2021年高考数学模拟训练卷 (八十九)(含答案解析)

2021年高考数学模拟训练卷(89)

一、单项选择题(本大题共12小题，共60.()分)

1.己知集合4={1,2,3,4},B={y\y=3x-5,xeA],则4CB=()

A.{1,2}B.{1,4}C.{2,4}D.{3,4}

2.i是虚数单位，复数羔=()

A.—IB.，C.----ID.--+-1

3,已知p：VxG/?,%2—%4-1>0,q：3%G(0,4-oo),sinx>1,则下列命题为真命题的是()

A.pAqB."VqC.pVhD.-pA-ij

4.等比数列{&J中，若%=3,%=75,则g=()

A.15B.±15C.39D.竽

5.若函数/(x)的定义域为R,其导函数为1(x).若f'(x)-3<0恒成立,/(一2)=0,则/(X)-3x<6

解集为()

A.(—8,—2)B.(—2,2)C.(-8,2)D.(―2,+8)

6.若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数〃和b,则方程x=2岳-F有不等实数根

的概率为()

B.；D.|

7.x(x+3)5展开式中久3项的系数是()

A.270B,180C.90D.45

8.已知曲线G：y=sinx,C2：y-cos(2%则下面结论正确的是()

A.把G上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移W个单位长

度，得到曲线C2

B.把Q上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移与个单位长

度，得到曲线C2

C.把Q上各点的横坐标缩短到原来的:倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移盘个单位长

度，得到曲线

D.把Ci上各点的横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移卷个单位长

度，得到曲线

9.一个物体的三视图如图所示，则该物体形状的名称为（）

正（主）视图侧（左）视图

俯视图

A.三棱柱B.四棱柱C.圆柱D.圆锥

10.如图是一个算法的流程图，若输入x的值为4,则输出y的值是（）

A.—3

B.-2

C.-1

D.0

11.已知过定点P（2,0）的直线/与曲线y=75二三正相交于4,8两点,。为坐标原点，当4408=1时,

直线/的倾斜角为（）

A.150°B,135°C.120°D.不存在

12.已知函数/(x)=+a/+bx在x=-1.时取得极大值%则ab=()

A.-15B.15C.-3D.3

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.设某总体是由编号为001,002,199,200的200个个体组成的，利用下面的随机数表依次

选取三个数字(每三个数字为一个编号)，则选出来的第5个个体的编号为.

1818079245441716580979838619

6206765003105523640505266238

2%—y+2N0

14.若实数x,y满足约束条件x+2y-2W0,则2=》一、的最大值是.

y+2>0

15.已知向量区不满足|2为+3方|=1，则五•石最大值为.____.

16.已知三棱锥P-ABC的底面是边长为3的正三角形，底面48C,且PA=2,则该三棱锥的

外接球的体积是.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.已知等差数列｛an｝中，公差dRO,57=35,且a2,。5,成等比数列.

(1)求数列包工的通项公式；

(2)求数列｛y^—｝的前n项和

anan+l

18.2018年1月26日，甘肃省人民政府办公厅发布《甘肃省关于餐饮业质量安全提升工程的实施意

见》，卫生部对16所大学食堂的“进货渠道合格性”和“食品安全”进行量化评估.满10分

者为“安全食堂”，评分7分以下的为“待改革食堂”.评分在4分以下考虑为“取缔食堂”，

所有大学食堂的评分在7〜10分之间，以下表格记录了它们的评分情况：

分数段[0,7)亿8)[8,9)[9,10]

食堂个数1384

(1)现从16所大学食堂中随机抽取3个，求至多有1个评分不低于9分的概率；

(2)以这16所大学食堂评分数据估计大学食堂的经营性质，若从全国的大学食堂任选3个，记X

表示抽到评分不低于9分的食堂个数，求X的分布列及数学期望.

19.如图，在四棱锥P—ABC。中，底面ABC。为菱形，/.BAD=60°,^APD=90°,且2D=PB.

(I)求证：平面PAOJ_平面ABCD；

(II)若AO1.PB,求二面角。-PB-C的余弦值.

20.已知椭圆CW+3=l(a>b>0)经过点E(遮,1)，离心率为争O为坐标原点.

(I)求椭圆C的方程；

(II)若点尸为椭圆C上一动点，点4(3,0)与点P的垂直平分线交y轴于点B,求|OB|的最小值.

21.已知函数/0)=：》+(1-(1)一等，其中aeR.

(1)试讨论函数F(x)=的单调性；

(2)若a6Z,且函数/(x)有两个零点，求。的最小值.

22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为11=、'加以为参数，。e[0,用)，以原

Iy二一siikk

点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线1的极坐标方程为\/*psiu0-7)6.

