2022-2023学年上海九年级数学上学期同步精讲精练第12讲 二次函数的概念与特殊二次函数的图像一解析版

第12讲二次函数的概念与特殊二次函数的图像（1）

二次函数的定义

—知识梳理二次函数y=ax2的图像

二次函数丫=3乂2的性质

，会判断二次函数

根据二次函数的定义求字母取值

二次函数的概念与世卫探元求函数值与解析式

特殊的二次函数的图像（1）特殊二次函数的图像画法

特殊二次函数的图像：开口方向、顶点坐标、对称轴

二次函数的判断中的注意事项

与特殊的二次函数有关的性质

课后作业

知识一、二次函数的概念

一般地，解析式形如〉=0%2+云+。（其中4、氏C是常数，且。二0）的函数叫做

二次函数.

其中依2叫做二次项、人叫做一次项系数、，是常数项.

二次函数丫=以2+法+。的定义域为一切实数.而在具体问题中，函数的定义域根据

实际意义来确定.

二次函数应注意的问题:

(1)a、b、c三个系数中，必须保证否则就不是二次函数了；而b、c两数可以

为0,如特殊形式：y=ax2,y=ox2+c,y=ox2+〃x,y=x2等.

(2)由于.二次函数的解析式是整式的形式，所以自变量x的取值范围是任意实数.

题型探究

题型一、二次函数的判断

［例I］下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出“、b、

Co

[13

(1)y=l-3x2；(2)y-x(x—5)；(3)y--；--------；(4)y=—x2+—x+l；

3厂+2x+122

(5)y=3x(2—尤)+3/.(6)y=(2+x)(x-2)；(7)y=\jx2+5x4-6(8)

y=x4+%2+1io

【答案］（1）是，a=-3,b=0,c=l（2）是，a=l,0=-5,c=0；（3）不是;

（4）是，"5'"2，C1；⑸不是；⑹。=1力=°，c=-4；

（7）不是；（8）不是.

【解析】（1）y=l-3x2=3-3x2+l,符合二次函数的定义，故（1）是二次函数,

（2）y=x（x—5）=%2_5x,符合二次函数的定义，故（2）是二次函数，且o=l力=5；

（3）y-------是分式，不符合二次函数的定义，故（3）是二次函数;

-3X2+2X+1

i313

(4)y=-x2+-x+l,符合二次函数的定义，故(4)不是二次函数，。=一功=一同=1；

2222

丁=342-幻+3/=6；1-31+3/=6x,不符合二次函数的定义，故(5)不是二

次函数;

(6)y=(2+x)(x-2)=x2-4,符合二次函数的定义，故(6)是二次函数，且。=1力=-0,

c=-4；

y=&+5x+6是根式,不符合二次函数的定义，故（7）不是二次函数;

(8),=/+/+1最高次数为4,不符合二次函数的定义，故（8）不是二次函数.

题型二、根据二次函数求字母

【例2】y=（帆2-2加一3）9+（“一1户+m2是关于x的二次函数需要满足的条件是

【答案】加。3且相。—1.

【解析】加一3wO,解得相。3且〃7W-1.

君题型三、函数值

【例3】已知二次函数y=2%2-5x+3.

(1)当x=-1时，求函数值;

2

(2)当x取何值时，函数值为0?

【答案】(1)6;(2)1或3.

2

【解析】（1）把x=-g代入y=2f-5x+3得y=6；

c3

(2)把y=0代入2f—5x+3=0得玉=1,x2=—

内题型四、列解析式

Hl【例4】如图，有一矩形纸片，长、宽分别为8厘米和6厘米，现在长宽上分别剪去宽

为x厘米（无＜6）的纸条，则剩余部分（图中阴影部分）的面积y关于x的函数关系式为

8

6

x

x

【答案］y=x2-14x+48(0<x<6).

【解析】阴影部分的长方形的的长为（8-力52,宽为（6-X）C7H,

所以面积y=(8-工)(6-1)=工2_14x+48(0<x<6).

【例5】某公司4月份的营收为80万元，设每个月营收的增长率相同，且为x(x>0),

6月份的营收为y万元，写出y关于x的函数解析.

【答案】y=80(l+x)2

【解析】因为4月份的营收为80万元，5月份起，每月增长率都为x,所以5月份的营

收为80(1+x)万元，12月份的营收为80(1+才万元.

瓦［例6］用长为15米的篱笆，一面靠墙(墙的长度超过15米)，围成一个矩形花圃.设

花圃的宽为x米，面积为y平方米，求y与x的函数解析式及函数的定义域.

