2021年高考数学模拟训练卷 (一百一十四)(含答案解析)

2021年高考数学模拟训练卷（114）

一、单项选择题（本大题共12小题，共60.（）分）

2

1.已知集合A=(x\x-5x4-4=0},B={x|log2x=2},则4UB=()

A.{-4,1,4}B.{-4,4}C.{1,4}D.{4}

2.已知复数：=—5i,则2等于()

A—C.-iD.1

(x—2y—2<0,

3.若x,y满足约束条件1%-y+1>0,贝ijz=装的最小值为()

Iy<o,

A.—6B.—4C.—；D.一：

73

4.如图，已知△048,若点C满足前=2而，沆^=71次+〃丽(zl/zWR)，则"+；=()

5.已知过点P（2,-2）的直线/与曲线y=|%3-%相切，则直线/的方程为（）.

A.y=—%或y=8%—18B.y=­x

C.y=8%—18D.y=%或y=8%—18

E.y=—%或y=-8%—18F.y=x或y=-8%—18

6.若|沅|=2,m-n=8,m,H的夹角为60。，则|五|的值为（）

A.5B.6C.7D.8

7.某公司安排五名大学生从事A、8、C、。四项工作，每项工作至少安排一人且每人只能安排一

项工作，A项工作仅安排一人，甲同学不能从事6项工作，则分配方案的种数为（）

A.96B.120C.132D.240

8.在A.4"。中，afb,c分别为角A,B,C的对边，若AABC的面为S,

且475s=(a+Z?)2—c2>则sin(C+w)二

A.1BDV6+X/2

T,4•4

9.如图所示，正方形内切圆中的图案，左右两边阴影部分和白色的部

分是对称的.若在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概

率是（）

10.（二一1）（正+$6的展开式中的常数项为（）

A.-60B.240C.180D.-80

11.关于x的方程9十-2|-4.3+-2|一。=0有实根的充要条件是（）

A.CLN—4B.—4工aV0C.aV0D.—34QV0

12.已知圆（x-1）2+y2=，的■—条切线y=依与双曲线c；=l（a>0,b>0）没有公共点，

则双曲线C的离心率的取值范围是（）

A.（1，6）B.（1,2]C.（V3,+oo）D.[2,+oo）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.观察下列各式：1+」<”+1+3<”+去+去+3<：,…,根据上述规律,则第〃个不

2"22"3"32"3"4"4

等式应该为.

14.函数f（x）=sinx｛cosx+1）的最小值为.

15.已知S“为数列｛斯｝的前"项和，且为=3,即+i=3Sn+3,neN*,则S$=.

16.已知△ABC是边长为1的正三角形，M.N分别是边A3、AC上的点，线段MN经过A4BC的中

心G.若△力GM的面积为2，则△力GN的面积为.

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.已知函数f(x)=cos(2x-今+2sin2x-1,

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)在△ABC中，a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边，且a=2,c=2y[3,/(|)=求△ABC

的面积.

18.等腰直角三角形ABC中=90。,点。在边AB上,QE垂直AB交AC于E,如图①.将AABC

沿。E折起，使A到达P的位置，且使平面PDE，平面QBCE,连接尸C,PB,如图②.

(1)若/为「3的中点，DB=DP,求证：OF1PC；

(11)若8。=4,当三棱锥P-DBC的体积最大时，求二面角B-PE-C的余弦值.

■①晤力

19.中国已经成为全球最大的电商市场，但是实体店仍然是消费者接触商品和品牌的重要渠道.某

机构随机抽取了年龄介于10岁到60岁的消费者200人,对他们的主要购物方式进行问卷调查.现

对调查对象的年龄分布及主要购物方式进行统计，得到如图表：

主要购物方式

网络平台购物实体店购物总计

年龄阶段

40岁以下75

40岁或40岁以上55

总计

(I)根据已知条件完成上述列联表，并据此资料，能否在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,

认为消费者主要的购物方式与年龄有关？

(n)用分层抽样的方法从通过网络平台购物的消费者中随机抽取8人，然后再从这8名消费者

抽取5名进行座谈.设抽到的消费者中40岁以下的人数为X,求X的分布列和数学期望.