(1)求曲线C的普通方程和直线/的直角坐标方程；

(2)已知4(一6,0),B(0,6),点M是曲线C上一动点，求A/IBM面积的最小值.

23.已知/(z)=|_r+l-ar-1|.

(1)当a=l时，求不等式/'(x)>1的解集；

(2)若xG(0,1)时不等式/(x)>x成立，求a的取值范围.

【答案与解析】

1.答案：B

解析：

本题主要考查了集合的交集，属于基础题.

化简集合B,根据交集的概念直接求即可.

解：集合4={1,2,3,4},

B=[y\y=3x—5,xEA}={-2,1,4,7},

则AClB={1,4}.

故选B.

2.答案：A

解析：

直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值.

本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题.

5-2.=(5-20(2-50=Z29i=_i

E*2+5i(2+5i)(2-5l)29,

故选：A.

3.答案：C

解析：

分别判断出P，9的真假，从而判断出其复合命题的真假即可.

本题考查了二次函数、三角函数的性质，考查复合命题的判断，是一道基础题.

解：关于P：VxGR,%2—x+l=Q—成立，

故命题P是真命题，

关于4：3%E(0,4-co),sinx>1,

vVxG(0,+8),sinx<1,

故命题4是假命题，

故pV是真命题，

故选：c.

4.答案：A

解析：解：设等比数列｛an｝的公比为g,

***a1=3,=75,

75=3q3

解得q2=5.

则(13=3q2=15.

故选：A.

利用等比数列的通项公式即可得出.

本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

5.答案：D

解析：解：令g(x)=f(x)-3x,

故g'(x)=f'(x)-3<0,

故g(x)在R递减，

而g(-2)=/(-2)=6,

故/(x)-3x<6,

即g(x)<g(-2)，

故x>-2,

故选：D.

令g(x)=/(x)-3x,求出函数的导数，根据函数的单调性求出不等式的解集即可.

本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题.

6.答案：B

解析：解：•.•方程x=2面-空有不等实数根

X

，方程/-2\[2ax+2b=0有不等实数根

•••△=8a-8b>0

••a>b

如图所示，方程％=-辿有不等实数根的概率为也=工

x1X12

故选B.

先根据方程x=2后-弓有不等实数根，确定a>b,再根据在区间(0,1)上产生两个不等的随机数

和从以面积为测度，即可求得概率.

本题考查几何概型，确定以面积为测度，正确计算面积是解题的关键.

7.答案：A

解析：解：•••x(x+37=双炉+15x4+90/+270x2+405%+243),

.•・展开式中/项的系数为270,

故选:A.

把(X+3)5按照二项式定理展开，可得X(X+3)5展开式中/项的系数.

本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题.

8.答案：C

解析：解：已知曲线G：y=sinx=cos(xC2：y=cos(2x-^),

•••把Ci上各点的横坐标缩短到原来的:倍，纵坐标不变，可得y=cos(2x-今的图象，

再把得到的曲线向左平移雪个单位长度，得到曲线C2：郎3+合力=3(2”一9的图象，

故选：C.

由题意利用诱导公式、函数y=4sin(3x+w)的图象变换规律，得出结论.

本题主要考查函数y=Asin(：a)x+(p)的图象变换规律，属于基础题.

9.答案：B

解析：

本题考查几何体的三视图，属于基础题.

由几何体特征即可求解.

解：由几何体的三视图可知该几何体为四棱柱.

故选民

10.答案：B

解析：

本题考查循环结构的程序框图的应用，考查学生的计算能力，属于基础题.

利用循环结构，直到条件满足退出，即可得到结论.

解：模拟程序的运行，可得

%=4,y=1,

不满足条件|y-x|<1，执行循环体，x=2,y=0；

不满足条件|y-x|<1,执行循环体，x=0,y=-1；

不满足条件|y-x|<1,执行循环体，x=-2,y=-2；

满足条件仅-刈<1,退出循环，输出y的值为-2.

故选：B.

11.答案：A

解析：解：曲线y=中，表示的图形是以原点为圆心半径为或的上半个圆，

过定点P(2,0)的直线/设为：y=fc(x-2)fc<0即kx-y-2k=0.

SAAOB=1-

.-.ixV2xV2sinz/10B=l,

可得"OB=90°,

三角形AOB是等腰直角三角形，原点到直线的距离为：1.

,1=

解得k—+—>vk<0.■■k=——，

~33

.♦.直线的倾斜角为150。.

故选：A.

判断曲线的形状，利用三角形的面积求出N40B,推出原点到直线的距离,建立方程求出直线的斜率,

然后求解倾斜角.

本题考查直线与曲线的位置关系的应用，点到直线的距离公式，考查转化思想以及计算能力.