【答案】y=-2x2+15jcfo<x<-^

【解析】设花圃的宽为X米，则长为(15-2X)米,

，面积y=x(l5-2x)=-2x2+15xfo<x<^-

举一反三

1.（2021•全国九年级专题练习）若函数y=（〃-1）/+右+矫一1是二次函数，则（)

A.厚1B.存-1C.。=1D.a=±\

【答案】A

【解析】

解：由题意得：a-1#),

解得：#1,

故选：A.

2.（2019•浙江九年级期中）下列各式中，是二次函数的是（）

2222

A.y=ax+bx+cB.y=42x-xC.y=x+2xD.y=JC2+1

【答案】C

【解析】

解：A、当“=0时，y=加+6x+c不是二次函数，故不符合题意;

B、y=右边不是整式，不是二次函数，故不符合题意;

C、y=x2+2x,是二次函数，故符合题意;

D、产=炉+1,变形可得y=±G71，不是二次函数，故不符合题意;

故选c.

3.（2021・广东九年级专题练习）若函数y=（l+w）x""2,,i是关于x的二次函数，则根的值

是（）

A.2B.T或3C.3D.-1±V2

【答案】C

【解析】

•.•函数y=(1+m)X'"、mT是关于X的二次函数,

*'•m2-2m-1=2,且1+机HO,

由nv-2m-l=2得，加=3或m=-1,

由1+mwO得，6w-l,

：.m的值是3,

故选：c.

4.(1)已知二次函数y=炉―2X，当工=-2时，y=

（2）已知二次函数y=/-2,当y=0时，x=

【答案】（1）8；（2）±42

【解析】（1）把x=-2代入y=--2x得）=8；

（2）把y=0代入i―2=0得4土血.

5.已知函数y=（，/-1）/+（m+然是常数）。

（1）当阳为何值时，y是x的二次函数？

（2）当"2为何值时，y是X的一次函数？

（3）当阳为何值时，y是x的常值函数？

【答案】（I）；（2）；（3）

【解析】(1)二次函数时，m2-1^0,解得:加。±1。

(2)当〃2?—1=0时，加=1或加=一1。

当m=1时，根+lwO,y是x的一次函数。

（3）由（2）当加=T时，加2T=。，加+1=0。所以当根=-1时，y=—1,是x的

常值函数.

6.（2021.全国九年级专题练习）若正方体的棱长为X,表面积为y,则y与X的关系式为

【答案】j=6x2

【解析】

解：•..正方体有6个面，每一个面都是边长为x的正方形,

，表面积y=61.

故答案为：y=6x2.

7.（2020•全国九年级专题练习）已知三角形的一边长为x,这条边上的高为x的2倍少1,

则三角形的面积y与x之间的关系为

【答案】y=x2-；x

【解析】

由题意得

y=^x（2x-\）=x2-^x.

故答案为y=W-；x.

8.（2020.四川）如图，用一段长为20米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的长方

形菜园ABC£>,设4B为x米，则菜园的面积y（平方米）与x（米）的关系式为.（不

要求写出自变量X的取值范围）

AD

菜园

B'-----------------'C

【答案】尸-2x2+20x

【解析】

的边长为x米，而菜园ABC。是矩形菜园,

：.BC=20-2x,

:菜园的面积=4BXBC=X・(20-2X),

；.y=-2x2+20x.

故填空答案：y=-2x2+20x.

知识二、二次函数丁=才的图像

y=£的图像

在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数y=x2的图像.

(1)列表：取自变量X的一些值，计算相应的函数值y,如下表所示:

-1-_1111

X-22-1012

222

£J_

y=/42-101214

4444

(2)描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描

出这些坐标所对应的各点，如图1所示.

（3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数y=f的图像,

如图2所示.

二次函数y=Y的图像是一条曲线，分别向左上方和右上方无限伸展.它属于一类

特殊的曲线，这类曲线称为抛物线.二次函数y=Y的图像就称为抛物线y=/.

归纳总结:

抛物线y=/的开口方向向上;它是轴对称图形，对称轴是y轴，即直线k0.

抛物线），=f与y轴的交点是原点O;除这个交点外，抛物线上的所有点都在x轴的上

方，这个交点是抛物线的最低点.

抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.抛物线y=x2的顶点是原点0(0,0).

2.二次函数y=的图像

抛物线>=以2（其中〃是常数，且ax。）的对称轴是y轴，即直线x=O；顶点是原点.抛

物线的开口方向由a所取值的符号决定，当时，抛物线开口向上，顶点为抛物线的最

低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点为抛物线的最高点.

