河北省唐山市遵化第一中学高三数学理下学期期末试卷含解析

河北省唐山市遵化第一中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数在定义域R内可导，若，若则的大小关系是A．

B．

C．

D．

参考答案：B2.设x，y满足约束条件，若a∈[﹣2，9]，则z=ax+y仅在点（，）处取得最大值的概率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，求出顶点坐标，利用z=ax+y仅在点（，）处取得最大值，利用斜率关系求解a的范围，然后求解概率．【解答】解：如图所示，约束条件所表示的区域为图中阴影部分：其中A（1，0），B（，），C（1，4），依题意z=ax+y仅在点B（，）处取得最大值，可得﹣a＜﹣2，即，a＞2．又a∈[﹣2，9]，则z=ax+y仅在点（，）处取得最大值的概率为：=．故选：B．3.如图所示的程序框图中，如输入m=4，t=3，则输出y=（）A．61 B．62 C．183 D．184参考答案：C【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：m=4，t=3，y=1，第一次循环，i=3≥0，y=6；第二次循环，i=2≥0，y=20；第三次循环，i=1≥0，y=61；第四次循环，i=0≥0，y=183，第五次循环，i=﹣1＜0，输出y=183，故选：C．4.设m、n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（

）

A．m∥，n∥且∥，则Ⅲ∥以

B．m⊥，n⊥且⊥，m⊥n

C．m⊥，n，m⊥n．则⊥

D．m，n，m∥，n∥，∥参考答案：B略5.下列判断错误的是（

）

A．若为假命题，则，至少之一为假命题

B．命题“，”的否定是“，”

C．“若且，则”是真命题

D．“若，则”的否命题是假命题参考答案：C,若为假命题，则，至少之一为假命题，正确；，命题“，”的否定是“，”，正确；，且，则是真命题，不一定正确，例如当时；，若，则的否命题是，则是假命题，时，大小关系是任意的；故答案选

6.设函数，当时，的值域为，则的值是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C7.某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，起直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为(

) A． B． C． D．参考答案：D考点：椭圆的定义．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据三视图的性质得到俯视图中椭圆的短轴长和长周长，再根据椭圆的性质a2﹣b2=c2，和离心率公式e=，计算即可．解答： 解：设正视图正方形的边长为2，根据正视图与俯视图的长相等，得到俯视图中椭圆的短轴长2b=2，俯视图的宽就是圆锥底面圆的直径2，得到俯视图中椭圆的长轴长2a=2，则椭圆的半焦距c==1，根据离心率公式得，e=；故选D．点评：本题主要考查了椭圆的离心率公式，以及三视图的问题，属于基础题．8.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十“的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题其规律是:偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个判断框中，可以先后填入(

)A.n是偶数?，? B.n是奇数?，?C.n是偶数?，? D.n是奇数?，?参考答案：D根据偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，可知第一个框应该是“奇数”，执行程序框图，结束，所以第二个框应该填，故选D.9.是偶函数，且在上是增函数，不等式对恒成立，则实数的取值范围是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D10.下列说法正确的是（

）A．若，则B．函数的零点落在区间内C．函数的最小值为2D．若，则直线与直线互相平行参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.数列{an}的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一行增加两项，若，则位于第10行的第8列的项等于

，在图中位于

．（填第几行的第几列）参考答案：

第行的第列略12.已知______参考答案：略13.已知三被锥S﹣ABC的体积为，底面△ABC是边长为2的正三角形，且所有頂点都在直径为SC的球面上．则此球的半径为．参考答案：2【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】设球心为O，球的半径为R，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，作SD⊥平面ABC交CO1的延长线与D，用半径表示出OO1、高SD，利用V三棱锥S﹣ABC=求出R的值．【解答】解：设球心为O，球的半径为R，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，作SD⊥平面ABC交CO1的延长线与D，如图所示；∵△ABC是正三角形，∴CD=×2=，O1C=CD=，∴OO1=，∴高SD=2OO1=2；又△ABC是边长为2的正三角形，∴S△ABC=?22=，∴V三棱锥S﹣ABC=??2=，解得R=2．故答案为：2．14.若直线l1：ax+y+2a=0与l2：x+ay+3=0互相平行，则实数a=．参考答案：±1【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】把直线方程化为斜截式，利用相互平行的直线与斜率、截距之间的关系即可得出．【解答】解：直线分别化为：y=﹣ax﹣2a，y=﹣，∵两条直线互相平行，∴，解得a=±1．故答案为：±1．15.现有一根n节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为

