2023年山东省聊城市冠县中考数学二模试卷（含解析）

2023年山东省聊城市冠县中考数学二模试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分，每小题有且仅有一个答案）1．对于一个实数a，如果它的倒数不存在，那么a等于（）A．﹣1 B．1 C．2 D．02．下面几何图形的俯视图是（）A． B． C． D．3．下列式子运算正确的是（）A．33+32＝35 B．（﹣a2）3＝﹣a6 C．（﹣a2b）2＝﹣a3b2 D．（﹣2）﹣2＝44．下列事件中，属于确定事件的是（）①抛出的篮球会下落；②从装有黑球、白球的袋中摸出红球；③14人中至少有2人是同月出生；④买一张彩票，中1000万大奖．A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④5．如图，直线l1∥l2，AB⊥CD，∠2＝68°，那么∠1的度数是（）A．68° B．58° C．22° D．32°6．如图，一块等腰直角三角板，它的斜边BC＝6cm，内部△DEF的各边与△ABC的各边分别平行，且它的斜边EF＝4cm，则△DEF的面积与阴影部分的面积比为（）A．2：3 B．4：9 C．4：5 D．2：57．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠B＝70°，则∠OCB等于（）​A．40° B．50° C．60° D．65°8．已知等腰△ABC的边是方程x2﹣7x+10＝0的根，则△ABC的周长为（）A．9 B．9或12 C．6或15 D．6或12或159．如图，在正方形ABCD中，按如下步骤作图：①连接AC，BD相交于A点O；②分别以点B，C为圆心、大于的长为半径画弧，两弧相交于点E；③连接OE交BC于点F；④连接AF交BO于点G．若，则OG的长度为（）A．1 B．2 C． D．10．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：OB＝1：3，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于点P．若P（1，1），则tan∠ACO的值是（）A． B．3 C． D．211．如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A、B两点，下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是（）A．①②③ B．①④⑤ C．①③⑤ D．①④12．课本中有这样一句话：“利用勾股定理，可以作出，，…的线段（如图）”．记△OAA1，△OA1A2，…，△OAn﹣1An的内切圆的半径分别为r1，r2，…，rn，若r1+r2+…+rn＝10，则n的值是（）A．24 B．25 C．26 D．27二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）13．二次根式中，字母x的取值范围是．14．从0，，，﹣7，五个数中随机抽取一个数，则抽出的数是有理数的概率为．15．一个扇形的弧长是10π，其圆心角是150°，此扇形的面积为．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若AC＝6，AB＝10，则CD的长为．17．如图，点A，B是半径为2的⊙O上的两点，且，则下列说法正确的是．​①圆心O到AB的距离为1．②在圆上取异于A，B的一点C，则△ABC面积的最大值为．③以AB为边向上作正方形，与⊙O的公共部分的面积为．④取AB的中点C，当AB绕点O旋转一周时，点C运动的路线长为2π．三、解答题（共8小题，满分69分）18．解方程：x（x﹣6）＝6．19．为庆祝党的二十大胜利召开，某学校开展了一系列学习党史的活动，并开展了党史相关的知识测试．为了解七、八年级学生的测试成绩，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．【收集数据】：从七、八两个年级各随机抽取了20名学生的测试成绩（百分制）如下：七年级：73，82，75，89，93，96，76，84，85，85，90，90，98，77，65，90，87，90，95，98；八年级；67，88，92，93，99，83，80，75，72，91，92，92，95，94，85，85，92，69，88，96；[整理、描述数据]：对上述数据进行分段整理如下：成绩x人数年级60≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100七年级1469八年级22610【分析数据】：两个年级测试成绩的平均数、中位数、众数如下：平均数中位数众数七年级85.9a90八年级86.489.5b根据以上信息，回答下列问题：（1）a＝，b＝．