2

附：参考公式：K2=n(ad-bc)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

临界值表:

P(K2>ko)0.0500.0250.0100.0050.001

3.8415.0246.6357.87910.828

20.设4(—m,0),B(m,0)(小丰0),直线AC,BC相交于C,而且他们的斜率之积为一*,若点PQ乎)

是点C的轨迹上的点，直线/的方程为x=2.

(I)求点C的轨迹方程；

(口)过点E(LO)的直线与点C的轨迹相交于。，例两点(不经过P点)，直线力M与直线/相交于

N,记直线PD,PM,PN的斜率分别为以，k2,心.求证：kr+k2=2k3.

21.已知函数/'(x)=Inx+2-：(aeR且aK0).

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)当xe［l,e2］时，试讨论方程(111》-1)?=?一1的根的个数.

22.在直角坐标系X。)，中，直线/的参数方程为(t为参数)，以原点为极点，x轴正半

轴为极轴建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为〃：［

(1)求曲线E的直角坐标方程;

(2)设直线/与曲线E交于A,8两点，求线段A8的长.

23.已知函数/(%)=|x-a|4-|x+2/?|(a>0,b>0).

(1)当Q=b=1时，解不等式f(x)>2-x；

(2)若函数f(x)的值域为［2,+oo),求得+?的最小值.

【答案与解析】

1.答案：C

解析：

本题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键，属于基础题.

求出集合A中方程的解确定出A,利用对数的性质求出集合B中方程的解，确定出B,求出A与8

的并集即可.

解：由集合A中的方程变形得：(x-l)(x-4)=0,

解得：x=1或x=4,即A={1,4}；

由集合B中log2%=2=log2%得到x=4,即8={4},

则4UB={1,4}.

故选：C.

2.答案：A

解析：解：,.「=-5i,z=£,二2=-上，

z55

故选：A.

利用复数的运算法则、共粗复数的定义即可得出.

本题考查了复数的运算法则、共规复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

3.答案：B

解析：

本题主要考查线性规划以及直线斜率的应用，根据分式的特点进行求解是解决本题的关键，属于基

础题.

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可.

解：画出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分区域，

因为Z=皋的几何意义为可行域中的点(x,y)与定点P(-5,l)的斜率,

由图可知，直线PB的斜率最小，

由m)。，解得%-4,-3),

此时部8=葺1=一4,

则z的最小值为-4,

故选B.

4.答案：D

解析：

本题考查向量的三角形法则和向量的数乘运算，属于基础题.

根据向量的三角形法则和向量的数乘运算求出;!=：，〃=|,再代值计算即可.

解:"OC=OA+AC=OA+1AB

=OA4-1(OF-04)=^OA

・•・a1=19〃=2

1.1c,39

•••；+—=3+-

Afl22

故选D

5.答案：A

解析：解：设直线与曲线切于点Qo，y())(xo。0),,・•y=］久3一%,

r

・•・y=XQ-1.

,切线方程为y+2=(XQ—1)(%—2)

2

•­•y0+=(^o-1)(狗一2)

=加

•••+2=(xo-1)(^0-2)

•••q=0,或以=3,k=XQ-1=8或一1,

故直线/的方程y=-x或y=8x-18.

故答案为：y-—x或y=8x-18.

设切点为(xoJo)，根据导数的几何意义求出曲线在点*处的切线斜率，可得切线方程，代入切点，

便可建立关于X。的方程.求得X。，从而求得过点且与曲线C相切的直线方程.

此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据一点坐标和斜率写出直线的方程,

是一道综合题.

6.答案：D

解析：

本题考查向量数量积的运算，属于基础题.代入向量的数量积公式求解即可.

解:因为记•■=|浦㈤IC",

nt-It8

所以〃同“io=1N=上

-x2

故选D.

7.答案：C

解析：

本题考查了排列组合的应用，属于基础题.

解：当甲选A时，共有盘废掰=36种分配方案；

当甲不选A时，若8安排两人，共有盘底掰=24种分配方案，若C或。安排两人,共有屐废废掰=72

种分配方案，

所以一共有36+24+72=132种分配方案.

故选：C.

8.答案：D

解析：

本题考查三角形的面积公式和余弦定理以及和差角的三角函数，属于中档题.

先利用三角形面积定理推出2，正一2a仪妨0+2曲，两边同除以4",继而得到

@sinC-LP0c=sin(C依据C的范围即可推出结论.

