2021年广东省春季高考数学模拟试卷十（解析版）

2021年广东春季高考数学模拟试卷(10)

解析版

注：本卷共22小题，满分150分。

一、单选题(本大题共15小题，每小题6分，满分90分)

1.能正确表示集合加={%6/?|0<%<2}和集合N={xeR|x2+x=0}的关系的韦恩图的是

()

【答案】A

【解析】

【分析】

求出集合N的元素，即可得到两集合的关系，再用韦恩图表示出来.

【详解】

解：•••集合1},集合〃={X€/?|OKX<2},

.•・A/nN={0}且互不包含，

故选:A.

【点睛】

本题主要考查了韦恩图表达集合的关系，是基础题.

2.教育部日前出台《关于普通高中学业水平考试的实施意见》，根据意见，学业水平考试成绩以“等

级”或“合格、不合格”呈现.计入高校招生录取总成绩的学业水平考试的3个科目成绩以等级呈现,

其他科目一般以“合格、不合格”呈现.若某省规定学业水平考试中历史科各等级人数所占比例依次

为：A等级15%,8等级35%,C等级30%,。、E等级共20%.现采用分层抽样的方法，从某省参

加历史学业水平考试的学生中抽取100人作为样本，则该校本中获得A或8等级的学生中一共有

().

A.45人B.60人C.50人D.90人

【答案】C

【解析】

【分析】

由已知求得A或8等级所占比例，乘以100即得答案.

【详解】

由题意，A、8等级人数所占比例依次为：A等级15%，3等级35%，

则A或5等级所占比例为50%，

/.100人的样本中，获得A或B等级的学生一共有50人.

故选：C

【点睛】

本题主要考查分层抽样，明确分层抽样中每一层所占比例数相等是关键，是基础题.

3.下列函数中，值域为R且为奇函数的是()

A.y=x+2B.y=sinxC.y=^x-x}D.y=2"

【答案】C

【解析】

【分析】

依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.

【详解】

A.y=x+2,值域为R,非奇非偶函数，排除;

2

B.y=sinx,值域为[-1,1],奇函数，排除；

C.y=x-X3,值域为R，奇函数，满足；

D.y=21值域为(0,+8),非奇非偶函数，排除：

故选：C.

【点睛】

本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用.

4.函数/(x)=*=+lg(3x+l)的定义域是()

\J1-X

A.0+1B.Ji)C.宿,[D.[-0,-1

【答案】B

【解析】

【分析】

1—x>0

根据函数的解析式知|八，解不等式组即可得定义域

[3x+l>0

【详解】

3尤2

由函数/(x)=1——+lg(3x+l),知

VI-X

1—x>01

C1八解之得：一；VXV1

3x4-1>03

故选：B

【点睛】

本题考查了函数的表示，根据函数解析式的性质求函数的定义域，属于简单题

5.若。<人<0,那么下列不等式中正确的是（）

A.<\j-bB.a1>ab

11,,

22

C.-<-D.a<b

ab

【答案】B

【解析】

【分析】

根据不等式的性质分别对四个选项分析可得解.

【详解】

对于A,由。</?<0，得一。>一/?>0,所以故A项错误：

对于8,由a<b<0两边同时乘以“，得。2>逋，故8项正确；

对于C,由。<匕<0,得」>1,故C项错误；

ab

对于。，由a<〃<0,得°2>加，故。项错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查了不等式的性质，属于基础题.

6.若a,b是异面直线，且a〃平面a,则b和a的位置关系是（）

A.平行B.相交

C.b在a内D.平行、相交或b在a内

【答案】D

【解析】

4

试题分析：因为a,b是异面直线，且a〃平面a,当直线a〃平面a,直线b在平面a内，...a〃b,或

a与b异面，那么结合线面的位置关系和异面直线的概念可知，则b和a的位置关系是平行、相交

或b在a内.故选D.

考点：本题主要是考查线面的位置关系的运用.

点评：解决该试题的关键是理解线面平行的判定定理和性质定理，然后根据异面直线的概念可知宜

线b与平面a的位置关系.

7.直线需=：1的倾斜角和斜率分别是（）

A.45°,1B.135°,-1C.90°.不存在D.180°，不存在

【答案】C

【解析】

解：•.•直线x=l垂直于x轴，倾斜角为90。，而斜率不存在，

故选C.

8.将长度为1米的绳子任意剪成两段，那么其中一段的长度小于0.2米的概率是（）

A.0.2B.0.4C.0.6D.（）.8

【答案】B

【解析】

【分析】

利用几何概型的长度类型概率计算公式求解.