12.答案：D

解析：

本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用，是一道基础题.

求出函数的导数，根据/(X)在X=-1时取得极大值|,得到关于“，6的方程组，解出即可.

解：/(X)=打3+ax2+bx,

・•・f'(x)=x2+2ax+b,

若/(%)在％=-1时取极大值，

则广(-1)=1-2a+b=0,且/'(―1)=—：+a-b=|,

解得：a=—1,b=-3,

故ab=3,

故选。.

13.答案:031

解析：

本题主要考查随机数表，属于基础题.

根据随机数表写出前5个编号，即可得到结论.

解：从随机数表由左到右依次选取三个数字小于200的编号依次为：181,171,097,067,031,则

第5个个体的编号为031.

故答案为031.

14.答案：8

2%—y+2=0

解析：解：画出约束条件％+2>-2=0表示的平面区域如图所示,

y+2>0

由图形知，当目标函数z=x-y过点A时取得最大值,

由｛雷1°2=0,解得g-2),

代入计算z=6-(-2)=8,

所以z=x-y的最大值为8.

故答案为：8.

画出约束条件表示的平面区域，利用图形求出最优解，计算目标函数的最大值.

本题考查了简单的线性规划应用问题，是基础题.

15.答案：5

24

解析：

本题考查了数量积运算及其性质，属于基础题.

利用1.b=绝迹_竺迪即可得出.

2424

解：由2之+3q=1,

-7*(2a+3b)2(2a-3d)21(2a-3b)2,1

••CL•u-------------------------------------------S-，

2424242424

当且仅当2五=3j且|方|=；时，上式等号成立.

•••a・方最大值为

24

故答案为A.

24

327r

16.答案:

解析：

本题考查多面体与球的组合体，属于中档题.

先确定球心的位置，利用三棱锥的性质求得球的半径即可.

解：根据已知底面△ABC是边长为3的正三角形，匕1，底面可得此三棱锥外接球，即为以

△ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球，

由于AZBC是边长为3的正三角形，故其外接圆半径r=6,球心到的外接圆圆心的距离d=1,

故球的半径R==2,故三棱锥P-4BC外接球的表面积V3.

,19TT

故答案为：;‘.

17.答案：解：（1）由题意可得（由+4d/=（%+d）（a1+10d）,即的=2d或d=0（舍去），

•・•s7=7al+~~d=35,

：•d=1,a1=2,

••・Qn=九+1

(2)van=n+1,

.1_1_1_____i

anan+1(n+l)(n+2)n+1n+2'

1_11,11,11_11

..y=十十•••—十———十•••

nQ2a3anan+i2334n+1n+22n+2

T----------(jiEN*).

n2n+2l)

解析：本题考查了等差数列、等比数列的性质和裂项相消法求和，是中档题.

(1)由题意可得(%+4d)2=(%+《(%+10d),即为=2d或d=0(舍去)，得出%和4,从而得出

结果；

(2)由an=n+l,得就==扁诉=去一+，运用裂项相消求和即可得出结果•

18.答案：解：(1)设4表示所抽取3个中有i所大学食堂评分不低于9分,

至多有1个评分不低于9分记为事件4

则PQ4)=P(a)+P(A)=鲁+警=鲁；

C16C16

(2)由表格数据知，从16所大学食堂任选1个评分不低于9分的概率为

P=—=~,

164

由题知X的可能取值为0,1,2,3.

P(X=0)=(V=g,P(X=1)=C照)】弓)2=g,

P(X=2)=废铲©】=3P(X=3)=(丁=

・•・X的分布列为:

X0123

272791

P

64646464

数学期望为E(X)=lx|^+2xV+3x*=0.75.

解析：本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题.

(1)根据题意，利用概率的求和公式，计算所求的概率值；

(2)由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，再计算数学期望值.

19.答案：解：(I)证明：取AD的中点。，连接OP,OB,BD,

p

因为底面ABCD为菱形，/.BAD=60°,

所以40=4B=BD.

因为。为A£＞的中点，所以0BJ.40.

在△力PD中，/-APD=90°,。为AO的中点，

所以p。=^AD=AO

设4D—PB—2a,贝UOB=V3a，PO—OA-a.

22

因为PM+OB=a+3a2=4a2=PB2f

所以OP1OB.

因为OPnA。=0,OPu平面PAO,ADc^jSlPAD,

所以OB1平面PAD.

因为OBu平面ABCD,所以平面PAD1平面ABCD.

（口）因为40_LPB，AD1OB,OBCPB=B,

PBu平面POB,OBu平面POB,

所以4D，平面POB.

所以P。_LAD.

由(I)得P。1OB,AD1OB,

所以OA,OB,OP所在的直线两两互相垂直.