22'6，2

解：因为=(〃+与2_〃，

所以4>/3X\ibsh\Ca2+b2-/+2ab,

所以24“Ain。+2ab,

两边同除以4ab,可得逛si”。=1t+1,

222

即^^sinC--co«C=si»(C--)=->

22'62

由ce(o,7r)可得,c-1=l，或，TT

即或。=7T(舍去).

所以sin(C+5=sin©+3=^x(1+,=驾.

故选。.

9.答案：B

解析：

本题主要考查几何概型的概率公式的应用，考查了分析问题与解决问题的能力，容易题.

根据图象的对称性求出阴影部分的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可.

解：根据图形的对称性知，阴影部分为圆面积的一半，设圆的半径为1,

则正方形的边长为2,

所以阴影部分的面积为S=17T-l2=p

Jr一

2

因此所求的概率为c=7T-

8

2

故选B.

10.答案：c

解析：

本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题.

把(石+：)6按照二项式定理展开，可得(炉一1)(《+今6的展开式中的常数项.

解：@3—1)(7%+1)6=(x3—1)((?5•x3+Cg-2-+Cg-4+Cg-8X~2+Cg-16x-3+Cf-

32x《+Cr64x-6),

故它的展开式中的常数项为Cj•16•4=180,

故选C.

11.答案：D

解析：解：令3土-2|=92t>0)则原方程转化成

t2-4t-a=0在(0,1］上有实数根

a=t2-4t=(t—2)2—4(1>t>0),

解得：-3Sa<0

故选。.

先进行换元，将方程9-吐2|-4.3TA2|_0=o有实根转化成t2-4t-a=0在(0刀上有实数根，

然后利用分离法求出«的范围即可.

本题主要考查了函数与方程的综合运用，同时考查了转化的思想，求二次函数在给定的区间上的值

域是容易出错的地方，属于中档题.

12.答案：B

解析：

本题考查直线与圆的位置关系，考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题.

先求出切线的斜率，再利用圆。一l)2+y2=，的一条切线y=kc与双曲线c：l(a>

0,b>0)没有公共点，得到次，1+次W4,即可求出双曲线C的离心率的取值范围.

解：由题意，圆心到直线的距离d=7冥=3，二卜=+6，

Vfc2+12-

圆(%-1)2+y23的一条切线y=依与双曲线C：捺一，=1(Q>0,b>0)没有公共点,

—WV3,1+—T<4>

aa2

・••双曲线C的离心率的取值范围是(1,2],

故选民

4田.1,1,.1,2n+l

13.答案：w1+7+3+.“+口而

解析：解：根据规律，不等式的左边是九+1个自然数倒数的平方的和，右边分母是以2为首项，1

为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，所以第"个不等式应该为1+或+专+

…+^〈吧

(n+1)2n+1

故答案为：1+/+9+…+而

根据规律，不等式的左边是n+1个自然数倒数的平方的和，右边分母是以2为首项，1为公差的等

差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，由此可得结论.

本题考查归纳推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.

14.答案：一延

4

解析:

本题考查了导数和三角函数知识的综合运用，先求出/(%)=5口无口05%+1)的导数，根据函数的单

调性即可求解；

解：/'(%)=cosx•(cosx+1)+sinx•(―sinx)=2cos2x+cosx—1=0,

解得cosx=1或一1,

当cosx=-1时，/(%)=0；

当cosx=,时，sinx=土争代入/'(X)得Sinx=—当时，f(x)取最小值为一哈

故答案为一出.

4

15.答案：1023

解析:

本题考查数列的递推关系，由题意得出数列｛即｝是3为首项，4为公比的等比数列，由等比数列求和

公式可得答案.

解：由题意可得当nN2时，an=3Sn_1+3,

和a“+=3S+3两式相减可得即+-a=3a,可得$=4,

nnna

11n

把ri=1代入a.=3Sn4-3结合的=3可得g=12,

故数列是3为首项，4为公比的等比数列，

故S5=3x(7)=4s-1=210-1=1023.

b1-4

故答案为1023.

16.答案：口

24

解析：解：因为G为边长为1的正三角形ABC的中心,

所以4G=2x3=立，/-MAG=I，

3236

由正弦定理篇=的普寻得GM=^^，.

