2021届高考数学文（全国统考版）二轮验收仿真模拟卷(十四)

高考仿真模拟卷(十四)

(时间：120分钟：满分：150分)

第I卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.已知集合4=*伙=肝7},8={x|-lW2x-lW0},则(]RA)n8=()

A.(4,+°°)B.0,2

C.&4D.(1,4]

2.若命题“mxoCR，/+3—1)沏+1<0”是真命题，则实数”的取值范围是()

A.[―1,3]

B.(—1,3)

C.(一8,-1]U[3,+8)

D.(-8,-1)U(3,+8)

3.已知小b£R,且儿则下列式子恒成立的是()

A.a\nx>b\nxB.ax>bx

C.a2>b2D.ag)

4.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,外接圆半径为R,若bsinB-asin

A=|asinC,且△ABC的面积为2*sin仇1一cos2A),贝iJcosB=()

1113

AqB.1C，2D.4

x—yWO,

5.不等式组卜+y2—2,的解集记为。，若(a,b)£D,则z=2a—3。的最小值是()

2y2—2

A.-4B.-1

C.1D.4

6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积与其外接球的体积之比为()

A.1：3兀B.小：兀C.1：3GD.1：y/3n

7.将函数尸sinQ+总的图象上各点的横坐标变为原来的/纵坐标不变），再往上平移1

个单位，所得图象对应的函数在区间［―/方］上的值域为（）

四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976年美国数学家阿佩尔与哈肯证明了四色定理.其

内容是：”任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色.”

用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1,2,3,4

四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字.”如图，网格纸上小正方形

的边长为1,粗实线围成的各区域（如区域。由两个边长为1的小正方形构成）上分别标有数字

1,2,3,4的四色地图符合四色定理，区域A、B、C、D、E、尸标记的数字丢失，若在该四

色地图上随机取一点，则恰好取在标记为4的区域的概率是（）

A-15B4

c2心

v15u15

9.学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若

学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比

学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩

相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（）

A.2人B.3人

C.4AD.5人

10.若实数mh,c,一满足S+d-Rna）2+（c-d+2）2=0,则3一°y+3—力2的最小值

为（）

A.也B.8C.2啦D.2

11.已知点。为坐标原点，点M在双曲线C：f为正常数）上，过点”作双曲

线C的某一条渐近线的垂线，垂足为M则的值为（）

Xc4

A4-4B2

C.AD.无法确定

f(x)

12.已知兀v)是定义在R上的减函数，其导函数/㈤满足亍b+x<l,则下列结论正确

的是()

A.对于任意xGR,/(%)<0

B.对于任意彳十任於)>0

C.当且仅当xG(—8,1)时，火力<0

D.当且仅当xG(l,+8)时，危)>0

题号123456789101112

答案

第H卷

二、填空题：本题共4小题，每小题5分.

13.已知向量a,b,其中⑷=小，向=2,且(a+Z>)_La,则向量。和b的夹角是

14.如图，己

知圆柱的轴截面ABBiA是正方形,C是圆柱下底面弧AB的中点,G是圆柱上底面弧48

的中点，那么异面直线AG与8c所成角的正切值为.

15.已知〃iGZ,关于x的一元二次不等式f—6x+mW0的解集中有且仅有3个整数，

则所有符合条件的m的取值集合是.

22

16.已知椭圆C的方程为，+3=1,A、8为椭圆C的左、右顶点，P为椭圆C上不同于

A、B的动点，直线x=4与直线必、PB分别交于M、N两点，若。(7,0),则过。、M、N

三点的圆必过x轴上不同于点。的定点，其坐标为.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分)已知等差数列｛斯｝中，欧=2,%+%=8,数列｛①｝中,6=2,其

前〃项和工满足：6“+i=S,+2(〃GN*).

(1)求数列｛斯｝,｛瓦｝的通项公式;

(2)设c,,=胃，求数列｛金｝的前〃项和T„.

18.(本小题满分12分)某高校为了了解新生的视力情况，随机地抽查了该校100名新生

的视力情况,得到频率分布直方图，如图所示.已知前4组的频数从左到右依次是等比数列｛小｝

的前四项，后6组的频数从左到右依次是等差数列｛b｝的前六项.

(1)求等比数列｛对｝的通项公式；

(2)求等差数列｛小｝的通项公式；

(3)若规定视力低于5.0的学生属于近视学生，试估计该校新生的近视率p的大小.

19.（本小题满分12分）正方形AOEF与梯形ABC。所在平面互相垂直，ADA.CD,AB//

CD,A8=AO=]CO=2,点M是EC中点.

