2021年高考数学模拟训练卷 (七)(含答案解析)

2021年高考数学模拟训练卷（7）

一、单项选择题（本大题共10小题，共40.（）分）

1.设全集U=R，集合4={x[l<x<3},8={x|2x-320},则4n(CuB)=()

A.(-8,|)B.(1,+8)C.(1,|)D.[|.3)

2.若双曲线方程为/一9=1,则其渐近线方程为（）

A.y=±2xB.y=+V3xC.y=土号xD.y=±|x

%+y—2W0

3.若x,y满足卜工+丫一220,则y—x的最大值为()

y>0

A.—2B.—1C.2D.4

4.函数、=吧的图象可能是（）

5.设随机变量X的分布列如下表，且E（X）=1.6,则〃等于（）

X0123

p0.1ah0.1

A.0.1B,0.2C,0.5D,0.3

6.已知m€R,“函数丫=2，+加一1有零点"是''函数丫=1。8„1%在（0,+8）上为减函数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.正项等比数列｛斯｝中，«2016=a2015+2a2014＞若%„斯=16冠，则\£的最小值等于（）

A.1B.|C.|D,^

8.若a<b,则下列不等式成立的是()

A.3>£B.a2<b2C.Iga<IgbD.3a<3b

9.某中学一天的功课表有6节课，其中上午4节，下午2节，要排语文、数学、英语、信息技术、

体育、地理6节课，要求上午第一节课不排体育，数学必须排在上午，则不同排法共有()

A.600种B.480种C.408种D.384种

10.在正三棱锥4-BCD中，E、尸分别是AB、BC的中点，EF1DE,且8C=1,则4-BCD的体

积为()

二、填空题(本大题共3小题，共12.0分)

11.在△ABC中，B=30°,C=120°,则a：b：c=

12.已知平面向量沆与元之间的夹角为%|记|=3,|元|=2,则记•5?-2力=

2

13.直线y-x+1与椭圆m/+ny=l(m>n>0)相交于A,8两点，若弦AB的中点的横坐标等

于一右则椭圆的离心率等于

三、多空题(本大题共4小题，共24.0分)

14.我国古代数学著作涨邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三;

鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分

(x+y+z=100

别为X,y,Z,则曝+3、+*100'当z=81时，X=

，y=-----

15.若复数z=(l+ai)(l—i)为纯虚数，i是虚数单位，则实数a的值是|z+i|=_(2)一.

16.多项式(x+l)(x+2/的展开式中，含尤2的系数为展开式的各项系数和为_(2)_.(均用

数字作答)

17.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为最长棱的长度是_(2)_.

四、解答题(本大题共5小题，共74.0分)

18.已知函数/'(x)=y/3sinxcosx—cos2x—

(I)求函数/(x)的对称中心；

(口)求/⑺在［0,用上的单调区间.

19.如图，在多面体A8CDEF中，矩形2QEP所在平面与正方形A8C。所在平面垂直，点M为AE

的中点.

(1)求证：BM〃平面EFC

(2)若DE=AB,求直线AE与平面BOW所成角的正弦值.

20.已知等差数列｛斯｝的前〃项的和记为S%如果=-12,a8=-4

(1)求数列｛即｝的通项公式；

(2)求％的最小值及其相应的n的值；

21.已知抛物线y2=4x及点P(2,2)。直线/斜率为1且不过点P,与抛物线交于A,8两点.若AP,

8尸分别与抛物线交于另一点C,D,证明：AO,8c交于定点.

22..已知函数/(x)=2cos2%+V^sin2x,xeR.

(1)求/"(x)的最大值及相应的x的取值集合.

(2)求八》)的单调递增区间.

【答案与解析】

1.答案：c

解析：解：B={x\x>|）；

3

•••CuB={x[x<-}；

・••an（CuB）=（L）

故选：c.

先解出B,然后进行交集、补集的运算即可.

考查描述法、区间表示集合的概念，以及交集、补集的运算.

2.答案:B

解析：

本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，属于基础题.

由双曲线捻-'=l（a>0,b>0）的渐近线方程为y=土衣，即可得到所求方程.

解：双曲线/—?=1中a=1,b=再，

其渐近线方程为y=±gx=±V3x,

故选&

3.答案：C

解析：解解：由约束条件作可行域如图，

设名=y-％化目标函数为y=%+z,

由图可知，最优解为A（0,2）,

・・.z的最大值为：2-0=2.

故选：C.

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐

标，代入目标函数得答案.

本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.

4.答案：C

解析：解：函数为奇函数，图象关于原点对称，排除8,

当X=1时，y=3<i,排除4；

当x->+00时，—T4-00,排除D.

4x

故选：C.

判断函数的奇偶性和对称性，利用特殊值和极限思想进行排除.

本题主要考查函数图象的识别和判断，判断函数的奇偶性以及利用排除法是解决本题的关键.

5.答案：D

解析：

本题考查了离散型随机变量的分布列的性质及其应用，以及离散型随机变量的期望，属于基础题.

利用离散型随机变量的分布列的性质和题设条件，由此能求出a即可.

