2021年高考数学上海卷 真题+答案解析

2021年普通高等学校招生全国统一考试

数学上海卷

考生注意：

1.本试卷共4页,21道试题,满分150分,考试时间120分钟.

2.本考试分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,

在试卷上作答一律不得分.

3.答卷前，务必用黑色钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、班级、准考证号.

一、填空题：本大题共12小题，满分54分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,第1题至第6

题每个空格填对得4分,第7题至第12题每个空格填对得5分,否则一律得零分.

1.已知N]=1+i,22=2+3i,贝（Jz\+Z2=.

DC

2.已知A={x\2x1},B={-1,0,1},则AG/=__________.T----------------------A

3.己知圆/+”2—2]—4g=o,则该圆的圆心坐标为./

4.如图，正方形ABCD的边长为3,则盛•就=./

6.已知二项式（x+a）5展开式中,x2项的系数为80,则aAB

（第4题图）

zW3

7.已知实数l、y满足<2立一V一2》0，则2=1一？的最大值为.

3a;+—8>0

8.已知{断}为无穷等比数列,幻=3,an的各项和为9,bT,=a2n,则数列{bn}的各项和为.

9.在圆柱中，底面圆半径为1,高为2,上顶面圆的直径为AB,C是底面圆弧上的一个动点,绕着底面圆周转.

则ABC的面积的取值范围为.

10.有4个不同的馆，甲、乙2个人每人选2个去参观,求恰有一个馆相同的概率为.

11.已知抛物线：y2=2px（p>0）,若第一象限的4、B两点在抛物线上,焦点为F,\AF\=2,\BF\=4,

\AB\=3,则直线AB的斜率为.

12.己知出€N*（C=1,2,…，9）,对任意的左eN*（2W卜W8）,四=a—+1或稣=ak+1-1中有且仅有

一个成立，且=6,a.g=9.则+a2H-------F的最小值为.

二、选择题：本大题共有4题，满分20分.每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代

表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.

13.下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（）.

3

A：y=—ixB：y=xC：y=log3xD：y=3"

x=-4t3

14.已知参数方程t€[-1,1],下列选项的图中,符合该方程的是（）.

y=—/

15.函数/（T）=2+3sin],%e[0,自，对意e[0.g，都存在x2€[0,自，使得/（叫）+2/（g+。）=3恒

成立，则。可以是（）.

34C67

A：-7TB：-7TC：-7TD：-7T

5555

16.两两不同的①1,£2，％3,?〃，92,嵋满足叫+以=%2+沙2=%3+期3,且满足叫<?/1,%2<V2,算3<?；3,

出1阴+城3=242的>0.下列一定成立的是（）.

A：叫+13>2/2B：%1+①3V2^2C：X1X3>谴D：叫出3<境

三、解答题：本大题共有5题，满分76分.解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步

骤.

17.（本小题满分14分,第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，在长方体加3。。一4%。1。1中，已知AB=BC=2,AA1=3.

（1）若点P是棱上的动点,求三棱锥C-PAD的体积；

⑵求直线ABY与平面ACCrAy的夹角大小.

18.(本小题满分14分,第1小题满分6分，第2小题满分8分)

已知在中，力、B、C所对边分别为a、b、c,且a=3,b=2c.

27r

(1)若4=〒，求△4BC的面积；

⑵若2sin3-sinC=1,求△力BC的周长.

19.(本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

己知某企业2021年第一季度的营业额为1.1亿元，以后每个季度的营业额比上个季度增加0.05亿元,该企业

第一季度的利润为0.16亿，以后每季度比前一季度增长4%.

(1)求2021年起前20季度营业额的总和；

(2)请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%?

20.(本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)

72

2

椭圆y+?/=1,Fi,F2分别为左右焦点,过点P(m,0)(m<-x/2)的直线交椭圆于点A,B且点A,3在工

轴的上方,4在的中间.

(1)若B是上顶点,|祸|=|两求m;

(2)若瓦才•瓦才="且。到/的距离为底求/的直线方程；

315

(3)求证：对任意的m<—6,使得FXA//BF-2的直线有且仅有一条.

21.(木小题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)

如果对任意Xi,X2€R,当为一万eS时，都有〃叫)-6S,则称/(x)是S关联的.

(1)判断和证明/(乃=2/-1是Z+关联的吗？是［0,1］关联的吗？

(2)/(x)是｛3｝关联的,在［0,3)上有/(x)=炉一2x,解不等式2<〃工)W3;

(3)uf［x)是｛1｝关联的，且是［0,+oo)关联"当且仅当'"(/)是［1,2］关联的”.