（2）小明是该校八年级的学生，他本次测试成绩为87分，小明说：“因为我的成绩高于我们年级的平均数．所以我的成绩高于我们年级一半学生的成绩．“请你判断小明的话是否正确，并说明理由．（3）若测试成绩不少于90分记为优秀，请你估计七年级学生本次测试成绩的优秀率，并给七年级的老师提出一条建议．20．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，AC，BD交于点O，过点B作BE∥CD交AC于点E，连结DE．（1）求证：四边形BCDE为菱形．（2）若AB＝5，E为AC的中点，当四边形BCDE为正方形时，求BC的长．21．如图，是某时刻太阳光线，光线与地面的夹角为45°．小星身高1.6米．（1）若小星正站在水平地面上A处时，那么他的影长为多少米？（2）若小星来到一个倾斜角为30°的坡面底端B处，当他在坡面上至少前进多少米时，他的影子恰好都落在坡面上？22．我县在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元．（1）求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？（2）考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗要多于B种树苗，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，哪种方案最省钱？最少费用是多少？23．为预防流感，学校对教室采取药熏法消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例函数关系，药物燃烧完后，y与x成反比例函数关系（如图示）．现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6毫克．研究表明：①当空气中每立方米含药量低于1.6毫克时学生方可进教室；②当空气中每立方米含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．依据信息，解决下列问题：（1）从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？（2）你认为此次消毒是否有效？并说明理由．24．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD和过点C的直线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E，且AC平分∠DAB．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）连接BC，若BC＝3，AC＝4，求AE的长．25．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c图象的对称轴与x轴交于点A（1，0），图象与y轴交于点B（0，3），C、D为该二次函数图象上的两个动点（点C在点D的左侧），且∠CAD＝90°．（1）求该二次函数的表达式；（2）若点C与点B重合，求tan∠CDA的值；（3）点C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分，每小题有且仅有一个答案）1．对于一个实数a，如果它的倒数不存在，那么a等于（）A．﹣1 B．1 C．2 D．0【分析】根据0没有倒数即可求解．解：对于一个实数a，如果它的倒数不存在，那么a等于0．故选：D．【点评】本题考查了实数的性质，倒数，关键是掌握0没有倒数的知识点．2．下面几何图形的俯视图是（）A． B． C． D．【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．解：该几何体的俯视图如图所示：．故选：B．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．3．下列式子运算正确的是（）A．33+32＝35 B．（﹣a2）3＝﹣a6 C．（﹣a2b）2＝﹣a3b2 D．（﹣2）﹣2＝4【分析】根据合并同类项判断A选项；根据幂的乘方和积的乘方判断B选项；根据积的乘方判断C选项；根据负整数指数幂判断D选项．解：A选项，32+33＝9+27＝36≠35，故该选项不符合题意；B选项，原式＝﹣a6，故该选项符合题意；C选项，原式＝a4b2，故该选项不符合题意；D选项，原式＝，故该选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了合并同类项，幂的乘方和积的乘方，负整数指数幂，掌握a﹣p＝（a≠0）是解题的关键．4．下列事件中，属于确定事件的是（）①抛出的篮球会下落；②从装有黑球、白球的袋中摸出红球；③14人中至少有2人是同月出生；④买一张彩票，中1000万大奖．