总结：（1）开口向上时；从左向右看，对称轴左侧部分图像下降（y随着x的增大而减小），

对称轴右侧部分图像上升（y随着x增大而增大）.

（2）开口向下时；从左向右看，对称轴左侧部分图像上升（y随着x的增大而增大），对

称轴右侧部分图像下降（y随着x增大而减小）.

题型探究

题型一、二次函数产a/的图像

【例7】在同一直角坐标系中.

(1)画出下列函数的图像;①y=gf；②y=2/;③y=—3％2；④、=一2》2；

(2)说出四个函数图像的区别与联系.

【答案】（1）图像见解析；（2）见解析.

【解析】（1）①列表:

X-4-3-2-101234

y=-1x~284.520.500.524.58

2

12

y=——x-8-4.5-2-0.50-0.5-2.-4.5-8

2

X-2-1.5-1-0.500.511.52

y=2x284.520.500.524.58

y=-2x2-8-4.5-2-0.50-0.5-2-4.5-8

②描点

③连线

(2)四个函数的区别于联系如下表:

函数区别联系

y=lx2图像开口方向抛物线位置开口大小

12

x抛物线除顶点在X轴当间变大时，抛物线

y=~~四个图

开口向上上外,其余在X轴上方，像的顶

a>0,开口变窄；当时变小

并向上无限延伸.点都是

原点，对

时，抛物线开口变宽.

称轴都

y=-2x2抛物线除顶点在X轴当同变大时，抛物线是y轴.

1a<0,开口向下上外,其余在X轴下方，

y=——x2'开口变窄；当时变小

2并向下无限延伸.

时，抛物线开口变宽.

题型二、二次函数产研2的性质

【例8】说出下列函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标.

(1)y=2x2；(2)y———x~.

3

【答案】（1）向上，直线40,（0,0）

(2)向下，直线x=0,(0,0)

【解析】（1）丁=2/图像为抛物线，顶点坐标为（0，°）,对称轴为y轴或直线40；

开口向上;

（2）3图像为抛物线，«<0,开口向下，顶点坐标为（°，°）,对称轴为），轴或

直线,r=0：

【例9】（1）抛物线y=2f除了点以外，都位于.上方.

【答案】（0,0）;X轴.

【解析】抛物线y=2W的图像为顶点是（0,0）点，开口向上的抛物线,

,只有（0,0）点在x轴上，其余的都位于x轴上方.

(2)抛物线>=以2与y=|f的形状相同，则。的值为

【答案】±2.

5

【解析】•・•抛物线y=#与y=2*2的形状相同，，同=2,得。=±2.

⑶已知点P《，6）在抛物线尸加上，那么〃的值为

【答案】

3

【解析】把P（』，6）代入尸/得〃=号

23

(4)函数y=-⑪2与y="+匕的图像可能是()

【答案】D.

【解析】当。＞0时，抛物线开口向下，一次函数一定过第一、三象限,

当a<0时.，抛物线开口向上，一次函数一定过第二、四象限.

（5）已知二次函数y=（2-的图像开口向下，求小的值.

【答案】m=—.

2

【解析】由题意得（4*+1=2,得加

2-5/n<02

（6）如图，四个二次函数图像，分别对应的是①1y=加一；②>=6/；③y=cr2；④y=dx2,

则a、b、c、d的大小关系为（）

A.a>b>c>dB.a>b>d>c

C.b>a>c>dD.b>a>d>c

【答案】A.

【解析】:①、②函数图像开口向上，...a〉。,&>0;

•••③、④函数图像开口向下，...cvO,d<0;

,.,二次函数。=0«2（。*0）中，|4越大,开口越小,a>b>c>d.

（7）若把抛物线丫=g2（a*0）沿着顶点旋转180。，所得抛物线的表达式是；

若把抛物线丫=奴2（aw。）沿着工轴翻折，所得的抛物线的表达式是；由这样

的旋转与翻折分别得到的两条抛物线_____重合的（选填"是''或"不是”）.

［答案】y=-ax2；y=-ax2；是.

【解析】若把抛物线>=内2（。工0）沿着顶点旋转180。,

则新的抛物线顶点和对称轴不变，方向相反，.•.新的抛物线的表达式为丫=-四2；

若抛物线丫:"？（a*o）沿着x轴翻折，则新的抛物线顶点和对称轴不变，方向相反,

.•.新的抛物线的表达式为y=-，£.

