2021年安徽省安庆市高考数学模拟试卷（文科）（二模）

2021年安徽省安庆市高考数学模拟试卷（文科）（二模）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

项是符合题目要求的.

1.(5分)若集合M={x|O<%,3},N={x|f+x-2,0},则Mr|N=()

A.（0,1]B.（0,3]C.（0,2]D.（-2,1]

2.（5分）若复数z满足z（l+i）=2-29为虚数单位），则|z|=（）

A.1B.>/2C.6D.2

3.（5分）机器人是一种能够半自主或全自主工作的智能机器.它可以辅助甚至替代人类完

成某些工作，提高工作效率，服务人类生活，扩大或延伸人的活动及能力范畴.某公司为了

研究M、N两个机器人的销售情况，统计了2020年2月至7月M、N两店每月的营业额

（单位：万元），得到如图折线图，则下列说法中错误的是（）

M店........N店

A.N店营业额的平均值是29

B.”店营业额的平均值在[34,35]内

C.N店营业额总体呈上升趋势

D.M店营业额的极差比N店营业额的极差大

4.(5分)已知函数/.(x)=(l-r)2+，Qe/?)是R上的奇函数，则f(2)./(-2)=()

2A

15R15225225

441616

5.（5分）在A48C中，a,b,c分别是NA,ZB,NC的对边.若a,b,c成等比数歹ll，

且片+其0=/+"°,则44的大小是（）

A冗n2乃

A.—B.C.DT

6TT

6.（5分）设首项为1的等比数列{a,,}的前几项和为S“，且$6=9$3.则

iog2(^iq•%•・・••%))=()

A.200B.190C.180D.170

22

7.(5分)顶点在坐标原点，焦点是双曲线土-匕=1的左焦点的抛物线标准方程是()

45

A.x2=12yB.y2=—12xC.y2=­4xD.y2=\2x

5]IT

8.(5分)已知sin(a+—4)=一，则cos(--2a)=()

2x-y+2..0

9.（5分）如果点P（x,y）在平面区域x-2y+l,,0上，则四的取值范围是（）

一-x-2

1311

A.[-2,--]B.[-2,C.[-2,D.

10.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的r为区间[上，10]内任意一个数，则输出

的用取值范围为（）

TO3

A.（YO,-2）U15，必）B.[-2,g]

C.[0,1]J[2,+oo）D.（-a>,-2）J[0,1]

11.（5分）设直三棱柱A8C-AgG的所有顶点都在一个球面上，且球的体积是丝匝,

AB=AC=AAy,NB4c=120。，则此直三棱柱的高是（)

A.4应B.4C.2>/3D.242

12.（5分）若曲线,f（x）=a/〃科（编1），+1（隹/在点（1,f（1））处的切线与直线

7x+y-2=0平行，且对任意的Xj,x2e（0,+oo）,x,x2,不等式"（王）-/。2）|>，〃|司-%|

恒成立，则实数机的最大值为（）

A.&B,26C.4小D.573

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）命题“HreR,V-1〈氐”的否定是.

14.（5分）设m,向量G=（m,l）,5=若且121=2,则m”的值是.

15.（5分）已知过点（0,1）且斜率为左的直线/,与圆C:（x-2）2+（y-l）2=2交于例，N两

点，若弦M/V的长是2,则人的值是—.

16.（5分）已知函数“¥）=2$山（的+夕）（3>0,0<e<§,》=一。为/（x）的一个零点，

x=^y=/（x）图象的一条对称轴，且/（x）在（蠢，3）内不单调，则。的最小值为—.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,

每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共

60分.

17.（12分）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月在中国北京举行.为迎接此次冬

奥会，北京市组织大学生开展冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结束后统一进行了一次考

核.为了了解本次培训活动的效果，从A、8两所大学随机各抽取10名学生的考核成绩,

并作出如图所示的茎叶图.

（I）计算A、3两所大学学生的考核成绩的平均值；

（II）由茎叶图判断A、8两所大学学生考核成绩的稳定性；（不用计算）

（III）将学生的考核成绩分为两个等级，如表所示，现从样本考核等级为优秀的学生中任取

2人，求2人来自同一所大学的概率.

考核成绩[60,85][86,100J

考核等级合格优秀

A校B校

46

88927890

568

93

18.(12分)已知数歹lj{&7}的前〃项和(=〃2+3〃(〃EN*).