A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．解：①抛出的篮球会下落，是必然事件，属于确定事件；②从装有黑球、白球的袋中摸出红球，是不可能事件，属于确定事件；③14人中至少有2人是同月出生，是必然事件，属于确定事件；④买一张彩票，中1000万大奖，是随机事件；属于确定事件的是①②③，故选：C．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．5．如图，直线l1∥l2，AB⊥CD，∠2＝68°，那么∠1的度数是（）A．68° B．58° C．22° D．32°【分析】由两直线平行同位角相等得到∠2＝∠3，再由AB与CD垂直，利用垂直的定义得到∠BMC为直角，得到∠1与∠3互余，由∠3的度数求出∠1的度数．解：∵直线l1∥l2，∴∠2＝∠3＝68°，∵AB⊥CD，∴∠CMB＝90°，∴∠1+∠3＝90°，又∠3＝68°，∴∠1＝22°，故选：C．【点评】此题考查了平行线的性质，平行线的性质有：两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补．6．如图，一块等腰直角三角板，它的斜边BC＝6cm，内部△DEF的各边与△ABC的各边分别平行，且它的斜边EF＝4cm，则△DEF的面积与阴影部分的面积比为（）A．2：3 B．4：9 C．4：5 D．2：5【分析】发布期间两个等腰直角三角形端点面积，可得结论．解：∵△ABC，△DEF是等腰直角三角形，BC＝6cm，EF＝4cm，∠A＝∠D＝90°，∴AB＝AC＝BC＝3（cm），DE＝DF＝EF＝2（cm），∴△ABC的面积＝×3×3＝9（cm2），△DEF的面积＝×2×2＝4（cm2），∴阴影部分的面积＝9﹣4＝5（cm2），∴△DEF的面积与阴影部分的面积比为4：5．故选：C．【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握等腰直角三角形的性质，属于中考常考题型．7．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠B＝70°，则∠OCB等于（）​A．40° B．50° C．60° D．65°【分析】连接OB，先利用等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝70°，从而利用三角形内角和定理可得∠A＝40°，然后再利用圆周角定理可得∠BOC＝2∠A＝80°，最后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，进行计算即可解答．解：连接OB，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝40°，∴∠BOC＝2∠A＝80°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣∠BOC）＝50°，故选：B．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．8．已知等腰△ABC的边是方程x2﹣7x+10＝0的根，则△ABC的周长为（）A．9 B．9或12 C．6或15 D．6或12或15【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝5，x2＝2，根据等腰三角形的性质，等腰△ABC的三边长可以为5、5、2或5、5、5或2、2、2，然后分别计算对应的△ABC的周长．解：x2﹣7x+10＝0，（x﹣5）（x﹣2）＝0，x﹣5＝0或x﹣2＝0，所以x1＝5，x2＝2，当等腰△ABC的边长分别为5、5、2时，△ABC的周长为5+5+2＝12；当等腰△ABC的边长分别为5、5、5时，△ABC的周长为5+5+5＝15；当等腰△ABC的边长分别为2、2、2时，△ABC的周长为2+2+2＝6，综上所述，△ABC的周长为6或12或15．故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系和等腰三角形的性质．9．如图，在正方形ABCD中，按如下步骤作图：①连接AC，BD相交于A点O；②分别以点B，C为圆心、大于的长为半径画弧，两弧相交于点E；③连接OE交BC于点F；④连接AF交BO于点G．若，则OG的长度为（）A．1 B．2 C． D．【分析】证明OF∥AB，OF＝AB，求出OB，可得结论．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD＝4，∠BAD＝90°，OA＝OC＝OB＝OD，∴BD＝＝＝8，∴OB＝OD＝4，由作图可知OE垂直平分线段BC，∴BF＝CF，∴OC＝OA，∴OF∥AB，FO＝AB，∴＝＝，∴OG＝OB＝．故选：C．