(2+2b+0.3=1.6

解：•••E(X)=1.6,

a+2b=1.3,①

由分布列的性质知a+b=1-0.2=0.8,②

联立①②，解得a=0.3,故选£>.

6.答案：B

解析：解：若函数y=/(%)=2*+m-1有零点，则/'((J)=1+m-1=m<1,

当mWO时，函数y=logmX在(0,+8)上为减函数不成立，即充分性不成立，

若y=logm%在(0,+8)上为减函数，则0<m<l,此时函数y=2*+m-1有零点成立，即必要性

成立，

故“函数丫=2、+加一1有零点”是“函数y=log7nx在(0,+8)上为减函数”的必要不充分条件，

故选:B.

根据函数的性质求出m的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数零点和对数函数的性质求出等价条件是解决本

题的关键.

7.答案：B

解析：解：设正项等比数列｛a"的公比为q,(q>0)，

由。2016=a2015+2a2014，得Y?=Q+2,

解得q=2或q=-1(舍去).

又因为。血。九=16讲，即忧•2m+n~2=16«1,

所以m+n=6.

因此上+-=-(—+-)(m+n)

mn6mnz

十+小>那+2用).

当且仅当m=4,ri=2时，等号成立.

故选：B.

设正项等比数列｛斯｝的公比为4,(q>0)，运用等比数列的通项公式，解方程可得q=2,由条件可

得m+n=6,运用乘1法和基本不等式，计算即可得到所求最小值.

本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，考查等比数列的通项公式，考查运算能力，

属于中档题.

8.答案：D

解析：解：根据a<b,取a=—l,b=0,则可排除A、B、C.

故选：D.

根据a<6,取a=-l,b=0,即可排除错误选项.

本题考查了不等式的基本性质，属基础题.

9.答案：C

解析：

本题考查了排列、组合以及简单的计数问题，解答的关键是正确分类，求解时做到不重不漏，其次

注意优先分析受到限制的元素.

根据题意，本题可看做是6个不同的元素填6个空的问题，条件限制是生物不排第一节，数学排上

午，所以解答时分数学在第一节和数学不在第一节两类，结合分步计算与分类计算原理即可求解.

解：根据题意，要求上午第一节课不排体育，数学必须排在上午，

则分2种情况讨论：

①数学排在上午第一节，则其余5节任意排列，有猫=120种排法

②数学不排在上午第一节，则需要从其余的三节选一节排数学，有用=3种，

然后安排体育，除上午第一节与数学已选的一节之外，还有4个位置可选，有用=4种排法,

其余的4门课程进行全排列，安排在剩余4个位置，其排法有g=24种，

由分步计数原理可得，共有3x4x24=288

所以这天课表的不同排法种数为120+288=408；

故选C.

10.答案：B

解析：解：EFIDE,EF//AC：.ACIDE,又AC_LBDAC_1_面ABO,

AB=AC=AD=—,可求体积：-x-x—x—x—=—

23222224

故选8.

先证明AC,面A8Q,然后求底面AC。的面积，即可求出体积.

本题考查椎体体积计算公式，考查空间想象能力，是基础题.

11.答案：1：I：遮

解析：

本题考查了正弦定理，属于基础题.

利用正弦定理即可得出.

解：•••B=30°,C=120%AA=30°.

由正弦定理可得：

abc

___=____=____=2R

sinAsinBsinC

a：b：c=sinA：sinB：sinC

=s讥30°：sin30°：sin120°

故答案为：1：1：6.

12.答案：3

解析：

根据平面向量数量积的定义求解即可，属于基础题.

解：由题意得示=|示8sm=3x2x1=3,

所以记■(m-2n)=m2-2mn=9-2x3=3>

故答案为3.

13.答案:立

2

解析：解：设4(*1，%),8((X2，%)，则刀1+乂2=-|・

-_

2?得0n+n)x2+2nx4-n—1=0=>%+%=-~=巾=2n,

mxl+ny2=112m+n

2

椭圆7n/+ny2_1(7n>n>o)的离心率c,e=与如=g=e=亨.

n-

故答案为：立.

2

2

设4(xi，yi),B^x2,y2)'则/+x2=一|.利用直线与椭圆联立方程组，得(m+n)x+2nx+n-1=

0利用韦达定理求出+x2=>m=2n即可求解椭圆的离心率.

本题考查了直线与椭圆的位置关系，及椭圆离心率，属于中档题.

14.答案：8

11

解析：

本题考查方程组的解法，是基本知识的考查.

直接利用方程组以及z的值，求解即可.

(x+y+z=100

解“5x+3y+,z=100)

当z=81时，化为:{5^3；=73-

解得％=8,y=11.

故答案为8,11.

15.答案：—1

3

解析：解：z=(1+Qi)(l-i)=Q+1+(Q-l)i为纯虚数，

fa+1=0

'匕-1H0，

解得a=-1.

:.z=-21,则，=2i.

・・.|z+i|团12t+i|=|3i|=3.

故答案为：—1,3.

直接由复数代数形式的乘法运算化简复数z,再由已知条件列出方程组，求解得〃的值，再求出z,

由复数求模公式计算得答案.