(I)求数列｛4｝的通项公式；

(II)令b=—£(〃eN*),求数列｛b｝的前n项和S”.

n77+1n

19.(12分)如图是矩形A8CD和以边AB为直径的半圆组成的平面图形，AB=2AD=2a.将

此图形沿折叠，使平面ABCD垂直于半圆所在的平面.若点E是折后图形中半圆O上异

于A,8的点.

(I)证明：EALEC;

(II)若异面直线他和Z5C所成的角为工，求三棱锥AC的体积.

20.(12分)已知函数/(x)=e*+acosx,其中x>0,e为自然对数的底数，awR.

(I)当a=—1时，讨论/(x)的单调性；

(II)若函数f(x)的导函数广(x)在(0,乃)内有且仅有一个零点，求。的值.

22

21.(12分)已知椭圆C:工+马=1(。>0)的左、右焦点分别为耳(-c,0)和月(c,0),P为椭

6b

圆C上任意一点，三角形PG玛面积的最大值是3.

(I)求椭圆C的方程；

(H)若过点(2,0)的直线/交椭圆C于A,B两点,且0),证明：豆•诬为定值.

(-)选考题：共10分.请考生从第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的

第题目计分.［选修4-4：坐标系与参数方程］

IV--»-CCSf)

22.(10分)在直角坐标系xOy中，曲线G：一二(，为参数，常数r>0).以坐标原点

［y=rsind

为极点，X轴非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位.曲线的

极坐标方程为0?-8"sin6+15=0.

(I)若曲线a与&有公共点，求厂的取值范围；

(II)若r=l,过曲线a上任意一点尸作曲线C2的切线，切点为Q,求IPQI的最小值.

［选修4-5：不等式选讲］(本小题满分0分)

23.已知函数/(X)斗3x+l|+|x-2|.

(I)解不等式：/(%)>5；

(II)若关于x的不等式/(x)..V+机在［0,3］上恒成立，求实数机的取值范围.

2021年安徽省安庆市高考数学模拟试卷(文科)(二模)

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

项是符合题目要求的.

1.(5分)若集合M={x|0<%,3},N={X|X2+X-Z,O},则M0|N=()

A.(0,1]B.(0,3]C.(0,2]D.(-2,1]

【解答】解：因为M={x|0<x,1},7V={x|x2+x-2i!0}={x|-2A?1),

所以用「|/7=国0<%,l}=(0,1].

故选：A.

2.(5分)若复数z满足z(l+i)=2—2i(i为虚数单位)，则|z|=()

A.1B.虚C.币D.2

【解答】解：【方法一】复数z满足z(l+i)=2-24■为虚数单位)，

2-2/(2-2/)(1-z)2(1-2/+/2)〜

z=--------=--------------------=------------；------=—2/,

1+/(1+0(1-/)1-i2

.」zR-2i|=2.

[方法二】复数Z满足z(l+/)=2—2/(/为虚数单位)，

则|z(l+i)R(2-2i)|,

即|z|[|l+i]=|2-2i|,

.•,Iz||J2=2拒，

.•Jz|=2.

故选：D.

3.(5分)机器人是一种能够半自主或全自主工作的智能机器.它可以辅助甚至替代人类完

成某些工作，提高工作效率，服务人类生活，扩大或延伸人的活动及能力范畴.某公司为了

研究M、N两个机器人的销售情况，统计了2020年2月至7月M、N两店每月的营业额

(单位：万元)，得到如图折线图，则下列说法中错误的是()

用几

A.N店营业额的平均值是29

B.M店营业额的平均值在[34,35]内

C.N店营业额总体呈上升趋势

D.例店营业额的极差比N店营业额的极差大

【解答】解：对于A,N店营业额的平均值是春、(2+8+16+35+50+63)=29,所以A正

确：

对于8,M店营业额的平均值是1乂(14+20+26+45+64+36)=34工€[34,36],所以5正

66

确；

对于C,由图象知N店营业额总体呈上升趋势，所以C正确；

对于。，M店的极差为64-14=50,N店的极差为63-2=61,且50<61,所以。错误.

故选：D.

4.(5分)已知函数/(%)=(1-02+和《/?)是R上的奇函数，则/(2)-/(-2)=()

A.B.”C.-经D.经

441616

【解答】解：根据题意，函数/■。)=(1-)2"+’(止7?)是/?上的奇函数，

2V

则/(0)=(l-f)2°+g=l-f+l=0,解可得f=2,

所以/(x)=/-2*—则/(2)=*-22=-个，

故)(2)"(-2)=-尸(2)=一生.

故选：C.