【点评】本题考查正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．10．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：OB＝1：3，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于点P．若P（1，1），则tan∠ACO的值是（）A． B．3 C． D．2【分析】根据OP∥AB，证明出△OCP∽△BCA，结合OC：OB＝1：3得到CP：AC＝OC：BC＝1：2，过点P作PQ⊥x轴于点Q，根据∠AOC＝∠AQP＝90°，得到CO∥PQ，根据平行线分线段成比例定理得到OQ：AO＝CP：AC＝1：2，根据P（1，1），得到PQ＝OQ＝1，得到AO＝2，则可求得AQ＝3，根据正切的定义即可得到tan∠APQ的值，从而可求tan∠ACO的值．解：∵OP∥AB，∴△OCP∽△BCA，∴，∵OC：OB＝1：3，∴，∴，过点P作PQ⊥x轴于点Q，如图，∴∠AOC＝∠AQP＝90°，∴CO∥PQ，∴OQ：AO＝CP：AC＝1：2，∠ACO＝∠APQ，∵P（1，1），∴PQ＝OQ＝1，∴AO＝2OQ＝2，∴AQ＝3，∴tan∠APQ＝＝3，∴tan∠ACO＝tan∠APQ＝3．故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形，坐标与图形，根据平行线分线段成比例定理得到OQ：AO＝CP：AC＝1：2是解题的关键．11．如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A、B两点，下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是（）A．①②③ B．①④⑤ C．①③⑤ D．①④【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可．解：①∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故①正确；②∵抛物线开口向下，与y轴相交于正半轴，∴a＜0，c＞0，∴b＝﹣2a＞0，∴abc＜0，故②错误；③∵抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点B（4，0），∴另一个交点坐标为（﹣2，0），故③错误；④从图象可以知道，抛物线顶点为（1，3），∴抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y＝3有且只有一个交点，∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，故④正确；⑤由图象可知，当1＜x＜4时，y1＞y2，故⑤正确；故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系等知识，解答关键是数形结合．12．课本中有这样一句话：“利用勾股定理，可以作出，，…的线段（如图）”．记△OAA1，△OA1A2，…，△OAn﹣1An的内切圆的半径分别为r1，r2，…，rn，若r1+r2+…+rn＝10，则n的值是（）A．24 B．25 C．26 D．27【分析】设△OAA1，△OA1A2，…，△OAn﹣1An的内切圆圆心分别为O1，O2，…，设圆O1与△OAA1的三边相切于点B，C，D，四边形ABOC是正方形，然后利用切线长定理列式计算得r1＝，同理在△OA1A2中，四边形A1EO2F是正方形，求出r2＝，得到规律得r3＝，r4＝，...，rn＝，进而利用一元二次方程求解即可解决问题．解：如图，设△OAA1，△OA1A2，…，△OAn﹣1An的内切圆圆心分别为O1，O2，…，设圆O1与△OAA1的三边相切于点B，C，D，∴∠ABO＝∠ACO＝90°，由题意“利用勾股定理，可以作出，∴∠A＝90°，∴∠A＝∠ABO＝∠ACO＝90°，∴四边形ABOC是正方形，∴AB＝AC＝OB＝r1，∴AB＝AC＝1﹣r1，A1C＝A1D＝1﹣r1，∵OA1＝，∴1﹣r1+1﹣r1＝，∴r1＝，同理在△OA1A2中，四边形A1EO2F是正方形，∴A2G＝A2F＝1﹣r2，OG＝OE＝﹣r2，∵OA2＝，∴1﹣r2+﹣r2＝，∴r2＝，同理r3＝，r4＝，...，rn＝，∴r1+r2+…+rn＝++++，...，+＝10，∴＝10，∴n+1﹣＝20，∴n﹣19＝，∴（n﹣19）2＝n+1，整理得：n2﹣39n+360＝0，∴n1＝15，n2＝24，当n＝15时，代入n﹣19＝，不成立，舍去，∴n＝24．故选：A．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，规律型：图形的变化类，勾股定理，一元二次方程，解题的关键是寻找规律．