湖南省衡阳市耒阳市西湖学校高三数学理联考试题含解析

湖南省衡阳市耒阳市西湖学校高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量，.若，则实数的值为A．

B．

C．

D．参考答案：D2.已知函数（a∈R），若函数y=|f（x）|﹣a有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．a≥﹣2 B．a＞2 C．0＜a＜1 D．1≤a＜2参考答案：B【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】作出|f（x）|的函数图象，根据零点个数判断a的范围．【解答】解：（1）若a＜0，|f（x）|≥0，显然|f（x）|=a无解，不符合题意；（2）若a=0，则|f（x）|=0的解为x=1，不符合题意；（3）若a＞0，作出y=|f（x）|的哈数图象如图所示：∵|f（x）|=a有三个解，∴a＞2，故选B．3.“x＞0，y＞0”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“x＞0，y＞0”?“”，反之不成立，例如取x=y=﹣1．【解答】解：“x＞0，y＞0”?“”，反之不成立，例如取x=y=﹣1．∴x＞0，y＞0”是“”的充分而不必要条件．故选：A．4.函数为奇函数的充要条件是（

）A、

B、

C、

D、参考答案：B5.关于x的二次方程的取值范围是

A．

B．

C．

D．参考答案：D6.若变量x,y满足约束条件，则的

最大值为（

）A.4

B.3

C.2

D.1参考答案：B7.若变量x，y满足约束条件且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n等于（）A．8 B．7 C．6 D．5参考答案：C【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即C（2，﹣1），此时最大值z=2×2﹣1=3，当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小，由，解得，即B（﹣1，﹣1），最小值为z=﹣2﹣1=﹣3，故最大值m=3，最小值为n=﹣3，则m﹣n=3﹣（﹣3）=6，故选：C8.设是两条不同的直线，是两个不同的平面,下列命题中为真命题的个数（

）①若,,,则

②若,,,则③若,,则

④若,,,则A．个 B．个 C．个 D．个参考答案：D9.复数复平面内对应的点位于

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：10.已知角的终边经过点(－4，3)，则＝()A.

B.

C．－

D．－参考答案：【知识点】三角函数的定义.C1【答案解析】D

解析：由余弦函数定义得：，故选D.【思路点拨】根据余弦函数定义求解.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点的坐标满足，设A（2，1），

则（为坐标原点）的最大值为

．参考答案：略12.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+b?1,且a?(0,3),则对于任意的b?R,函数F(x)=f(x)?x总有两个不同的零点的概率是

;参考答案：略13.右图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为

.参考答案：略14.在极坐标系中，圆ρ=4cosθ的圆心到直线ρsin（θ+）=2的距离为

．参考答案：考点：简单曲线的极坐标方程；点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，将极坐标方程为ρ=4cosθ和化成直角坐标方程，最后利用直角坐标方程的形式，结合点到直线的距离公式求解即得．解答： 解：由ρ=4cosθ，化为直角坐标方程为x2+y2﹣4x=0，其圆心是A（2，0），由得：，化为直角坐标方程为x+y﹣4=0，由点到直线的距离公式，得．故答案为：．点评：本小题主要考查圆和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等基本方法，属于基础题．15.在△ABC中，则的最大值为

.参考答案：∵acosB﹣bcosA=c，∴结合正弦定理，得sinAcosB﹣sinBcosA=sinC，∵C=π﹣（A+B），得sinC=sin（A+B）∴sinAcosB﹣sinBcosA=（sinAcosB+cosAsinB）整理，得sinAcosB=4sinBcosA，同除以cosAcosB，得tanA=4tanB由此可得tan（A﹣B）=∵A、B是三角形内角，且tanA与tanB同号∴A、B都是锐角，即tanA＞0，tanB＞0∵+4tanB≥4∴tan（A﹣B）=≤，当且仅当=4tanB，即tanB=时，tan（A﹣B）的最大值为.

16.用四种不同的颜色为正六边形（如图）中的六块区域涂色，要求有公共边的区域涂不同颜色，一共有

种不同的涂色方法．参考答案：732【考点】排列、组合的实际应用．【分析】分三类讨论：A、C、E用同一颜色、A、C、E用2种颜色、A、C、E用3种颜色，利用分步计数原理，可得结论．【解答】解：考虑A、C、E用同一颜色，此时共有4×3×3×3=108种方法．考虑A、C、E用2种颜色，此时共有C42×6×3×2×2=432种方法．考虑A、C、E用3种颜色，此时共有A43×2×2×2=192种方法．故共有108+432+192=732种不同的涂色方法．故答案为732．17.设x，y满足约束条件的取值范围是