5.（5分）在AABC中，a,b,c分别是NA,ZB,NC的对边.若a,b,c成等比数列,

且/+J?c=c2+ac,则NA的大小是（）

57

A.—B.—C.—D.

633~6

【解答】解析：由已知得〃=ac,

因此〃+耳be=c2+ac,

可化为从4-c2-a2=y/3bc

222

工日AZ?+c-a6

J'THCOSA=---------------=----->

2bc2

71

A=—

6

故选：A.

6.（5分）设首项为1的等比数列{〃〃}的前〃项和为S〃，且S6=9S3.则

log2(《qq•…・〃2o)=()

A.200B.190C.180D.170

【解答】解：由题意夕wl，由9s3=§6得：

9(1-力1_Z76

二-,解得q=2.

i-qi-q

an=2"”,neN'.

«1«2«3..…a2(>=(«l«20)'0=2"">，

90

log2(tz,•〃2.%......%o)=log22,=190.

故选：B.

7.(5分)顶点在坐标原点，焦点是双曲线?=1的左焦点的抛物线标准方程是()

A.x2=UyB.y2=-12xC.y2=-4xD.y2=\2x

【解答】解：因为/=4+5=9,.tc=3,F(—3,0),—"=—3,〃=6,「♦)，=一12x.

2

故选：B.

517E

8.(5分)已知sin(a+-;r)=-，则cos(——2a)=()

7

D.

9

511

【解答】解：由已知a+—7r=-，

6J3

_rr,[

可得sin(---a)=sin[；T_(a+二;r)]=一，

663

故选：D.

2x—y+2..0

则言的取值范围是（）

9.(5分)如果点P(x,y)在平面区域，x-2y+l,,0上,

x+y-2,,0

A.[―2,B.[—2,-C.[-2,&D.[-'2]

323

【解答】解：如图，先作出点尸（x,y）所在的平面区域.

）里表示动点P与定点0（2,-1）连线的斜率.

x-2

x-2y+l=0,解味二

联立

x+y-2=0

于是无=H10+1_1

QE1-2

因此-2剜丝i,1

x-23

10.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的f为区间[5,10]内任意一个数，则输出

的M取值范围为（）

A.(―no,-2)[J[—,+<»)B.[一2,1]

C.[0,-j|J[2,-K»)D.(f-2)|J[0，1]

(3)2+1

—,,/<1

310

【解答】解：由题意知，M(f)=«

3W10

3+1'

当工”f<l时，M(z)=(l^ty+1=Igt+—„-2,当且仅当/=-!■时取等号.

10IgtIgt10

当啜!I10时，M⑴=-^-=l--?—是增函数，»(f)

lgt+1lgt+12

因此，M(t)的值域是(-oo,-2]|J[0,^].

故选：D.

11.(5分)设直三棱柱ABC-A8cl的所有顶点都在一个球面上，且球的体积是空匝

AB=AC=AA,,NB4c=120。，则此直三棱柱的高是()

A.4夜B.4C.2GD.2立

【解答】解：设AB=AC=例=2根.因为NB4c=120。，所以NACB=30。，

于是二^_=2r”是AABC外接圆的半径)，r=2m.

sin30°

又球心到平面ABC的距离等于侧棱长照的一半，

所以球的半径为J(2㈤2+源=舟1.所以球的表面积为鬲)3=竺普，

解得加=忘.

于是直三棱柱的高是A4,=2m=2点.

故选：D.

12.(5分)若曲线/(x)=a5升(*1)攵+1(任/在点(1,f(1))处的切线与直线

7x+y-2=0平行，且对任意的药,x,e(0,-H»)>xl^x2,不等式"(%)-/(工2)|>〃?|不一9|

恒成立，则实数，"的最大值为()

A.WB.2+C.4GD.573

【解答】解：/'(X)，+2(a+l)x=2(。+1)1+a.

XX-

因为/'(1)=—7,

所以2口+1)二=_7M=_3.f(x)=-3lwc-2x2+1.

1,

-4r2—3

因此/'(x)=----------<0,f(x)在(O.+oo)内单减.

X-

不妨设Xj>%2>0,则/(X1)</(x2).

于是|/(百)一/(/)|>加3一九I就是了(%2)一，(大)>加(入1一%2)，

即/(W)+痛2>/(X1)+"g恒成立.

令g(x)=/(%)+〃优，X>0,则g(X)在(0,+8)内单减，

即g'(x凝！|).g'(x)=/'(x)+m=-2-4x+/n0,x>0.

x

而3+4x..4退，当且仅当工=且时，？+4x取到最小值4班，

x2x

所以473・

故选：C.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(5分)命题“玉eR,x2-\<^x"的否定x2-i..Jix_.