10cm，最下面的三节长度之和为114cm，第6节的长度是首节与末节长度的等比中

项，则n=

。参考答案：略16.函数，则使得成立的x的取值范围是

．参考答案：(0,1)17.设分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上一点，且，,则该双曲线的离心率的值是

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数,其中常数

.（Ⅰ）当时，求的极大值；（Ⅱ）试讨论在区间上的单调性;（3）当时,曲线上总存在相异两点,,使曲线在点处的切线互相平行,求的取值范围.参考答案：(1)当时,,当或时,;当时,,在和上单调递减,在上单调递增,故极大值=(2)当时,在上单调递减,在上单调递增.当时,在上单调递减当时,在上单调递减,在上单调递增.(3)由题意,可得()既对恒成立另则在上单调递增，故，从而的取值范围是。略19.设f（x）=x3+ax2+bx+1的导数f′（x）满足f′（1）=2a，f′（2）=﹣b，其中常数a，b∈R．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（Ⅱ）设g（x）=f′（x）e﹣x．求函数g（x）的极值．参考答案：考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；综合题；转化思想．分析：（I）根据已知中f（x）=x3+ax2+bx+1，我们根据求函数导函数的公式，易求出导数f'（x），结合f'（1）=2a，f'（2）=﹣b，计算出参数a，b的值，然后求出f（1）及f'（1）的值，然后代入点斜式方程，即可得到曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（II）根据g（x）=f′（x）e﹣1求出函数g（x）的解析式，然后求出g（x）的导数g'（x）的解析式，求出导函数零点后，利用零点分段法，分类讨论后，即可得到函数g（x）的极值．解答：解：（I）∵f（x）=x3+ax2+bx+1∴f'（x）=3x2+2ax+b．令x=1，得f'（1）=3+2a+b=2a，解得b=﹣3令x=2，得f'（2）=12+4a+b=﹣b，因此12+4a+b=﹣b，解得a=﹣，因此f（x）=x3﹣x2﹣3x+1∴f（1）=﹣，又∵f'（1）=2×（﹣）=﹣3，故曲线在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（﹣）=﹣3（x﹣1），即6x+2y﹣1=0．（II）由（I）知g（x）=（3x2﹣3x﹣3）e﹣x从而有g'（x）=（﹣3x2+9x）e﹣x令g'（x）=0，则x=0或x=3∵当x∈（﹣∞，0）时，g'（x）＜0，当x∈（0，3）时，g'（x）＞0，当x∈（3，+∞）时，g'（x）＜0，∴g（x）=（3x2﹣3x﹣3）e﹣x在x=0时取极小值g（0）=﹣3，在x=3时取极大值g（3）=15e﹣3点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及方程组的求解等有关问题，属于中档题．20.(本题满分12分)设数列的各项都为正数，其前项和为，已知对任意，是

和的等比中项．（Ⅰ）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）设集合，，且，若存在∈，使对满足

的一切正整数，不等式恒成立，试问：这样的正整数共有多少个？参考答案：解：（Ⅰ）由已知，，且．…………………1分当时，，解得．

…………………2分当时，有．于是，即．于是，即．因为，所以．故数列是首项为2，公差为2的等差数列，且．……4分（Ⅱ）因为，则，

…………5分所以．……7分因为随着的增大而增大，所以当时取最小值．故原不等式成立．

………………10分（Ⅲ）由，得，所以．

…12分由题设，，，…，，，，…，．因为∈M，所以，，…，均满足条件．………………14分且这些数组成首项为，公差为的等差数列．

设这个等差数列共有项，则，解得．故集合M中满足条件的正整数共有450个．

…16分21.如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，，点D是棱AA1的中点．（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC；（Ⅱ）求三棱锥C1﹣BDC的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由题设证明BC⊥平面ACC1A1，可得DC1⊥BC，再由已知可得∠ADC=∠A1DC1=45°，得∠CDC1=90°，即C1D⊥DC，结合线面垂直的判定得DC1⊥平面BDC，从而得到平面BDC1⊥平面BDC；（Ⅱ）由等积法可得三棱锥C1﹣BDC的体积．【解答】（Ⅰ）证明：由题意知BC⊥CC1，BC⊥AC，AC∩CC1=C，∴BC⊥平面ACC1A1，又∵DC1?平面ACC1A1，∴DC1⊥BC．∵∠ADC=∠A1DC1=45°，∴∠CDC1=90°，即C1D⊥DC．∵DC∩BC=C，