2021年普通高等学校招生全国统一考试

数学上海卷(参考答案)

考生注意：

1.本试卷共4页,21道试题，满分150分,考试时间120分钟.

2.本考试分设试卷和答题纸,试卷包括试题与答题要求，作答必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上,

在试卷上作答一律不得分.

3.答卷前，务必用黑色钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、班级、准考证号.

一、填空题：本大题共12小题，满分54分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,第1题至第6

题每个空格填对得4分，第7题至第12题每个空格填对得5分.否则一律得零分.

1.已知zi=1+i,Z2=2+3i,则zi+Z2=.

答案：3+4i.

解析：己知zi=1+i,Z2=2+3i,则zi+Z2=1+i+2+3i=3+4i.

2,已知A={x|2a;1},B={-1,0,1},则An3=.

答案：{-1,0}.

解析：由集合的基本定义可得,4c3={—1,0}.

3.已知圆x2+y2-2x-4y=0,则该圆的圆心坐标为.

答案：(1,2).

解析：由题意将圆方程化为标准方程为(x-I)2+(y-2)2=5,故圆心为(1,2).

4.如图,正方形ABCD的边长为3,贝II盛•就=.

答案：9.

解析：由数量积的几何意义可得，获•笈=|彳囱2=9.

5.己知/(x)=-+2,则/-'(I)=.

x

答案：—3.

解析：由f(x)=室+2=1,得力=—3,故由/(—3)=1,可得=—3.

6.已知二项式(/+a)5展开式中,7项的系数为80,则a=.

答案：2.

解析：由二项式展开公式可得,C拉2a3=80/,解得。=2.

/W3

(第7题解析图)

2rr—犷一2》0，则z=;r-。的最大值为.

{3/+v—8》0

答案：4.

解析：由约束条件绘出可行域如图所示,可行域的三个顶点为(3,4),(2,2),(3,-1),易得Zmax=3-(-1)=4.

&已知{%}为无穷等比数列,©=3,an的各项和为9,bn=a2n,则数列{bn}的各项和为.

答案:最

5

2

解析：ai=3,S总a=-^―=—^―--9,解得q=|.对于b„=a2n,b-i=a2=2,q'=，，则

1-q1-Q39

_br_2_18

‘总以=匚彳=;~I=T-

1-9

9.在圆柱中，底面圆半径为1,高为2,上顶面圆的直径为AB,C是底面圆弧上的一个动点,绕着底面圆周转.

则ABC的面积的取值范围为.

答案：[2.\/5].

解析：当点。为4、3的投影时，面积最小,Smin=g•4G•人=2;当点。为弧AB中点的投影时，面积最

大,5皿=g-AB-h=\/5.因此面积的取值范围为[2,\/5].

10.有4个不同的馆，甲、乙2个人每人选2个去参观,求恰有一个馆相同的概率为.

2

答案：?

解析：先从四个馆中选取一个馆作为甲乙两人共同选择的馆，再甲乙分别依次从剩下三个馆中选一个馆，即

949

c・磔•G=24;总情况为Cj-Cl=36,因此概率为—=

oUo

11.己知抛物线：y2=2px(p>0),若第一象限的4、B两点在抛物线上,焦点为F,\AF\=2,\BF\=4,

\AB\=3,则直线AB的斜率为.

答案：苧.

解法一：设4(叫,阴),3(出2,沙2),则\AF\=X14-1=2,\BF\=g+3=4,所以|叫—g|=2.

由\AB\=+Ar2M—gl=3,且k>0,解得k-

解法二：由抛物线的定义可得441=2,ABi=4.

由罂■=：,得”=43=3.所以cos/4831=昨=’,则tanNABBi=东即kAB=卓

12,已知明€N*(i=1,2,•••,9),对任意的keN*(2WkW8),=。人-1+1或四=Qk+i—1中有且仅有

一个成立，且Q1=6,=9.则Qi+Q2H----\~。9的最小值为.

答案：31.

解析：令/=ak+1-Qk,则依题意：bk和bk+1中，仅有1个为1(即只能隔项为1).

若瓦=均=a=加=1,则=6,。2=7,。3》1,。4》2,》1,。6》2,aj21,as22,ag=9;此时,

Q，1+。2+…,+。9的最小值为31.若电=/=%=坛=1,则Q221,。3》2,Q421,。522,的》1,22,

。8=8,。9=9；此时，Qi+Q2H----卜的的最小值为32.