本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题.

16.答案：56

163

解析：解：(x+l)(%+2)4=X。+2>+(%+2)3

在%(%+2/的展开式中，含%2的项为:x-C\x-23=32x2,

2

在(％+2)4的展开式中，含M的项为：C2X2，22=24X9

・,・多项式。+1)。+2)4的展开式中，含/的系数为：32+24=56.

多项式。+l)(x+2>的展开式中，

令％=1,得展开式的各项系数和为：(1+1)(1+2)4=162.

故答案为：56,162.

(%+1)(%+2)4=x(x+2)4+Q+2)3在+2下的展开式中，含产的项为：%.Cjx-23=32%2,

在(％+2)4的展开式中，含/的项为：dx2-22=24%2,由此能求出多项式(％+1)(%+2)4的展开

式中，含/的系数；令x=l,能求出展开式的各项系数和.

本题考查二项展开式中含/项的系数、各项系数和的求法，考查二项式定理等基础知识，考查运算

求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.

17.答案：y

V6

解析:

本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生

的运算能力和转化能力，属于基础题.

首先把几何体的三视图转换为几何体，进一步利用切割法把不规则的几何体转换为由四棱柱和三棱

柱及三棱锥构成的几何体，进一步利用几何体的体积公式求出结果.

解：根据几何体的三视图，

转换为几何体如图所示：

利用切割法，把几何体切成由一个直四棱柱和两个三棱柱和两个三棱锥组成.

几何体的体积为：

11

V=1-1-2+--2-1-1+--2-1-1

22

11

+2(----1-1-2)

_14

-T*

最大的棱长为：L=Vl2+I2+22=V6.

故答案为：A/6.

18.答案：解：函数f(%)=yj3sinxcosx-cos2%-

⑴化简可得：/(%)=^-sin2x—匕1=sin(2x——1

令kn,

2%—-6=

得%=督+强

故所求对称中心为（筝+看,一1）,々wz.

（2）令2/CTT-<2%—^<2/CTT+g,

vz262

解得/CTT-7<x</c7r+^,/cEZ

63

又由于％e[0,n],

・•・%e[0,§u年,利・

故所求单调增区间为[0,§U年，用.

令2kli+5W2.x——<2/CTT+—>

解得/CTT+7<x</c7r4-^,/cGZ

又由于xe[0,n],

故所求单调减区间为邑泞

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解析：（I）将函数利用二倍角和辅助角化简，结合三角函数的性质可求函数〃X）的对称中心;

（口）求出/Q）的单调增加区间，与x6[0,可求交集，可得答案.

本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键.

19.答案：（1）证明：连结4C,交8。于点N,

•♦.可为47的中点，；.用可〃后。.

•••MNC平面EFC,ECu平面EFC,

MN〃平面EFC.

■：BF,OE都垂直底面A8CO,BF//DE.

•••BF=QE,•••BDE尸为平行四边形，••.BC//EF.

•••BDC平面EFC,EFu平面EFC,

BD〃平面EFC.

又：“可。8。=/7,二平面80/11〃平面£7（.

•••BMu平面BDM,BM〃平面EFC.

(2)由题知面BDEFJL面ABC。，ffijBD1ED,^BDEFQ^ABCD=DB,DEc®BDEF

所以DEI面ABC。，以。为原点，以D4,DC,所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角

坐标系，

设4。=1,则4(1,0,0),B(l,l,0),M(|,0,},F(0,0,1),F(l,l,1),C(0,l,0),

而=(”一}，丽“，0，》，

设平面B£>M的一个法向量为元=(x,y,z)

n•WB=-x+y--z=0

_.i12,可取x=-l,y=1,z=1.

{n•DM=-%+-z=0

所以面BOM的法向量为记=(一1,1,1)

又荏=(-1,0,1)-

设直线AE与平面BOM所成角为a,

则sina=|cos<n,AE>|=寺

所以直线AE与面BOM所成角的正弦值为渔.

3

解析：本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的

位置关系等基础知识，是中档题.

(1)连结AC,交BD于点、N,推导出MN〃EC,从而MN〃平面EFC.推导出8OE尸为平行四边形，则

8D〃EF・从而BD〃平面E”.由此能证明平面BDM〃平面EFC.

(2)由。4,DC,QE两两垂直，建立空间直角坐标系。-盯z.利用向量法能求出直线AE与平面3QM

所成角的正弦值.

20.答案：解：⑴・.,等差数列｛时｝的前〃项的和记为Snq=T2,即=一4,

(a+3d=-12

'匕r+7d=-4'

解得=—18,d=2,

二数列｛an｝的通项公式an=2n-20.

(2)van=2n—20,

・,・由。„=2n—20>0,得九>10,

a。~—2<0,Qio=0,=2>0,

.•.当n=9或n=10时，S"取最小值S9=S10=-90.

解析：⑴利用等差数列通项公式列出方程组，求出％=-18,d=2,由此能求出数列｛aj的通项

公式.

(2)由斯=2n—2020,得n210,由此能求出当n=9或n=10时，S4取最