则“M=^GM.GA.sina=悬%=思旃)=总

解得：cota=2—遮，

又丝=,一不,得GN=.—%,

^sm-sin：("a-g)'1T6sin(a-^)

则SGN="GN-GA•sin(7r-a)=—=1----=1~—=^+1.

入JAUN2')12sin(a-)6(V3-C0ta)6(百一2+遮)24

故答案为：回

24

设乙1GM=a，由已知可得AG,ZMAG的值，由正弦定理可得得GM=盘忌》由2GM=1GM-GA-

血。=忌漏=专，解得：cota=2-5又利用正弦定理可得GN=嬴舟了则可求“N=

11

-GN-GA-sin(7i—a)=-7=---7的值.

2')6(g-cota)uj以

本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式的综合应用，将△/GM、ZkAGN的面积表示为a的函数是

解题的关键.

17.答案：解：⑴函数/(x)=cos(2x-g)+2sin2%-1

=-cos2x+-sin2x-cos2x

22

V3.1Q

=—sm2ox——cos2x

22

=sin(2x—》

由2/C7T-gW2%—gw2/C7T+E，kEZ.

26L

可得：/C7T-7<%<kn-+7,kEZ.

o3

单调增区间上兀一B，k兀+勺，k&Z.

63

(2)底)=：，

••.sin(CJ).

■:C6(0,7T),

c=P

由正弦定理导=肃，a=2,c=2疗，可得5,4=军=、

O€IOL/LV/2A^32

vc>a,AC>A,A=B，

o

•••B=p三角形的直角三角形，

S=-ac=-x2x2-\/3=2V3.

22

解析：(1)利用两角和与差的三角函数以及二倍角的余弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的

形式，通过正弦函数的单调增区间，求/(x)的单调递增区间；

(2)通过展)=；,求出C,利用正弦定理求出A,判断三角形的形状，即可求△力BC的面积.

本题考查三角函数的化简求值，三角形的面积的求法，两角和与差的三角函数的应用.

18.答案：(/)证明：•••平面PDE1平面D8CE,平面PDEn平面DBCE=DE,

PD1DE,

PD1平面DBCE,又BCu平面DBCE,

：.PD1BC,又BC工DB,PDCBD=D,

BCJL平面PBD,又DFu平面PBD,

：•DF1BC,

,:PD=BD,尸是P8的中点,

DF1PB,

又PBu平面PBC,BCu平面PBC,PBCBC=B,

DF_1_平面PBC,又PCu平面PBC,

DF1PC.

(〃)解：设BD=m,则PD=4-m,ShDBC=2m,

12

•••Vp-DBC=^SADBC.PD=]-m(4-m),

由基本不等式可知，当m=4-m即m=2时，Vp_°Bc取得最大值，

以。为原点，以DE,DB,。尸为坐标轴建立空间坐标系。-xyz,

则B(0,2,0),P(0,0,2),£(2,0,0),C(4,2,0),

.•.前=(0,-2,2)，EP=(-2,0,2),EC=(2,2,0),

设平面PBE的法向量为沆=(x,y,z),则"空=。,BP(-2y+2z=0

令z=l可得沅=(1/，1),同理可得平面PEC的法向量为五=(1,一1,1).

,一一、mn11

：•cos<m,n>=——=7=—尸=一,

|m||n|V3xV33

.•・当三棱锥P-OBC的体积最大时，二面角B-PE-C的余弦值为

解析：本题考查了线面垂直的判定和性质，考查空间向量与二面角的计算，属于中档题.

(/)先证明BCJ_平面得出BC1DF,再证明。F1平面P8c得出DF1PC：

(〃)根据基本不等式得出当DB=2时，棱锥体积最大，再建系求出平面PBE和平面PCE的法向量,

计算法向量的夹角得出二面角的大小.

19.答案：解：(I)根据直方图可知40岁以下的消费者共有：

200(0.1+0.2+0.3)=120人,

40或40岁以上的消费者有80人，故根据数据完成列联表如下：

主要购物方式

网络平台购物实体店购物总计

年龄阶段

40岁以下7545120

40岁或40岁以上255580

总计100100200

依题意K2的观测值:

K=2：黑鼠肃热=A18.75>10.828,

・•・可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为消费者主要的购物方式与年龄有关.