【详解】

如图所示；

ADB

线段A8=l,若剪成两段，其中一段的长度小于0.2米,

则心0.2或〃作0.2,

所以其中一段的长度小于0.2米的概率是p=。彳。2=0.4,

故选：B

【点睛】

本题主要考查几何概型的概率的求法，属于基础题,

9.函数y=sin2x+3的一条对称轴是（）

I6J

兀c〜汽71

A.x=----B.x=0C,x=—D.x=一

663

【答案】C

【解析】

【分析】

k/JT

根据正弦函数的对称轴方程，即可得对称轴x=—+—,左eZ.进而可知正确选项;

26

【详解】

._7L,7L.kTCTC.„

》2xH—kjrH—，则x=-----1—,kGZ.

6226

故选：C.

【点睛】

本题考查了正弦函数的性质，根据对称轴方程求对称轴，属于简单题；

10.在AA8C中，内角A，B,C的对边分别为a,b,C.若sinA:sin3:sinC=3:7:8,则AABC

的形状是

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定

6

【答案】C

【解析】

【分析】

由正弦定理三可推得a:A:c=3:7:8,再由余弦定理计算最大边的余弦值即可判

sinAsinBsinC

断三角形形状.

【详解】

因为sinA:sinB:sinC=3:7:8,所以a:》：c=3:7:8，设。=3攵，b=k,c=8Z,则角C为

△ABC的最大角，由余弦定理可得cosC=,=—上＜0,即一＜C＜万，故MBC

42公72

是钝角三角形.

【点睛】

本题考查用正弦定理和余弦定理解三角形，属于基础题.

11.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边CO的中点，点尸是AE的中点，则丽=()

DEr

A.-AB+-ADB.--AB+-AD

4242

D.--AB+-AD

24

【答案】B

【解析】

【分析】

把向量而，而作为基底，利用平面向量基本定理和向量的加减法法则求解•

【详解】

解：因为尸是4E的中点，所以标=,正，

2

因为点E是边C£＞的中点，所以应=2比百，

22

所以丽=/一丽・

=-AE-AB,

2

=-(AD+DE)-AB,

2

=-(AD+-AB)-AB.

22

3―■1—.

=--AB+-AD,

42

故选：B

【点睛】

此题考查了平面向量基本定理和向量的加减法法则，利用了数形结合的思想，属于基础题.

12.在数列｛/｝中，4=一。，％=1-——则。2“9的值为()

4an-\

41

A.-B.-----C.5D.以上都不对

54

【答案】A

【解析】

【分析】

列举出数列的前几项，找到数列的周期，由此求得4019的值.

【详解】

8

,1u,14,11

依题意4=1一一=5,%=1--=~,a4=l一一=~-=a,,故数列是周期为3的周期数列，故

qa25a34

4

生019=%=W，故选A，

【点睛】

本小题主要考查递推数列，考查数列的周期性，考查合情推理，属于基础题.

13.已知x>O,y>0,2x+y=2,则孙的最大值为()

1721

A.—B.1C.—D.-

224

【答案】A

【解析】

【分析】

化简所g(Zt-y),再利用基本不等式求最大值得解.

【详解】

解：•.3>(),y>0,且2x+y=2,

■.xy=—(2A-V)<—(2x+V)2=J.,当且仅当x=L,y=l时取等号，

2-2222

故则孙的最大值为

故选A

【点睛】

本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.

14.如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是()

A.12.5；12.5B.13；13C.13；12.5D.12.5；13

【答案】D

【解析】

分析：根据频率分布直方图中众数与中位数的定义和计算方法，即可求解频率分布直方图的众数与

中位数的值.

详解：由题意，频率分布直方图中最高矩形的底边的中点的横坐标为数据的众数，

所以中间一个矩形最该，故数据的众数为空上=12.5,

2

而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标，

第一个矩形的面积为0.2,第二个矩形的面积为0.3,故将第二个矩形分成3:2即可，

所以中位数是13,故选D.

点睛：本题主要考查了频率分布直方图的中位数与众数的求解，其中频率分布直方图中小矩形的面

积等于对应的概率，且各个小矩形的面枳之和为1是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.

15.正方体中，平面1经过与。且与AG平行，该正方体被平面分成两部分几

何体，其体积比为（）

A.1:3B.1:4C.1:11D.1:12

【答案】C

【解析】

【分析】

利用中位线得线线平行，进而得线面平行，确定a,容易求得体积比.