综上,Qi+。2+,,,+。9的最小值为31.

二、选择题：本大题共有4题，满分2（）分.每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代

表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.

13.下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（）.

3X

A：y=-3xB：y=xC：y=log3xD：y=3

答案：A.

解析：选项B、C、D均为增函数.

c—31一4/

14.己知参数方程（te[-1口，下列选项的图中，符合该方程的是（）.

y=2t\/l~t2

解析：特殊值法.当沙=0时，力=0,1,—1,对应的立=0,-1,1.

15.函数/（a;）=2+3sinx,a:€[0,对意叫€[0,寸，都存在的€[0,自，使得/（叫）+2/（x2+9）=3恒

成立，则。可以是（）.

3C4r7

A:-7TB:-7TC：—7TD:-7T

5-）55

答案：D.

+。）=3-y）.

解析：因为〃的）+2/（畋+。）=3,所以2/（立2+。）=3—/（3），所以/（x2

因为〃叼）€[2,5],所以[-1,1],又因为存在畋,所以[-1,1]C

e〃畋+办

113

IT7T4.7T4133

--<-%n7r7r

因为g€[仇-+0],所以当。=三不时，3+-7T1O7T2（舍去）；当e5"时,彳+8”=m<5

（舍去）；当8=7TT时，-7T>：7T,且+：7T<7T7T（舍去）.

556526

16.两两不同的6,岔2,工3,m,y2,y3满足%+以=数+公=%+“3,且满足叫<yi,①2<外，g<嫄,

Xil/i+23g3=2工,2V2>0.下列一定成立的是（）.

A:11+13>2?2B:11+二3<2数C:1逆3>^D:11二3V6

答案：A.

解析：设叫+以=%2+期2=，3+阴=4

当6>0时,g=匕一”.

设g（z）=x（b—x）=—x2+bx,因为①<y,司/>0,设0<叫<gV%所以9（立）=—+bx.

因为g（叫）+或均=2g（g）,又因为根据二次函数的凹凸性,在［0,刍上,上凸函数,所以

9（71）+9（的）<2g（21.*3）,

所以2g（生产）>2g（妆），即g（巴尹）>9（的）.因为在（0,1）上递增，所以巴>>初，故3+磔>2x2.

同理b<0也可证.

三、解答题：本大题共有5题，满分76分.解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步

17.体小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，在长方体43。。一431。1。1中，已知43=BC=2,44=3.

（1）若点P是棱上的动点,求三棱锥C—PAD的体积；

⑵求直线ABi与平面ACCrAi的夹角大小.

解:⑴VP-ADC=0'S^ADC.八=；X2X3=2.

OO

吗=蟒，即所求角为arcsin骞.

（2）dsi-ACCiAi==\/2,46i=\/13,所以sin。=

V1313

18.（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知在中，4、B、C所对边分别为a、b、c,且a=3,0=2c.

（1）若4=号，求△ABC的面积；

O

⑵若2sin3—sinC=1,求△力BC的周长.

解：（1）由余弦定理可得,a2=h2+c2-2bccos4,代入数据可得72=9,解得c=苧.

由面积公式可得S4ABC—-6csinA=-x2x-x-=

12

（2）依题意，由正弦定理得sin6=2sinC,代入计算得：4sinC-sinC=1,解得sin。=3，贝ijsin6=鼻.

OO

当B为锐角时，sinA=sin（B+。）=sinBcosC+cosBsinC=x当2_|_x：=史

jjjjy

b多,得4q>,8V2-2V5所以^=—遍+

由正弦定理三=c=b=Cc403

sinAsinBsinC33

、»缶口卜•.r>cic225/2\/514>/2—\/5

当B为钝角时，sinAA=sin（B+。）=sinBcosC+cosBsinC=-x----------—x-=-------------

oo00J

bc4V2+V5,8\/2+2\/5g、|cr=

由正弦定理高「初，得Zf3C=-3—,b=-3—.所以=46+4+3o.

sinB

综上,C^ABC=40一通+3或4收+通+3.

19.(本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

已知某企业2021年第一季度的营业额为1.1亿元,以后每个季度的营业额比上个季度增加0.05亿元,该企业

第一季度的利润为0.16亿，以后每季度比前一季度增长4%.

(1)求2021年起前20季度营业额的总和；

(2)请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%?