举一反三

1.（2020・上海市静安区实验中学九年级课时练习）下列关于抛物线y=x?和y=-Y的关系

的说法中，错误的是（）

A.它们有共同的顶点和对称轴

B.它们都是关于y轴对称

C.它们的形状相同，开口方向相反

D.点A(-2,4)在这抛物线y=V上，也在抛物线y=-V的图像上.

【答案】D

【解析】

解：抛物线y=x?和y=-xz的性质可知,

二次项系数。的绝对值相等，所以开口方向相反,

并且都关于y轴对称，顶点都为原点,

但是点A(-2,4)在这抛物线y=f上，但不在抛物线y=-V的图像上,

综上所述，A,B,C选项都正确，只有D错误,

故选：D.

2.二次函数y=-1%2的图像是,它的对称轴是，顶点坐标是,开口方向

【答案】抛物线；y轴；（0,0）；向下.

【解析】丫=62（〃#0）图像为抛物线，顶点坐标为（0,0）；对称轴为y轴;

a>0,开口向上，a<0,开口向下

3.抛物线y=3/经过点A(3,〃)，则〃=,且点A关于抛物线对称轴的对称点4

的坐标是

【答案】27：(-3,27).

【解析】把A(3,n)代入y=3f得〃=27；♦.•抛物线y=3x?的对称轴为y轴,

；.A（-3,27）.

4.已知关于x的二次函数y=(l+k)V,当人为何值时，它的图像开口向上？当k为何值时,

它的图像开口向下？

【答案】%>-1时，图像开门向上；Z<-1时，图像开口向下.

【解析】当1+%>0,即4>-1,抛物线图像开口向上;

当1+々<0,即人<—1,抛物线图像开口向下.

5.抛物线y=；/上一点到*轴的距离为8,求该点的坐标.

【答案】(4,8)、(-4,8).

【解析】：抛物线y=上一点p到x轴的距离为8,则P点纵坐标为8,

,2

把y=8代入y=得耳(4,8)、鸟(-4,8).

6.已知直线y=gx+2上有两个点A、B,它们的横坐标分别是3和-2,若抛物线y=也经

过点4,试求该抛物线的表达式.该抛物线也经过点B吗？请说出你的理由.

【答案】y=-x2；抛物线不经过B点.

3

【解析】把3和-2分别代入y=gx+2得4(3,6)、7?^-2,-|

把A(3,6)代入y=以?得。=2,.♦.抛物线的表达式为丫=|/；

把x=-2代入y=2/得y=g，与8点纵坐标不同,

...抛物线不经过点8.

总堂总结

1.知识清单:

(1)二次函数的定义;

(2)二次函数、=加的图像的画法;

(3)二次函数y=o?的图像的性质.

2.总结:

(1)判断某个函数是否为二次函数时，需要从以下几个方面考虑:

1）二次函数是整式形式，根号、分母里不能含有未知数;

2）将解析式化简之后再进行判断;

3）对于二次项系数中含有字母的，一定要考虑到二次项系数不为0这一前提条件.

（2）对于实际应用问题，注意结合实际情况考虑自变量的取值范围.

（3）函数y=ax1（存0）的图像与。的关系。

函数y=ax2（^0）的图像的开口方向与〃有关，开口大小与间有关.例如）=2^2与尸・2r2的形

状一样，开口方向相反，也就是说;将抛物线产2%2沿x轴翻折或绕其顶点（0,0）旋转180。

得到抛物线y=-2N.同越大时，抛物线的开口方向越小.

（4）画二次函数>=依2的图像时应注意的问题。

（1）描点法所画的图像只是整个函数图像的一部分，是近似的，由于x可取一切实数，所

以图像是向两方无限延伸的；（2）点选的越多，图像越精确（一般取五点）；（3）图像必须

平滑，顶点不能画成尖形的.

课后作业

1.以x为自变量的函数：①y=(x+2)(x—2)；②y=(x+2)2；③>=1+2》-3/；④

y=x2-x(x-1).是二次函数的有()

A.②③B.②③④C.①②③D.①②③④

【答案】C

【解析】

解：①尸(*+2)(工-2)=/_4,符合二次函数的定义，故①是二次函数;

②y=(x+2>,符合二次函数的定义，故②是二次函数;

③y=l+2x-3一,符合二次函数的定义，故②是二次函数;

④-耳刀-1)=/-/-工=一了，不符合二次函数的定义，故④不是二次函数.

所以，是二次函数的有①②③,

故选：C.

2.（2021•全国九年级专题练习）若函数y=（，〃+2）户是二次函数，那么机的值是（)

A.2B.-2或2C.-2D.0或2

【答案】A

【解析】

函数y=(m+2)J”是二次函数,

/%+2工0且帆=2,

m=2

故选：A.