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）13．二次根式中，字母x的取值范围是x≥．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．解：根据题意，得2x﹣1≥0，解得．故答案为：．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．14．从0，，，﹣7，五个数中随机抽取一个数，则抽出的数是有理数的概率为．【分析】先找出有理数的个数，再根据概率公式即可得出答案．解：在0，，，﹣7，这五个数中，有理数有0，，﹣7这3个，∴抽出的数是有理数的概率为．故答案为：．【点评】此题主要考查了概率公式，正确得出有理数的个数是解题关键．15．一个扇形的弧长是10π，其圆心角是150°，此扇形的面积为60π．【分析】先根据题意可算出扇形的半径，再根据扇形面积公式即可得出答案．解：根据题意可得，设扇形的半径为r，则l＝，即10π＝，解得：r＝12，∴S＝＝＝60π．故答案为：60π．【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算方法进行求解是解决本题的关键．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若AC＝6，AB＝10，则CD的长为3．【分析】利用基本作图得到AP平分∠BAC，根据角平分线的性质得到点D到AC和AB的距离相等，则利用三角形面积公式得到∴S△ACD：S△ABD＝AC：AB＝3：5，而S△ACD：S△ABD＝CD：BD，所以CD：BD＝3：5，然后利用勾股定理计算出BC，从而得到CD的长．解：由作法得AP平分∠BAC，∴点D到AC和AB的距离相等，∴S△ACD：S△ABD＝AC：AB＝6：10＝3：5，∵S△ACD：S△ABD＝CD：BD，∴CD：BD＝3：5，∵∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，∴BC＝＝8，∴CD＝×8＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和勾股定理．17．如图，点A，B是半径为2的⊙O上的两点，且，则下列说法正确的是①③④．​①圆心O到AB的距离为1．②在圆上取异于A，B的一点C，则△ABC面积的最大值为．③以AB为边向上作正方形，与⊙O的公共部分的面积为．④取AB的中点C，当AB绕点O旋转一周时，点C运动的路线长为2π．【分析】由垂径定理，勾股定理求出OH＝1，延长HO交圆于C，即可求出△ABC的最大面积，当AB绕点O旋转一周时，点C运动的路线是以O为圆心半径是1的圆，即可求出C运动的路线长，以AB为边向上作正方形，与⊙O的公共部分的面积＝扇形OPQ的面积+△OAB的面积×3，于是可以得到答案．解：如图①，OH⊥AB于H，∴AH＝AB＝×2＝，∵OA＝2，∴OH＝＝1，故①正确，符合题意；如图①延长HO交圆于C，此时△ABC的面积最大，∵CH＝OC+OH＝2+1＝3，AB＝2，∴△ABC的面积＝AB•CH＝3，故②错误，不符合题意；如图②四边形ABNM是正方形，连接AQ，PB，作OK⊥AB于K，∴△OAB的面积＝AB•OK＝×2×1＝，∵OP＝OQ＝OA＝OB，∴△OAP的面积＝△OAB的面积＝△OBQ的面积＝，∵∠POQ＝120°，∴扇形OPQ的面积＝＝π，∴以AB为边向上作正方形，与⊙O的公共部分的面积＝扇形OPQ的面积+△OAB的面积×3＝3+，故③正确，符合题意；取AB的中点C，连接OC，OA，OB，∵OA＝OB，∴OC⊥AB，∴OC＝＝＝1，∴当AB绕点O旋转一周时，点C运动的路线是以O为圆心半径是1的圆，∴C运动的路线长是2π×1＝2π，故④正确，符合题意；故答案为：①③④．【点评】本题考查扇形面积的计算，三角形面积的计算，垂径定理，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．三、解答题（共8小题，满分69分）18．解方程：x（x﹣6）＝6．【分析】根据单项式乘多项式的运算法则把原方程变形，利用配方法解出方程．解：原方程变形为：x2﹣6x＝6，则x2﹣6x+9＝6+9，即（x﹣3）2＝15，∴x﹣3＝±，∴x1＝3+，x2＝3﹣．【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．19．为庆祝党的二十大胜利召开，某学校开展了一系列学习党史的活动，并开展了党史相关的知识测试．为了解七、八年级学生的测试成绩，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．