以O为坐标原点，分别以OB,OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标

系.

设4。=2,则4(1,0,0),D(-l,0,0),B(0,V3,0),P(0,0,1).

所以而=(-1,0,—1)，PB=(0,V3,-l)>BC=AD=(-2,0,0)，

设平面尸8。的法向量为记=(xlly1,z1),

则[亢,色=一/一Zi=0,

[n-PB='/3y1—z1=0,

令yi=1,则X]=-V3>zx=V3>

所以元=(_百,1,遮)

设平面PBC的法向量为沅=(x2,y2,z2),

则(m-'BC=-2X2=0,

Im-丽=75y2-Z2=0,

令丫2—1,则型=0，Z2=百，

所以记=(0,1,回

设二面角。一PB—C的平面角为。，由于。为锐角,

所以cos。=|cos<zn,n>|=

所以二面角D—PB—C的余弦值为绝.

7

解析：

本题考查空间直线与平面间的垂直关系、利用空间向量法求二面角，考查考生的逻辑推理能力、空

间想象能力、转化能力、运算求解能力以及方程思想.

（1）取4。的中点。，连接。尸，OB,BD,由菱形的性质与勾股定理推出0B140,OP10B,从而

由线面垂直与面面垂直的判定定理可使问题得证；

（H）以0为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面P8C的法向量，从而利用空间向

量的夹角公式求解；也可作出二面角0—PB—C的平面角，利用平面几何知识求解.

20.答案：解：（1）离心率为£=虫，二。2=；12,故/=；a2,

a33（3

椭圆。为a+蚩=1,

把点E（遮,1）代入得M=6,b2=2,

所以椭圆C的方程为。+==1.…（5分）

（H）由题意，直线/的斜率存在，设点P（Xo，yo）（M）力0），

则线段AP的中点。的坐标为（竽,T）,且直线AP的斜率膜p=5、，…（7分）

由点4（3,0）关于直线/的对称点为P,得直线114P,

故直线/的斜率为一户=手，且过点。，

kAPVo

所以直线/的方程为：丫一孩=赞。一罟），...（9分）

令X=O,得y=q土,则B（0,逋上），

由我+4=1,得诏=6-3%，化简,得8(0,—二分)

62zy()

所以|OB|=|誓="I+亮=2J|y°|.亮=心….(13分)

当且仅当仇I=就，即y0=土曰€[—近，回时等号成立.

所以|OB|的最小值为后....(14分)

解析：(1)离心率为£=渔，可得c2="2,故b2=*2,椭圆C为捻+卷=1,把点E(VU)代入

椭圆方程，解出即可得出.

(H)由题意，直线/的斜率存在，设点P(x°,yo)(yo40)，利用中点坐标公式可得：线段AP的中点。

坐标，由点4(3,0)关于直线/的对称点为P,得直线/14P,可得直线/的斜率为一京=舞，利用

直线/的方程可得8,又或+羽=1,得密=6-3%,可得|OB|,利用基本不等式的性质即可得出.

62

本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率

之间的关系、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题.

21.答案：解：(l)F(x)=x/(x)=|x2+(1-a)x-alnx(x>0),则F'(x)=%+(1-a)-2=

(x+l)(x-a)

X»

当aWO时，Fz(x)>0,所以函数FQ)在(0,+8)上单调递增；

当a>0时，若xe(0,a),则F'(x)<0,若xC(a,+8),则F<x)>0

所以函数尸(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+8)上单调递增；

综上可知，当a<0时，函数F(x)在(0.+8)上单调递增；

当a>0时，函数F(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+8)上单调递增；

(2)函数f(x)有两个零点等价于F(x)=|x2+(1-a)x-alnx(x>0)有两个零点.

由(1)可知，当a<0时，,函数尸(x)在(0.，》)上单调递增,F(x)最多一,个零点，不符合题意.所以a>0,

又当a>0时，函数F(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+8)上单调递增；

所从尸=a-|a2-a/a.要使F(x)有两个零点.，则有F(x)min=«­|«2-alna<0。

设h(x)=1-gx->0),则〃(x)=-1一:<0,所以函数/i(x)在(0,+8)上单调递减.

又九(1)>0,h(2)<0所以存在与€(1,2),当4>沏时,九。)<0.即存在殉W(1,2),当a>x0时,

Ka)<0即尸

又因为aGZ,所以a的最小值等于2.此时，当％0时，F(x)->+00,当x=e2B'j'.FCe2)=|e4-e2—

4>0,

F(x)有两个零点.故a的最小值等于2.

解析：本题主要考查了利用导数判断函数的单调性以及函数零点的问题，属于难题.

(1)先求解函数