天津崇化中学2022年高二数学理测试题含解析

天津崇化中学2022年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数f（x）=x3﹣tx2+3x在区间[1，4]上单调递减，则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，3] C．[，+∞） D．[3，+∞）参考答案：C【考点】3F：函数单调性的性质．【分析】由题意可得f′（x）≤0即3x2﹣2tx+3≤0在[1，4]上恒成立，由二次函数的性质可得不等式组的解集．【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣tx2+3x，∴f′（x）=3x2﹣2tx+3，若函数f（x）=x3﹣tx2+3x在区间[1，4]上单调递减，则f′（x）≤0即3x2﹣2tx+3≤0在[1，4]上恒成立，∴t≥（x+）在[1，4]上恒成立，令y=（x+），由对勾函数的图象和性质可得：函数在[1，4]为增函数，当x=4时，函数取最大值，∴t≥，即实数t的取值范围是[，+∞），故选：C【点评】本题主要考查函数的单调性和导数符号间的关系，二次函数的性质，属于中档题．2.“a=1“是“函数f（x）=ax2﹣2x+1只有一个零点”的（）A．充要条件 B．必要而不充分条件C．充分而不必要条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出函数f（x）=ax2﹣2x+1只有一个零点的充分必要条件，根据集合的包含关系判断即可．【解答】解：若函数f（x）=ax2﹣2x+1只有一个零点，若a=0，f（x）=﹣2x+1，只有1个零点，符合题意，若a≠0，则△=4﹣4a=0，解得：a=1，故“a=1“是“函数f（x）=ax2﹣2x+1只有一个零点”充分不必要条件，故选：C．3.如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是（

）

A．

B．平面

C．三棱锥的体积为定值

D．的面积与的面积相等参考答案：D4.等差数列中，如果，，则数列前9项的和为A.297

B.144

C.99

D.66参考答案：C略5.若关于x的方程x2+mx+=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，2）参考答案：B【考点】根的存在性及根的个数判断；二次函数的性质．【分析】利用一元二次方程根的判别式很容易求出实数m的取值范围．【解答】解：∵x的方程x2+mx+=0有两个不相等的实数根，∴△=m2﹣4×=m2﹣1＞0，解得：m＞1或m＜﹣1，∴实数m的取值范围是：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；故选B．6.设曲线在点处的切线与直线平行，则（

）

A.1

B.

C.

D.参考答案：A

7.把7个相同的小球给3人，每人至少1球则不同的给法为（

）A.4

B.10

C.15

D.37参考答案：C略8.过抛物线的准线上任意一点作抛物线的两条切线，若切点分别为，则直线过定点（A） （B）

（C）

（D）参考答案：D9.非空数集A={a1，a2，a3，…，an}（n∈N*）中，所有元素的算术平均数记为E（A），即E（A）=．若非空数集B满足下列两个条件：①B?A；②E（B）=E（A），则称B为A的一个“保均值子集”．据此，集合{1，2，3，4，5}的“保均值子集”有（）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个参考答案：C【考点】子集与交集、并集运算的转换；众数、中位数、平均数．【分析】根据集合A和“保均值子集”的定义把集合的非空真子集列举出来，即可得到个数．【解答】解：非空数集A={1，2，3，4，5}中，所有元素的算术平均数E（A）==3，∴集合A的“保均值子集”有：{3}，{1，5}，{2，4}，{3，1，5}，{3，2，4}，{1，5，2，4}，{1，2，3，4，5}共7个；故选C．10.袋中有2个黑球和6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是（

）

（Ａ）取到球的个数

（Ｂ）取到红球的个数

（Ｃ）至少取到一个红球

（Ｄ）至少取到一个红球的概率参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知命题P：不等式；

命题q：在△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”成立的必要不充分条件.