（n）从通过网络平台购物的消费者中随机抽取8人,

其中40岁以下有6人，40岁或40岁以上的有2人,

从这8名消费者中抽取5人进行答谢，设抽到的消费者中40岁以下的人数为X,

则X的可能取值为3,4,5,

P-3)=等竦

P(X=4)=等=票

c8

P(X=5)=警.

则X的分布列为:

X345

5153

P

142828

FW=3xA+4xi|+5xA=3.75.

解析：（I）根据直方图可知40岁以下的消费者共有120人，40或40岁以上的消费者有80人，作出

列联表求出心的观测值：K=，=18.75>10.828,从而可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，

认为消费者主要的购物方式与年龄有关.

（E）从通过网络平台购物的消费者中随机抽取8人，其中40岁以下有6人，40岁或40岁以上的有2

人，从这8名消费者中抽取5人进行答谢，设抽到的消费者中40岁以下的人数为X,则X的可能取

值为3,4,5,分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）.

本题考查独立检验的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考

查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

20.答案：解：（1）设点。。J）则心一心C=焉,号=一+。*±巾）一（2分）

化简得a+川=1（%H±m）----------------------------------（3分）

•••P（l,当在点C的轨迹上，•••++；1-----------（4分）

租2=2,点c的轨迹方程为：y+y2=l(x±V2)（6分）

(n)假设存在实数〃使得自+k2=冰3,

由题意设直线DM的方程为y=k(x-1)代入点C的轨迹方程9+y2=i(x彳+V2)

得（1+2/c2）x2-4k2x+2（k2-1）=0-..............................（8分）

设0(与,乃)，M(x2,y2),

/+&=盖，%------(9分)

>/2y/2y/2_

根据题意得N(2,k),从而a=匕，的=匕，七=匕=卜_立・

Xi-14X2-l2-12

又因为E、D、M三点共线，二卜二含二含-------------(10分)

•'•七+%=茨+黑=含+合一当(七+六)

=2k~—--必+物-2=21一直2d甲虫=2k-&=2&-（12分）

％）

2（1+42+12l+2k2--l+2fc2+1

故存在实数〃=2符合题意（13分）

故用+k2=2k3(13分)(文科)

解析：(I)设点C(x,y)则心c・kBC=-总化简后代入点P(1号，求出m,即可求点C的轨迹方程；

假设存在实数“使得&+融=〃自,设。(如乃)，直线。例的方程为代

(11)1M(x2)y2),y=k(x—l)

入点C的轨迹方程，利用韦达定理求出两根和与两根之积，表示出直线PC,PM,PN的斜率分别为

匕,k2,&.通过三点共线即可求出〃,得到所证明的自+的=2七.

本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，轨迹方程的求法，考查分析问题与解答问题的能力，计算量

大，难度高.

21.答案：解：(1)/(为=喘(x>0),

当aVO时，/'(%)>0恒成立，函数/(%)在(0,+8)上单调递增；

当a>0时，当/'(%)<0时，0VxV、；当/'(%)>0时，x>；,

所以函数/(X)在(0,》上单调递减，在(，+8)上单调递增.

综上所述，当a<0时，函数f(x)在(0,+8)上单调递增；

当a>0时，函数/(x)在(0,》上单调递减，在G，+8)上单调递增.

(2)当xe［1,e2］Bj,方程(Inx-l)y=^-1的根的个数等价于函数g(x)=(Inx-l)ex+x-zn的零

点个数.

令h(x)=Qnx—l)ex+x,

则八'(x)=I：+Inx-l)ex+1.

由(1)知当a=1时，f(x)=lnx+；-1在(l,e2)上单调递增，

二当xe［1*2］时，/(x)>y(i)=o.

•••f(x)=Inx+i-1>0在％e［l,e2］上恒成立.

h'(x)=(|+Inx—l)ex+l>0+l>0,

/i(x)=(Inx—l)ex+x在xe［l,e2］上单调递增，

­■•八(x)min=无⑴=-e+1,/l(x)max=也⑷)=e"+e2

二当m<—e+1皴n>e，'+e?时，函数g(x)在［Le?］上没有零点，即方程没有根：

当