【收集数据】：从七、八两个年级各随机抽取了20名学生的测试成绩（百分制）如下：七年级：73，82，75，89，93，96，76，84，85，85，90，90，98，77，65，90，87，90，95，98；八年级；67，88，92，93，99，83，80，75，72，91，92，92，95，94，85，85，92，69，88，96；[整理、描述数据]：对上述数据进行分段整理如下：成绩x人数年级60≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100七年级1469八年级22610【分析数据】：两个年级测试成绩的平均数、中位数、众数如下：平均数中位数众数七年级85.9a90八年级86.489.5b根据以上信息，回答下列问题：（1）a＝88，b＝92．（2）小明是该校八年级的学生，他本次测试成绩为87分，小明说：“因为我的成绩高于我们年级的平均数．所以我的成绩高于我们年级一半学生的成绩．“请你判断小明的话是否正确，并说明理由．（3）若测试成绩不少于90分记为优秀，请你估计七年级学生本次测试成绩的优秀率，并给七年级的老师提出一条建议．【分析】（1）根据中位数和众数的定义解答即可；（2）根据中位数的意义解答即可；（3）利用样本估计总体即可．解：（1）把七年级20名学生的测试成绩从小到大排列为65，73，75，76，77，82，84，85，85，87，89，90，90，90，90，93，95，96，98，98；所以排在中间的两个数是87，89，故中位数a＝＝88；八年级20名学生的测试成绩中92出现的次数最多，故众数b＝92；故答案为：88；92；（2）小明的话错误，理由如下：因为小明本次测试成绩为87分，低于中位数89.5，所以小明的成绩低于我们年级一半学生的成绩；（3）七年级学生本次测试成绩的优秀率为：；建议七年级的学生加强学习党史（答案不唯一）．【点评】此题考查了用样本估计总体以及众数、中位数的定义，众数是数据中出现次数最多的数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．20．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，AC，BD交于点O，过点B作BE∥CD交AC于点E，连结DE．（1）求证：四边形BCDE为菱形．（2）若AB＝5，E为AC的中点，当四边形BCDE为正方形时，求BC的长．【分析】（1）先判断AC为BD的垂直平分线得到AC⊥BD，OB＝OD，再证明△EOB≌△COD得到EO＝CO，于是可判断四边形BCDE为平行四边形，然后利用CB＝CD可判断四边形BCDE是菱形；（2）设OB＝x，根据正方形的判定当OE＝OB＝x时，四边形BCDE是正方形，此时BC＝x，由于AE＝CE＝2x，则在Rt△AOB中利用勾股定理得到x2+（3x）2＝52，解方程x＝，从而得到此时BC的长．【解答】（1）证明：∵AB＝AD，CB＝CD，∴AC为BD的垂直平分线，即AC⊥BD，OB＝OD，∵BE∥CD，∴∠EBO＝∠CDO，在△EOB和△COD中，，∴△EOB≌△COD（ASA），∴EO＝CO，∴四边形BCDE为平行四边形．∵CB＝CD，∴四边形BCDE是菱形；（2）解：设OB＝x，∵四边形BCDE是菱形，∴当OE＝OB＝x时，四边形BCDE是正方形，此时BC＝x，∵E为AC的中点，∴AE＝CE＝2x，在Rt△AOB中，∵OB2+OA2＝AB2，∴x2+（3x）2＝52，解得x1＝，x2＝﹣（舍去），∴BC＝，即当BC的长为时，四边形BCDE为正方形．【点评】本题考查了正方形：熟练掌握正方形的判定方法是解决问题的关键．也考查了菱形的判定与性质．21．如图，是某时刻太阳光线，光线与地面的夹角为45°．小星身高1.6米．（1）若小星正站在水平地面上A处时，那么他的影长为多少米？（2）若小星来到一个倾斜角为30°的坡面底端B处，当他在坡面上至少前进多少米时，他的影子恰好都落在坡面上？【分析】（1）直接利用太阳光线与地面成45°角得到等腰直角三角形，然后利用等腰三角形的两直角边相等求得影长即可；（2）利用斜坡BF的坡度i的值得到∠FBG＝30°，然后设FG＝x米，则BF＝2x米，从而得BG的长、EG＝EF+FG＝（x+1.6）米，最后在Rt△EBG中利用∠EBG＝45°得到BG＝EG，从而列出关于x的方程，求解即可．解：（1）如图：由题意得：AD＝1.6米，∠DCA＝45°，故AD＝AC＝1.6米，答：小星在A处的影子为1.6米．（2）∵∠FBG＝30°，设FG＝x米，则BF＝2x米．∴BG＝x米．∴EG＝EF+FG＝（x+1.6）米．在Rt△EBG中，∠EBG＝45°，∴BG＝EG．∴x＝1.6+x．解得：x＝（+1）．∴小星在斜坡上的影子为：BF＝2x，即2×（+1）＝（+1）（米）．答：当他在坡面上至少前进（+1）米时，他的影子恰好都落在坡面上．【点评】本题考查了解直角三角形的坡度坡角问题，解题的关键是根据题意整理出直角三角形，从而求解．22．我县在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元．