有下列四个结论：①p真q假；②“p∧q”为真；③“p∨q”为真；④p假q真

其中正确结论的序号是

.（请把正确结论填上）参考答案：略12.直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线．若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于

．参考答案：【考点】圆的切线方程；两直线的夹角与到角问题．【分析】设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sinθ的值，可得cosθ、tanθ的值，再计算tan2θ．【解答】解：设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，且点A与圆心O之间的距离为OA=，圆的半径为r=，∴sinθ=，∴cosθ=，tanθ=，∴tan2θ==，故答案为：．13.直线l经过P(－4,6)，与x轴，y轴交于A，B两点，当P为AB中点时，则直线l的方程为________．参考答案：3x－2y＋24＝014.毛泽东主席在《送瘟神》中写到“坐地日行八万里”．又知地球的体积大约是火星的8倍，那么火星的大圆周长约为______________万里．参考答案：15.三棱锥V-ABC中，AB=AC=10,BC=12,各侧面与底面所成的二面角都是45°，则棱锥的侧面积是_______,高是___________.参考答案：a或者2a略16.设某几何体的三视图如图所示，则该几何体表面积是

参考答案：3217.已知I是虚数单位，若(2+i)(m﹣2i)是实数，则实数m=

.参考答案：4(2+i)(m﹣2i)=2m+2+(m﹣4)i是实数，则m﹣4=0，解得m=4．故答案为：4．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，离心率为，且经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线y=kx﹣2与椭圆C相交于A，B两点，且，若原点O在以MN为直径的圆外，求k的取值范围．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）依题意设出椭圆的方程，根据离心率的值以及椭圆经过点，待定系数法求出椭圆的方程；（2）把直线的方程代入椭圆的方程，使用根与系数的关系，结合向量条件，原点O在以MN为直径的圆外，可得∠MON为锐角，从而∠AOB为锐角，利用向量的数量积，即可求得k的取值范围．【解答】解：（1）依题意，可设椭圆E的方程为∵离心率为，∴，即a=2c，∴b2=a2﹣c2=3c2，∵椭圆经过点，∴解得c2=1∴a2=4，b2=3∴椭圆的方程为．（2）记A、B两点坐标分别为A（x1，x2），B（x2，y2），由消去y，得（4k2+3）x2﹣16kx+4=0，∵直线与椭圆有两个交点，∴△=（16k）2﹣16（4k2+3）＞0，∴k2＞，由韦达定理x1+x2=，x1x2=，∵原点O在以MN为直径的圆外，∴∠MON为锐角∵∴∠AOB为锐角∴∵═x1x2+y1y2=x1x2+（kx1﹣2）（kx2﹣2）=（k2+1）x1x2﹣2k（x1+x2）+4=（k2+1）×﹣2k×+4=∴∴∵k2＞，∴∴k的取值范围为19.已知函数（x∈R）． （1）求f（x）的单调递增区间； （2）在△ABC中，B为锐角，且f（B）=，AC=4，D是BC边上一点，AB=AD，试求△ADC周长的最大值． 参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理． 【专题】计算题；三角函数的图像与性质；解三角形． 【分析】（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=．由，可得单调递增区间． （2）由得．又，则可求得，由AB=AD可求得：AD+DC=BD+DC=BC，又由正弦定理可得BC=8sin∠BAC．由，可得．故可得周长最大值． 【解答】解：（1）===． 由，得（k∈Z）． ∴单调递增区间为，k∈Z （2）由得．又，则， 从而， ∴． 由AB=AD知△ABD是正三角形，AB=AD=BD， ∴AD+DC=BD+DC=BC， 在△ABC中，由正弦定理，得，即BC=8sin∠BAC． ∵D是BC边上一点， ∴， ∴，知． 当时，AD+CD取得最大值8，周长最大值为． 【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理的应用，综合性较强，属于中档题． 20.等差数列中，，前项和为，等比数列各项均为正数，，且，的公比（1）求数列与的通项公式；（2）求数列的前项和参考答案：（1）设公差为d，由已知可得又

（2）由（1）知数列中，，

略20.（本小题满分12分）已知顶点为原点O的抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,与在第一和第四象限的交点分别为A、B．(1)若△AOB是边长为的正三角形，求抛物线的方程；(2)若，求椭圆的离心率；参考答案：（1）设椭圆的右焦点为，依题意得抛物线的方程为∵△是边长为的正三角形，∴点A的坐标是，

代入抛物线的方程解得，故所求抛物线的方程为

（2）∵,∴点的横坐标是代入椭圆方程解得，即点的坐标是

∵点在抛物线上，∴，

将代入上式整理得：，即，解得

∵，故所求椭圆的离心率。22.已知抛物线y2=2px（p＞0）经过点（4，﹣4）．（1）求p的值；（2）若直线l与此抛物线交于A、B两点，且线段AB的中点为N（2，）．求直线l的方程．参考答案：【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的简单性质．【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）将点（4，﹣4）代入抛物线y2=2px（p＞0）可得p