AB

（1）求证：平面AOEF；

（2）求三棱锥M-BDE的体积.

20.

5

22

（本小题满分12分）如图，已知欣切，死）是椭圆C：今+上=1上的任一点，从原点。向圆

M：(x-xo)2+(y—yo)2=2作两条切线，分别交椭圆于点P,Q.

(1)若直线OP,0。的斜率存在，并记为高，七，求证：俗女2为定值；

(2)试问|0P『+|0Q|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.

21.(本小题满分12分)已知函数*%)=lnx,g(x)=^ax+b.

(1)若於)与g(x)在尤=1处相切，试求g(x)的表达式；

(X—1)

(2)若叭4=—不pj—九)在［1，+8)上是减函数，求实数m的取值范围；

(3)证明不等式：磊*+备+备+…+m"+1)4+1+3+%“+［心*).

请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度

单位相同.已知曲线C的极坐标方程为0=2(cos8+sin，)，斜率为小的直线/交y轴于点

£(0,1).

(1)求C的直角坐标方程，/的参数方程：

(2)直线/与曲线C交于4、8两点，求|EA|+|EB|.

23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

己知函数yu)=k+6|一依一X|(,*GR).

(1)当〃?=3时，求不等式贝x)25的解集；

(2)若不等式式x)W7对任意实数x恒成立，求机的取值范围.

高考仿真模拟卷(十四)

1.解析：选B.由题意得，A=[4,+8),B=0,3,所以([R4)nB=[o,1.

2.解析：选D.因为命题/+3—1询+1<0”等价于焉+(〃—1)即+1=。有两

个不等的实根，所以/=3—1)2—4>0,即M-2a-3>0,解得4<一1或4>3,故选D.

3.解析：选D.对于A,当0Vx<l时，Inx<0,此时alnxVblnx,故排除A；对于B,

当xVO时，axVbx,故排除B：对于C,取a=0,b=—l,则a2Vb2,故排除C；对于D,

因为对任意的x,所以恒成立，故选D.

4.解析：选D.因为bsin8—asinA=*(sinC,所以由正弦定理得，b2—a2=^ac(l),

因为△4BC的面积为2/^sinB(1—cos2A)=iz2sinB,

所以;ncsinB=cz2sinB,

贝ijc=2a,代入①得，b2=2a2,

a2+(T—b2a2+4a2—2a23

由余弦定理得，cosB=

lac4CT~4-

5.解析：选A.画出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示，当”=-2,b=0

时，z=2a-3b取得最小值一4.

6.解析：选D.由三视图可知，几何体是一个三棱柱，体积匕=与X2X2X2=4,外接球

的直径的平方47?2=22+22+22=12,R=小,所以球的体积笆=%R3=4小兀，体积比匕：匕

=4:4小兀=1:小兀.

7.解析：选A.将函数y=sin(x+看)的图象上各点的横坐标变为原来的4，

可得y=sin(2x+总的图象，再往上平移1个单位，得函数)=sin(2x+/)+1的图象.因

ITJIJI冗7五(兀、一...、行

为一所以一了《21+不忘7-,所以y=sin(2x+wj的最大值为1,最小值为一,，

故函数y=sin(2x+总+1的值域为1—坐，2.

8.解析：选B.因为区域C相邻标记1,2,3的区域，所以区域C标记4,进而区域。相

邻标记2,3,4的区域，从而推出区域。标记1,区域A相邻标记1,2,4的区域，所以区

域A标记3,区域E相邻标记2,3,4的区域，从而区域E标记1,区域下相邻标记1,3,4

的区域，从而标记2,区域B相邻标记为1,2,3的区域，所以标记4,所以只有B,C标记

为4,共占8个边长为1的正方形，面积为8,总共的区域面积为30,所以在该四色地图上随

机取一点，则恰好取在标记为4的区域的概率是4=卷.

故选B.

9.解析：选B.首先要证，没有任意两个同学的数学成绩是相同的.假设A,B两名同学

的数学成绩一样，由题知他们的语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有一个人比另一个

人高，相应地由题可知，语文成绩较高的同学比另一个同学“成绩好”，与已知条件“他们之

中没有一个比另一个成绩好”相矛盾.因此看得出，没有任意两个同学的数学成绩是相同的.因

为数学成绩等级只有3种，因而同学数量最大为3.之后要验证3名同学能否满足条件.易证3

名同学的成绩等级分别为(优秀，不合格)、(合格，合格)、(不合格，优秀)时满足条件.因此

满足条件的最多人数是3.