【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，得；

命题“3xeR,》2-1<氐”的否定是：

"VreR,x2-1..^3x

故答案为：“VXGH,X2-\..>J3X.

14.(5分)设机，向量a=(m,1),b=(-1,«)若aJ_5且|a|=2,则，"•〃的值是3.

【解答】解：因为乙，弓，所以-m+〃=0.又因为|©=2,所以病+1=4,nr=3.

于是m-n=m2*4=3.

故答案为：3.

15.(5分)已知过点(0,1)且斜率为上的直线/,与圆C:(x-2)2+(y-l)2=2交于M,N两

点，若弦MN的长是2,则女的值是土包.

—3-

【解答】解：直线/的方程为y=fcr+l,即Ax-y+l=0,

•.•圆C:(x-2>+(y-l)2=2的圆心坐标为(2,1),半径为点，且弦的长是2,

|21+1|、2

-2=1+(———)，

“+i

解得人=±且.

3

故答案为：土且.

3

16.(5分)已知函数/(》)=2$皿5+>)(0>0,0<夕<£,x=-g•为/(x)的一个零点,

“为y=/&)图象的一条对称轴，且/⑴在(岛，令内不单调，则3的最小值为

15

~4~

--CD+(P=k7U

]k九71

【解答】解:由题意知，则9=一+—

7i.n24

§口+9=&2"十万

』丁k7l九71

由0v—+—<—

242

得，--<k<-,又keZ、

22

所以攵=0,

则°=：.

故°=-3k\+?.

jr

所以/(x)=2sin(s+—).

4

由题设知刃>0,当％|=0时，0则/(x)=2sinc|x+?).

乃c5S,3冗冗'8丸75li兀8〃万

由—+2〃磅卜工+———1~2〃乃,一乃十---强Hk—H--------，

2442333

知/(x)在(-肛内单增，显然在(蠢,看)内单增，不合题意.

当年=-1时，啰=?,则/(x)=2sin(?x+").

44c5H.il5〃■万-双［7V8〃4

由1一7+2〃磅吁x+7-+2n7r,-TV-+—^—+—，

24425151515

知f(x)在(-7,自内单增，在令，当内单减,

符合在(上，生)内不单调的条件.

20216

故0的最小值为”.

4

故答案为：

4

三、解答题：共7()分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,

每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共

60分.

17.(12分)第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月在中国北京举行.为迎接此次冬

奥会，北京市组织大学生开展冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结束后统一进行了一次考

核.为了了解本次培训活动的效果，从A、8两所大学随机各抽取10名学生的考核成绩,

并作出如图所示的茎叶图.

(I)计算A、3两所大学学生的考核成绩的平均值;

(II)由茎叶图判断A、8两所大学学生考核成绩的稳定性；(不用计算)

(III)将学生的考核成绩分为两个等级，如表所示，现从样本考核等级为优秀的学生中任取

2人，求2人来自同一所大学的概率.

考核成绩[60,85][86,100]

考核等级合格优秀

A校B校

46

88927890

568

9

64+75+78+78+79+72+85+86+91+92800。八

【解答】解：(I)与-------------------------------------------O(J

1010

石=67+62+70+79+78+87+84+85+95+93=翌=8。;

1010

(II)由茎叶图可知，A所大学学生的成绩比3所大学学生的成绩稳定;

(Ill)记事件M为“从样本考核等级为优秀的学生中任取2人，2人来自同一所大学”.

样本中，A校考核等级为优秀的学生共有3人，分别记为a,b,c,

3校考核等级为优秀的学生共有3人，分别记为A,B,C,

从这6人中任取2人，所有的基本事件个数为ab,ac,aA,aB,aC,be,bA,hB,bC,

cA,cB,cC,AB,AC,3c共15种，

而事件〃包含的基本事件是必，ac,be,AB,AC,8C1共6种，

因此p(M)q=|.

18.(12分)己知数列｛口｝的前〃项和7；=〃2+3〃(〃eN*).

(I)求数列｛〃“｝的通项公式；

(II)令勿=4-％(〃€%*),求数列｛2｝的前"项和S,,.

724-1

【解答】解：(I)〃=1时,=4,q=16.

当加.2时,7；,.,=(n-l)2+3(n-l).7；=n2+3«,

作差得疯=2〃+2,a„=4(«+l)2.