10

【详解】

如图,

取中点M，上底面中心为。，连接OM,则。M//AG，ACJ/平面即平

面为平面a,

所以=qS«AB、环乂4"=—X—SA耳CBx54^1=五匕80>-4464,

所以被a分成的两部分体积比为：1:11.

故选：C.

【点睛】

本题考查了空间几何体的计算和空间想象能力，属于中档题.

二、填空题

16.已知圆G：J+y2=i，圆G：x2+y2—2x—2y+i=0,则圆G与圆G的位置关系为.

【答案】相交

【解析】

【分析】

利用圆心距与半径之和、半径之差的绝对值的大小关系可判断两圆的位置关系.

【详解】

由题设有G(0,0),4=1,C2(1,1),4=1，故|GG|=J(o-I/+(OT)2=0.

所以弓一弓=o<|GC2k2=弓+弓，故圆G与圆c2的位置关系为相交.

故答案为：相交.

【点睛】

本题考查圆与圆的位置关系的判断，此类问题一般可通过圆心距与半径之和、半径之差的绝对值的

大小关系来判断，本题属于基础题.

17.cos275°+cos215°+cos75°cos15°的值等于.

【答案】7

4

【解析】

,,15

试题分析：原式可化为sin2150+cos215°+sin15°cos15°=1+-sin30°=-.

24

考点：三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系.

18.在等边三角形ABC中，边长为2,则福.而=

【答案】-2

【解析】

ABBC=-BA-BC=-2x2xcos60=-2-

19.某数学小组进行社会实践调查，了解到某桶装水经营部在为如何定价发愁.进一步调研，了解到

如下信息：该经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价

与日均销售量的关系如下表：

销售单价/元6789101112

12

日均销售量/桶480440400360320280240

根据以上信息，你认为该经营部把桶装水定价为元/桶时能获得最大利润.

【答案】H.5

【解析】

【分析】

通过表格可知销售单价每增加1元、日均销售量减少40桶，进而列出表达式，利用二次函数的简单

性质即得结论.

【详解】

通过表格可知销售单价每增加1元、II均销售量减少40桶，设卷桶水的价格为(6+x)元(0<x<

13),

公司日利润y元，则丫=(6+X-5)(480-401)-200=-40x2+440.r+280(0<^<13),

440,,,

'.--40<0,/.当x=---------=5.5时函数y有最大值，

2x40

因此，每桶水的价格为6+5.5=11.5元，公司日利润最大，

故答案为：115

【点睛】

本题主要考查了二次函数模型的应用以及二次函数求最值，属于基础题.

三、解答题

20.已知数列｛%｝为正项等比数列，满足%=4,且3%,%构成等差数列，数列也｝满足

2=log?%+log2a

(1)求数列｛%｝,｛a｝的通项公式;

⑵若数列也｝的前〃项和为S“，数列若“｝满足=］，求数列｛，”｝的前〃项和小

0M

【答案】(1)=2-12=2〃-1(2)T=——

;nn+l

【解析】

【分析】

(1)由题意，根据等比数列性质，以及等差中项可求得公比，即可求得勺，代入可求得“：

(2)由(1)可求得以的前n项和S“，带入求得c“，再利用裂项相消求得7；.

【详解】

解：(1)设等比数列｛4｝的公比为式4>0),由题意，得

as+a6-6a4=>g+r=6解得q=2或q=-3(舍)

又%所以-1

=4=>4=]=atq"~'=2"

b„=log2an+log2an+]=n-\+n=2n-\

(2)5=帅+5)=〃(1+(2〃-1)]=“2

"22

»(n+l)n+\)

.<1111112〃

"I223nn+l)n+\

【点睛】

本题考查了数列的知识，掌握等差等比数列的性质、通项是解题的关键，同时也需要掌握好数列求

和的裂项相消，属于较为基础题.

21.如图，在三棱柱AB|G-A3C中，AB^AC,。为BC中点，平面ABC,平面BCC4,

14

BC1上BQ.

(1)求证：4c〃平面ABQ；

(2)求证：ABt1BC,.

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)连结A/交A用于点0,连结QD,得到0D||，从而证明4。“平面4耳。.

(2)由AB=AC,得到4OLBC,由平面ABCJ_平面,得到4£)_L平面，从

而得至UAD±BG，可以得到BC,_L平面AB,D，再得到AB,1BJ.

【详解】

证明：(1)连结4B交A用于点0,连结8.

因为AfG-ABC是三棱柱，所以是平行四边形，所以。为AB中点.

有因为。为8C中点，所以。。||AC.

又ACg平面ABQ.ODu平面所以平面

(2)因为AB=AC，。为8C中点，所以ADJ_BC.

又因为平面ABC_L