10.解析：选B.因为实数mb,c,d满足(b+c/一31n。尸+(c-4+2尸=0,所以b+J—

31n。=0,设6=丁，a=x,则有y=31nx—且c—d+2=0,设d=y[f则有力=由

+2,所以3—4+S—的最小值就是曲线y=3inX一/上的点到直线y=x+2的最小距离

的平方值.对曲线y=31nx—f求导得y=(—2x,易知y=31n工一x2在(0,坐j上单调递增，

在偿，+8)上单调递减，与y=x+2平行的切线的斜率2x,解得x=l或尸一/舍

去)，把尤=1代入)，=31nx—W,得即切点为(1,-1),切点到直线y=x+2的距离为

”5^^=2巾，所以(“一c)?+S—4)2的最小值为8.

11.解析：选B.因为M为双曲线上任一点，所以可取M为双曲线的右顶点，由渐近线)，

=彳知40肪7为等腰直角三角形，止匕时QM=而，|OMT"N=去，所以|0酬幽闻=水

12.解析：选B.法一：因为函数,/(x)是定义在R上的减函数，所以/(x)<0.因哈*十

X<1,所以7(x)+〃(x)>/(x),

所以正外+。-1)•/a)>o,构造函数g(x)=(x-iyu),则g，a)=/u)+(x-i»a)>o,所以

函数g(x)在R上单调递增，又g(l)=(l—1求1)=0,所以当x<l时，g(x)<0,所以/(x)>0；当

%>1时,g(x)>0,所以於)>0.因为/)是定义在R上的减函数，所以火1)>0.综上，对于任意XGR,

心)>0.

f(x)

法二：因为函数人x)是定义在R上的减函数，所以/(x)<0.当x>l时，方7丁<1一万<0,所

以人工)>0,排除A；又函数./(X)在R上单调递减，所以当xWl时，,/(x)>0,排除C、D.

13.解析：设a与的夹角为仇因为(a+b)_La,所以(a+b>a=O,即a2+ai=0,所以

。力=-3,即同|臼cos«=-3,所以cos。=而言=一一坐，因为0W8W”,所以。

5JT

=~

14.解析:

因为C是圆柱下底面弧4B的中点，

所以AQ〃BC,

所以直线AG与A。所成角等于异面直线AG与BC所成角，因为G是圆柱上底面弧AS

的中点，

所以CQ，圆柱下底面，所以CQLAO,

因为圆柱的轴截面ABB|A|是正方形，

所以CQ=gD,

所以直线AG与AD所成角的正切值为明，

所以异面直线AG与BC所成角的正切值为啦.

答案：啦

15.解析：设函数6x+m,可知其图象开口向上，对称轴是x=3,又f—6X+/MW0

\f(2)WO

的解集中有且仅有3个整数，则、

1/(1)>0

啰一6X2+mW0

即2,，

]4■—6X1+/w>0

解得5<，"W8,又〃?ez,故胆=6,7,8,所以符合条件的根的取值集合是｛6,7,8｝.

答案：｛6,7,8)

16.解析：设点P(x(),光)、M(4,加)、N(4,处)，则直线山、PB所在的直线方程分别为

'=三岩(x+2),y=j^(x-2),依题意，可求得"，川=自,

因为痂=(—所以痂.苏雪，又斗+苧所以一

3,yM),5/V=(—3,yN),=9+3=1,12

3焉=44即平押=一9,所以血•冰=0,所以MN为过。、M、N三点的圆的直径.

XQ—4

法一：设定点为E(f,0),则MN为线段的垂直平分线，又线段MN为圆的直径，令

圆心为F(4,a),可得|Ef]=|尸D],

即

4(D?+(q—0)2=y1(4-7)2+(fl_0)2,

解得r=l或7(舍)，所以定点坐标为(1,0).

法二：设定点为E(f,0),则MN为线段QE的垂直平分线，所以点E与点。关于直线x

=4对称，故定点为E(l,0).

答案：(1，0)

17.解：(1)设｛斯｝的公差为d,

因为。2=2,的+"5=8,

所以2+d+2+3d=8,

所以4=1,所以%=〃.

因为勾+i=S“+2(”eN*),①

所以b“=SLi+2(〃WN*,〃22).②

①一②得，i

hl,+]—bn—Sn—Sll-]=hn(n&N,”22),

所以b+1=2仇(〃"N*,心2).