又当〃=1时满足此式，a“=4(〃+l)2,neN*.......(5分)

(II)bn=2”-4(〃+1)--(〃+1〉*.........(7分)

〃+1

SfJ=b、+b,+…+hn,

5„=2-23+3-24+...+n-2,'+l+(n+l)-2',+2,

2s“=2"+3・25+...+〃,2-2+(〃+I)2+3.

:.-S„=2-23+24+25+...+2nt2-(n+l)-2,,+：!

二23+8(1-2"1+3

1-2

=2,,+3-n-2n+3-2"*3=-n-2n+3........(11分)

S„=n-2n+3..........(12分)

19.(12分)如图是矩形43co和以边4?为直径的半圆组成的平面图形，AB=24)=2a.将

此图形沿至折叠，使平面ABCZ)垂直于半圆所在的平面.若点£是折后图形中半圆O上异

于A,B的点.

（I）证明：E4±£C;

（n）若异面直线钻和DC所成的角为工，求三棱锥E>-AC的体积.

【解答】解：（I）•.•平面ABC力垂直于圆。所在的平面，两平面的交线为Afi,BCu平面

ABCD,BC±AB,

.•.3C垂直于圆O所在的平面.

又E4在圆O所在的平面内，.•.BC_LE4................（3分）

是直角，：.BELEA.而B£u平面EBC,3Cu平面E3C,

.,.E41.平面EBC.

又：ECu平面EBC,..EA1EC................（5分）

（II）因为在矩形中，AB//CD,直线AE和。C所成的角为土，

6

所以直线小和/记所成的角为工，即NBAE=工.______（6分）

过E作耳'_L4?于F,则EF_L平面43CD.

又AB=2a,ZBAE=~,所以AE=6,EF=且。，

62

因此分）

5AAe°=gx4£）xC£>=gxax2a=a2..................（8

于是匕MCE=VE-ACD=~：xSAACDXEF=TXa2X-^-a=-^-a3-

J3ZO

即三棱锥。-ACE的体积是走a，............（12分）

20.（12分）已知函数/（x）=e*+acosx,其中x>0,e为自然对数的底数，aeR.

(I)当a=T时.，讨论/(幻的单调性；

(II)若函数八幻的导函数广(幻在(0,乃)内有且仅有一个零点，求〃的值.

x

【解答】解：(I)当。=一1时，f(x)=e-cosx9则r(x)=e*+sinx,

因为x>0,所以/>1,一啜！hinx1,因此

故函数/(X)在(0,+oo)内单调递增.

(II)由广(x)=e'-。sinx=O,得asinx=",

因为x£(0,万)，所以sinx>0,因止匕〃=——，

sinx

令g(x)=-^—,O<x<%，则g'(x)=e(sinx：cosx),

smxs\n'x

由g，(x)=O,得工=工，

4

当Ovx<工时，gr(x)<0；当工<工<乃时，gr(x)>0,

44

故g(%)在(0,马单调递减,在(乙，%)单调递增，

44

所以g(x)加“=g(J=缶4,

故Q=6圆.

22

21.(12分)已知椭圆C:土+4=1(〃>0)的左、右焦点分别为《(-c,0)和月(c,0)，P为椭

6b

圆C上任意一点，三角形PF；鸟面积的最大值是3.

(I)求椭圆C的方程；

(II)若过点(2,0)的直线/交椭圆C于4,5两点，且Q(=,0),证明：Q4QB为定值.

4

【解答】解：(I)由题意知。2=6一层..........(1分)

当P点位于椭圆C短轴端点时，三角形PF[F]的面积S取最大值，此时

S3=QX2Cxb=be=3..........................(2分)

所以层C2=9,即从(6-人)=9,解得廿=3...................(4分)

22

故椭圆C的方程为—+—=1........................(5分)

63

(II)(方法1)当直线/的斜率不为0时，设直线/:X=J沙+2交椭圆于4(%,%)，85，必)・

、=四'+2消去22

由X得（m+2）y+4my-2=0则

X2+2/=6

4m29

…'m皿=一人..….....（7分）而d=,QB=々一7%卜

所以

⑦磔“沁-2—yM-%i）+A+勺方-刎-券匕=W+方V

....（10分）

当

直

线

斜

率

为

的

;O时

流

3♦Q8

一

-<分X

A16J

e一-Z

4)〕

()--41

故逾•须为定值，且为............（12分）

（方法2）当直线/的斜率存在时，设直线/:y=Z（x-2）交椭圆于Al5,y）,B（x2,巴）•

k（x；2）消去丫得，&公+1）*2_8r