（1）求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？（2）考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗要多于B种树苗，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，哪种方案最省钱？最少费用是多少？【分析】（1）设购买A种树苗每棵需x元，B种树苗每棵需y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；（2）设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗（100﹣m）棵，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解；（3）比较各方案即可得答案．解：（1）设购买A种树苗每棵需x元，B种树苗每棵需y元，依题意得，解得．答：购买A种树苗每棵需100元，B种树苗每棵需50元．（2）设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗（100﹣m）棵，依题意得：，解得：50＜m≤53，又∵m为正整数，∴m可以为51，52，53，∴共有3种购买方案，方案1：购进A种树苗51棵，B种树苗49棵；方案2：购进A种树苗52棵，B种树苗48棵；方案3：购进A种树苗53棵，B种树苗47棵．（3）方案1：购进A种树苗51棵，B种树苗49棵；51×100+49×50＝7550元，方案2：购进A种树苗52棵，B种树苗48棵；52×100+48×50＝7600元，方案3：购进A种树苗53棵，B种树苗47棵．53×100+47×50＝7650元，∴购进A种树苗51棵，B种树苗49棵最省钱．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程组与不等式组是解题的关键．23．为预防流感，学校对教室采取药熏法消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例函数关系，药物燃烧完后，y与x成反比例函数关系（如图示）．现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6毫克．研究表明：①当空气中每立方米含药量低于1.6毫克时学生方可进教室；②当空气中每立方米含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．依据信息，解决下列问题：（1）从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？（2）你认为此次消毒是否有效？并说明理由．【分析】（1）直接利用正比例函数解析式求法得出答案；（2）利用反比例函数解析式求法得出答案．解：（1）设药物燃烧后y关于x的函数关系式是y＝，把（8，6）代入得：k＝48，故y关于x的函数关系式是y＝；当y＝1.6时，代入y＝得x＝30，答：从消毒开始，至少需要经过30分钟后，学生才能回到教室；（2）此次消毒有效，理由：药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，所以设y关于x的函数关系式是y＝kx（k≠0），将点（8，6）代入，得k＝，即y＝x，自变量x的取值范围是0≤x≤8：将y＝3分别代入y＝x，y＝得，x＝4和x＝16，那么持续时间是16﹣4＝12＞10分钟，所以有效杀灭空气中的病菌．【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确数形结合得出函数解析式是解题关键．24．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD和过点C的直线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E，且AC平分∠DAB．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）连接BC，若BC＝3，AC＝4，求AE的长．【分析】（1）如图所示，连接OC，根据角平分线的定义和等边对等角证明∠OCA＝∠CAD，则AD∥OC，由AD⊥CD，可证OC⊥CD，即可证明直线CD是⊙O的切线；（2）先求出CE＝BC＝3，利用勾股定理求出AB＝5，证明△ABC∽△ACD求出，利用勾股定理求出，，则．【解答】（1）证明：如图所示，连接OC，∵AC平分∠DAB，∴∠CAD＝∠CAB，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠OCA＝∠CAD，∴AD∥OC，∵