因为匕1=2,%2=2因,

所以出"｝为等比数列，氏=2,4=2,

所以为=2".

(2)因为Q琮与,

所以7；,=1+yi+pH------1-^-4+^：

U1,2,3,n-l,n

27"=g+亍+方+2"

_1,1।__[__2+n

两式相减,

―2十于十…十2”-2,,+1—]-2,,+I'

LL1、I〃+2

所以=

Tn2-—2〃•

18.解：(1)由题意知0=0.1X0.1X100=1,^2=0.3X0.1X100=3.

因为数列｛小｝是等比数列，所以公比4=宾=3,

所以a,=a0i=3"T.

（2）由（1）,得的=9,6/4=27,所以©+42+43=13.

所以历+历+%+…+匕6=100—（67|+。2+的）=87.

因为数列｛小｝是等差数列，设公差为“，

则加+岳+A3H---卜父=6瓦+154=87,

又仇=&=27,所以d=-5.所以瓦,=32-5".

（3）因为规定视力低于5.0的学生属于近视学生，

LL2m+&+/+历+已+必+优______.缶+儿

所以P=-----------foo----------=0.91（或。=]——5-=

故估计该校新生的近视率为91%.

19.解：⑴证明：取ED的中点M连接MMAN.

又因为点〃是EC中点.

所以MN〃DC,MN=^DC.

ffijAB//DC,AB=^DC.

所以

所以四边形ABMN是平行四边形.

所以BM//AN.

ffijBM（mADEF,ANU平面4OEF,

所以BM〃平面

（2）因为M为EC的中点，

所以SA£>EM=1SAC£>E=2,

因为A£>_LCD,ADLDE,且QE与C£>相交于点O,

所以AD_L平面CDE.

因为AB〃CZ）,

所以三棱锥的高为AO=2,

所以VM-BDE=VB-DEM=1S“DEM"4。=亍

I舟型一）01

20.解：⑴证明：因为直线0尸：丫=小以及O。：>=如与圆M相切，所以=也

5+麓

化简得（看一2）后一2jc（）yoki+J-2=0,

同理（京一2）后一2ro），血+据一2=0,

所以鬲，42是方程（焉一2）必一2劭），0&+%—2=0的两个不相等的实数根，所以k\啖2=全_2,

因为点M（xo，州）在椭圆C上，所以,+1=1,即谛=3一辐

所以kik?=—2_2=—2,

（2）|。尸『+|0。『是定值，定值为9.

理由如下：

法一：①当直线。尸，OQ不落在坐标轴上时，设P（x”％）,Q（X2,>2），

s、i2I26（1+后）。TR/口2I26（1+后）

所以X]+y[=—]+21一，同理，将应+”=—]+2后一，

2,27.2I2I26（1+林）6（1+后）

由左次2=—]，得|。付十|。。|2=#+必+0+族=]+2/+]+2第

②当直线OP,OQ落在坐标轴上时，显然有QP『+|OQ『=9,综上：|0评+|00|2=9.

法二：①当直线OP,OQ不落在坐标轴上时，设P（xi，%）,<2（X2>”），因为A府=一看

所以）彳）专=彳立历，因为尸（X[,yi）»Q（X2>）>2）在椭圆C上,

所以（3—5；）（3-59=$潺，整理得3+卷=6,

所以才+）4=（3_葡+（3_匏=3,

所以|0评+|0。/=9.

②当直线。P,。。落在坐标轴上时，显然有|OP『+|OQ/=9.

综上：|OP『+QQ|2=9

21.解：⑴由已知得/（x）=；,

所以7（1）=1=%,a=2.

又因为g(l)=O=£a+b,所以力=-1,

所以g(x)=x—l.

r-i、im(x—1)~m(x—1).,।口、i一皿

(2)因为9。)=—用一~/U)=—用一一In%在［1,+8)上是减函数，

—~I-(2777—2)x-1

所以“(亢)=——X(工+1);——〈°在［1，+8)上恒成立(等号不恒成立),

即f一(2机-2)工+120在［1,+8)上恒成立，

则2"i-2Wx+:，xG［l,+8).

因为x+：W［2,+8),

所以2机一2W2,mW2.

(3)证明：由(1)可得：当xN2时，lnx<r—1W全无-1),

所以由lnx<^x(x—1),

徨21

复(x-1)

当x=2时,2X6一外看

当x=3时,2X0—；)*,

当x=4时，2x(；-和备,

当尸〃+1时，21一*)“J+l)，〃eN*,42.

上述不等式相加得：2(1—