3.（2021•江苏九年级专题练习）已知两个变量％与y之间的三组对应值如表，则y与x之间

的函数解析式可能是（）

X-i2-3

y-63-2

A.y=6xB.y=x-5C.y=x2-5D.y=—

x

【答案】D

【解析】

解：A.将表格对应数据代入，不全符合方程y=6x,故A不符合题意;

B.将表格对应数据代入，不全符合方程y=x-5,故B不符合题意;

C.将表格对应数据代入，不符合方程y=--5,故C不符合题意;

。.将表格对应数据代入，符合方程y=9,故0符合题意.

X

故选：D.

4.（2020・上海市静安区实验中学九年级课时练习）下列说法中正确的是（)

A.抛物线、=以2的顶点是原点B.抛物线丫=-"2的开口向下

C.抛物线，=以2的开口向上D.抛物线丫=以2的顶点是抛物线的最低点

【答案】A

【解析】

解：A.抛物线^=以2的顶点是原点，正确;

B.抛物线丫=-以2的开口不确定，因为a不知是正是负:

C.抛物线y=or2的开口不确定，因为a不知是正是负;

D.抛物线y=a/的顶点不确定，因为a不知是正是负,

故选A.

5.(2020•苏州市平江中学校九年级期中)二次函数y=(m+3)Y+3x+M-9的图象经过原

【答案】3

【解析】

解：根据二次函数图象过原点，把(0,0)代入解析式,

得0=>-9，整理得病=9,解得〃z=±3,

m+300,

根。一3,

"2=3.

故答案为：3.

6.（2021•上海市实验学校九年级二模）已知/（犬）=/+1,则〃-1）

【答案】2.

【解析】

解：•••〃力=1+1

.­,/(-1)=(-1)2+1=2

故答案为：2.

7.（2021•山东九年级期末）在实数范围内定义一种运算“※”，其运算法则为。※匕=〃-2"

,根据这个法则，若y=（x+3）X2,则丫=（写成一般式）.

【答案】y=x2+2x-3

【解析】

解：由题意可得:y=(x+3)2-2x2(x+3)

整理，得：y=x2+6X+9-4X-\2=X2+2X-3

故答案为：y=f+2x-3

8.（2020•上海市静安区实验中学九年级课时练习）函数丫=-3/+2心-1,二次项系数是

_,一次项系数是一，常数项是一.

【答案】-32正-1

【解析】

函数是¥=-3无2+2夜工-1,二次项系数是：-3,一次项系数是：2正，常数项是：-1.

故答案是：-3；2^2;—1.

9,若函数丁="+川/一2小是二次函数，则m=,它的图像开口,顶点是它

的最点，它的对称轴是

【答案】3；向上;低；y轴.

【解析】•；函数y=（加+时/々a是二次函数,

/.nT—2m—1=2,解得班=3,，巧=—1,

丁加+机工0,，利工一1,，相=3,J函数解析式为y=12—.

・・・图像开口向上，顶点是它的最低点，对称轴是y轴.

10.（2020・上海市静安区实验中学九年级课时练习）二次函数y=2f的图像以X轴为对称

轴翻折，翻折后它的函数解析式是

【答案】y=-2xi

【解析】

由题意得二次函数图像形状不变，开口相反，则a相反，故翻折后它的函数解析式为y=-2x2,

故答案为：y=-2x2

11.（2020.上海市静安区实验中学九年级课时练习）二次函数y=的图像开口方向是

，对称轴是,顶点坐标是

【答案】开口向下y轴（0,0）

【解析】

解：函数y=-gx?中,

Va=--<0,

3

抛物线的开口向下,

h=k=。,

.♦.对称轴是y轴，顶点坐标是（0,0）,

故答案为：开口向下，y轴，（0,0）.

12.（2019•江苏省祁江中学（集团）北区校维扬中学九年级月考）一台机器原价50万元,

如果每年的折旧率是X,两年后这台机器的价格为y万元，则y与X的函数关系式为

【答案】y=50(1-x)2

【解析】

解：由题意得：两年后的价格为：50x(1-x)x(1-x)=50(1-x)2,

故y与x的函数关系式是：y=50(1-x)2.

故答案为：y=50(1-x)2.

13.(2021.西安高新一中实验中学九年级其他模拟)在同一个平面直角坐标系xOy中，二

次函数弘="然2,%%=%/的图象如图所示，则4，生吗的大小关系为

（用“〉，，连接）.

【答案】例＞%＞《.

【解析】

解：，.,二次函数yi=ai/的开口最大，二次函数