．参考答案：[，11]【考点】简单线性规划．【专题】数形结合．【分析】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与（﹣1，﹣1）构成的直线的斜率问题，求出斜率的取值范围，从而求出目标函数的取值范围．【解答】解：由z==1+2×=1+2×，考虑到斜率以及由x，y满足约束条件所确定的可行域．而z表示可行域内的点与（﹣1，﹣1）连线的斜率的2倍加1．数形结合可得，在可行域内取点A（0，4）时，z有最大值11，在可行域内取点B（3，0）时，z有最小值，所以≤z≤11．故答案为：[，11]．【点评】本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与（﹣1，﹣1）的斜率，属于线性规划中的延伸题，解题的关键是对目标函数的几何意义的理解．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=1，AA1=，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO⊥侧面ABB1A1．（Ⅰ）证明：BC⊥AB1；（Ⅱ）若OC=OA，求直线C1D与平面ABC所成角的正弦值．参考答案：【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）要证明BC⊥AB1，可证明AB1垂直于BC所在的平面BCD，已知CO垂直于侧面ABB1A1，所以CO垂直于AB1，只要在矩形ABB1A1内证明BD垂直于AB1即可，可利用角的关系加以证明；（Ⅱ）分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，求出，平面ABC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论．【解答】（I）证明：由题意，因为ABB1A1是矩形，D为AA1中点，AB=1，AA1=，AD=，所以在直角三角形ABB1中，tan∠AB1B=，在直角三角形ABD中，tan∠ABD=，所以∠AB1B=∠ABD，又∠BAB1+∠AB1B=90°，∠BAB1+∠ABD=90°，所以在直角三角形ABO中，故∠BOA=90°，即BD⊥AB1，又因为CO⊥侧面ABB1A1，AB1?侧面ABB1A1，所以CO⊥AB1所以，AB1⊥面BCD，因为BC?面BCD，所以BC⊥AB1．（Ⅱ）解：如图，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣，0），B（﹣，0，0），C（0，0，），B1（0，，0），D（，0，0），又因为=2，所以所以=（﹣，，0），=（0，，），=（），设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则根据可得=（1，，﹣）是平面ABC的一个法向量，设直线C1D与平面ABC所成角为α，则sinα=．19.（本题满分12分）设函数f（x）=alnx，g（x）=x2．（1）记g'（x）为g（x）的导函数，若不等式f（x）+2g'（x）（a+3）x﹣g（x）在x∈[1，e]上有解，求实数a的取值范围；（2）若a=1，对任意的x1＞x2＞0，不等式m[g（x1）﹣g（x2）]＞x1f（x1）﹣x2f（x2）恒成立．求m（m∈Z，m1）的值．参考答案：1）不等式f（x）+2g′（x）≤（a+3）x﹣g（x），即为，化简得：，由x∈[1，e]知x﹣lnx＞0，因而，设，由=∵当x∈（1，e）时x﹣1＞0，，∴y′＞0在x∈[1，e]时成立．由不等式有解，可得知，即实数a的取值范围是[﹣，+∞）……………….6分（2）当a=1，f（x）=lnx．由m[g（x1）﹣g（x2）]＞x1f（x1）﹣x2f（x2）恒成立，得mg（x1）﹣x1f（x1）＞mg（x2）﹣x2f（x2）恒成立，设．由题意知x1＞x2＞0，故当x∈（0，+∞）时函数t（x）单调递增，∴t′（x）=mx﹣lnx﹣1≥0恒成立，即恒成立，因此，记，得，∵函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴函数h（x）在x=1时取得极大值，并且这个极大值就是函数h（x）的最大值．由此可得h（x）max=h（1）=1，故m≥1，结合已知条件m∈Z，m≤1，可得m=1．

….12分略20.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，.（1）求证：EF∥平面DCP；（2）求F到平面PDC的距离.参考答案：答案：（1）取中点，连接 分别是中点,, 为中点，为正方形，, ,四边形为平行四边形 平面，平面，平面 （2）平面,到平面的距离等于到平面的距离, 平面，,,在中， 平面，,,,平面 ，,则为直角三角形， ,设到平面的距离为， 则到平面的距离.21.（本小题满分12分）在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，且，．（1）求与；（2）设数列的前项和为，求使不等式成立的最小正整数的值．参考答案：（1）；（2）.试题解析：（1）数列的公差为，数列的公比为，则，∴，得（舍），，．（2）由（1）得，由，得，解得，使不等式成立的最小正整数的值为5．考点：1、等差、等比数列的通项公式；2、数列的求和．22.已知函数f（x）=（x﹣1）ex﹣ax2（a∈R）．（Ⅰ）当a≤1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，y=f′（x）的图象恒在y=ax3+x﹣（a﹣1）x的图象上方，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）首先求出f（x）的导函数，分类讨论a的大小来判断函数的单调性；（2）利用转化思想：当x∈（0，+∞）时，y=f'（x）的图象恒在y=ax3+x2﹣（a﹣1）x的图象上方，即xex﹣ax＞ax3+x2﹣（a﹣1）x对x∈（0，+∞）恒成立；即ex﹣ax2﹣x﹣1＞0对x∈（0，+∞）恒成立；【解答】解：（I）f'（x）=xex﹣ax=x（ex﹣a）当a≤0时，ex﹣a＞0，∴x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当0＜a≤1时，令f'（x）=0得x=0或x=lna．（i）当0＜a＜1时，lna＜0，故：x∈（﹣∞，lna）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（lna，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；

（ii）当a=1时，lna=0，f'（x）=xex﹣ax=x（ex﹣1）≥0恒成立，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，无减区间；

综上，当a≤0时，f（x）的单调增区间是（0，+∞），单调减区间是（﹣∞，0）；当0＜a＜1时，f（x）的单调增区间是（﹣∞，lna）和（0，+∞），单调减区间是（lna，0）；当a=1时，f（x）的单调增区间是（﹣∞，+∞），无减区间．（II）由（I）知f'（x）=xex﹣ax当x∈（0，+∞）时，y=f'（x）的图象恒在y=ax3+x2﹣（a﹣1）x的图象上方；即xex﹣ax＞ax3+x2﹣（a﹣1）x对x∈（0，+∞）恒成立；即ex﹣ax2﹣x﹣1＞0对x∈（0，+∞）恒成立；

记g（x）=ex﹣ax2﹣x﹣1（x＞0），∴g'（x）=ex﹣2ax﹣1=h（x）；∴h'（x）=ex﹣2a；（i）当时，h'（x）=ex﹣2a＞0恒成立，g'（x）在（0，+∞）