解：(1)前20个季度每个季度的营业额为以1.1为首项,0.05为公差的等差数列.因此，总营业额为

20x19.一

20x1.1+---x0.05=31.5亿兀.

(2)假设今年第一季度往后的第n(n&Z+)季度的利润首次超过该季度营业额的18%,则需要求解

0.16x(1+4%)n>(1.1+0.05n)-18%.

令/(n)=0.16x(1+4%)n-(1.1+0.05n)x18%,neZ+,即要解/(n)>0,则n>2时,

/(n)-f(n-1)=0.0064x(1+4%)n-1-0.009.

令/(n)-f(n-1)>0,解得n》10,即1WnW9时,/(n)递减;n210时,递增.

由于/(I)<0,因此f(n)>0的解只可能在10时取得.

经检验,/(24)<0,/(25)>0,因此今年第一季度往后的第25个季度，即2027年第二季度的利润首次超过该

季度营业额的18%.

20.(本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)

于2

椭圆全+/=1,Fl,F2分别为左右焦点,过点F(m,0)(m<一，5)的直线交椭圆于点A,3且点4,3在重

轴的上方,4在P,8的中间.

(1)若B是上顶点，|褐|=|两求m;

(2)若瓦L瓦t=',且。到，的距离为之，正,求I的直线方程；

315

(3)求证：对任意的m<—6,使得FiA//BF-2的直线有且仅有一条.

解：(1)易得焦点坐标分别是6(—1,0),E(l,0),8(0,1).因为|砒=\PFi\=*，所以m=-1-y/2.

(2)设点4COS4sin。),则

FIA.⑹2幺=(gcos。+l)(v^cosJ—1)+sin20=2cos2J—1+sin2

o

从而cos20=解得cos9=(力在P,5的中间由图像可知),所以4—乎,?).

JJOO

设/过点4的直线方程是a=far+斗/，(后〉0),原点O到直线I的距离

OO

化简可得3A:?-10fc+3=0,解得k=3或k=

O

故直线I的方程为沙=3/+¥(舍去，因为立上截距不满足)或？=卜+¥.

OO«7

y=kx—km

(3)直线与椭圆联立，得(1+2fc2)x2-4Mmz+2k2m2-2=0,由韦达定理得

4fc2m2k2m2-2

21+72=--------rr-z-.---:—

因为F、AI/BF2,所以(改一1)仍=(xi+1加2,将直线方程代入得

(X2—l)(fco：i—km)=(叫+l)(fca：2—km),

化简得n-数=一7/从而可得

1+2fcz

化简得4k2m-2fc2m2+1=0,整理可得k2=-----~当nz<-%/2时,每个k2仅有一解.

4m—2m2

所以对任意的m<-0,使得FXA//BF，z的直线有且仅有一条.

21.(本小题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)

如果对任意仅1,22€R,当叫—g€S时，都有f(X1)-f(x2)eS,则称f(x)是S关联的.

(1)判断和证明=2%—1是Z+关联的吗？是［0,1］关联的吗？

(2)/(x)是｛3｝关联的,在［0,3)上有f⑺=x2-2x,解不等式2Wf(x)W3;

(3)‘了⑺是｛1｝关联的，且是［0,+8)关联"当且仅当“〃劝悬［1,2］关联的”.

解：(1)若立1—X2€Z+,此时/(g)—f(s?2)=2a?i—1—(2/2—1)=2(a；i—工2)€Z+.

所以/(H)=2c-1是Z+关联的.

对叫一立2e［0,1］,令工1-©2=1,则/(叫)-/(72)=2(X1-/2)=2任［0,1］.

所以f⑸=2x-l不是［0,1］关联的.

(2)由题设条件知,对Va:eR,有

/Q+3)—/(⑶=3.①

当0w/<3时,

f(x)=(x-I)2-1.②

设Ge[3(fc-i),3fe),则由①知下列等式成立.

f⑸-/(7-3)=3,

f(x-3)-f(x-6)=3,

f(x—3(k—2))—f(x—3(fc-1))=3.

相加得：f(x)=f(x-3(fc-1))+3g-1).注意到a;-3(fc-1)e[0,3),结合(2)式有

f(x)=[a;—(3fc-2)]2+3fc-4,a;€[3(fc-1),3fc).

易知Vare[3(21),3机/(*)€[3fc-4,3k).当我•W0时,3kW0<2;当A:23时,3k—425>3.

故只需考虑k=1,左=2两种情形.

k=1时,/(工)=(x-