

nx

(1

x

)

n

1C

kxnk

12

k

1kn

k

x

n(1

x

)

n

1

n(

n

1)

x

(1

x

)

n

2C2nk

1knk

n(

n

1)2

n

2C

令

x

1,

有：1

14limn

4nk

2n2

nC

k

limn

n(n

1)

k

124.解：求(

xn

)3中的项x

20的系数n1x

3(1

x)3(

xn

)3

(

x

)3

n11

xn01

xxn

,

(|

x

|

1)

1

1

(1

x)2n1nx

n1

,

(|

x

|

1)

2

(1

x)3n

2n(n

1)

xn2

,

(|

x

|

1)2n1

n

2n(n

1)

xn1n(n

1)

xn

2

n

2

(

xn

)3

1

x

3

2019

182中的项x

的系数(n1xn

)325.解：n1n1n(n

1)sin

nx求和：(1)e

jnx

cos(nx)

j

sin(nx)n1n(1)n1首先计算和：

s(t

)

n(n

1)

t

,

(|

t

|

1)1n(n

1)[ts(t

)]''

[t

]''

(1)

t

1

tn1n1

n1n1n1(1)n12s(0)

0,

s'(0)

10[ts(t

)]'

ln(1

t

)tln(1

t

)dt

t

(1

t

)

ln(1

t

)

ts(t

)

s(t

)

1

1

t

ln(1

t

),

(t

0)t将t

e

jx代入上式，比较虚部得到n1(1)n1

sin

nx

x

(1

cos

x)

sinx

ln(2

cos

x

)n(n

1)

2

226.解：0dxx1

e

x利用级数求定积分：000[

xedx

dx

n0(1)n

e

nx

]dx

x1

e

xxe

x

x

1

e

x0(1)n0nxe

(

n1)

x

dx

1

2

n0

(n

1)2

627.解：01n1nxndx

x1

dx证明：1

x

x

e

x

ln

x

,

(

x

0,

x

ln

x

0,

x

0

)x

x1(1)1n0n

nnx

ln

xn

n!

(

x

ln

x)

n0

n!10n!dx

1

dxxn

lnn

xdxn1(1)nx

x010nn

nn!(n

1)n1x

ln

xdx

(1)10n1

1

nndx

dx

x

x28.解：cossin

nn!

sin(sin

)e证明：,

(,)n1n0n!xne

x

令，x

cos

j

sin比较虚部：n0n!cos

n

j

sin

n

,ecos

j

sin

n!n1sin

n

sin(sin