河北省唐山市石油中学高三数学文上学期期末试卷含解析

河北省唐山市石油中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A． B． C． D．=0.08x+1.23参考答案：C【考点】回归分析的初步应用．

【分析】本题考查线性回归直线方程，可根据回归直线方程一定经过样本中心点这一信息，选择验证法或排除法解决，具体方法就是将点（4，5）的坐标分别代入各个选项，满足的即为所求．【解答】解：法一：由回归直线的斜率的估计值为1.23，可排除D由线性回归直线方程样本点的中心为（4，5），将x=4分别代入A、B、C，其值依次为8.92、9.92、5，排除A、B法二：因为回归直线方程一定过样本中心点，将样本点的中心（4，5）分别代入各个选项，只有C满足，

故选C【点评】本题提供的两种方法，其实原理都是一样的，都是运用了样本中心点的坐标满足回归直线方程．2.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为A.28π

B.32π

C.π

D.π参考答案：C3.设a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C所对边的边长，则直线sinA?x﹣ay﹣c=0与bx+sinB?y+sinC=0的位置关系是（）A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直参考答案：C【考点】HP：正弦定理；IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】求出两条直线的斜率，然后判断两条直线的位置关系．【解答】解：a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C所对边的边长，则直线sinA?x﹣ay﹣c=0的斜率为：，bx+sinB?y+sinC=0的斜率为：，∵==﹣1，∴两条直线垂直．故选：C．4.下列命题中，真命题的个数有（

）．①②的充分条件是③函数是单调递增函数；④和互为反函数．

A．0个B．1个C．2个D．3个参考答案：C5.设等差数列的前项和为,若,则的值等于

（

）A．54

B.45

C.36

D.27参考答案：A略6.已知在椭圆方程+=1中，参数a，b都通过随机程序在区间（0，t）上随机选取，其中t＞0，则椭圆的离心率在（，1）之内的概率为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】CF：几何概型；K4：椭圆的简单性质．【分析】不妨设a＞b，求出a，b满足的条件，作出图形，根据面积比得出答案．【解答】解：不妨设a＞b，∵e==∈（，1），∴＜＜1，解得0＜＜，即0＜＜，∴0＜b＜a，作出图象如下：∴椭圆的离心率在（，1）之内的概率为P==，故选：A．7.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则＝()A．

B．

C.

D.参考答案：B略8.已知函数是定义在上的偶函数,且在区间单调递增.若实数满足,则的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：C9.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题是“甲降落在指定范围”，是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A“至少有一位学员没有降落在指定范围”即：“甲或乙没有降落在指定范围内”。故选A。【相关知识点】命题及逻辑连接词10.函数在（1，1）处的切线方程是

A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.参考答案：略12.从装有两个白球、两个黑球的袋中任意取出两个球，取出一个白球一个黑球的概率为

.参考答案：解析：从该4个球中任取两球的等可能情况有种。从两个白球、两个黑球中取得一个白球一个黑球的等可能情况有种。故取得一个白球一个黑球的概率为13.已知数列的前项和为，，且点在直线上

（1）求k的值；（2）求证是等比数列；（3）记为数列的前n项和，求的值.参考答案：（3），

.14.在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是

参考答案：15.如果方程有解，则实数的取值范围是

.参考答案：或≤16.不等式的解为

.参考答案：

17.已知实数满足约束条件则的最大值等于

．参考答案：8三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆：的左顶点为，右焦点为，为原点，，是轴上的两个动点，且，直线和分别与椭圆交于，两点．（Ⅰ）求的面积的最小值；（Ⅱ）证明：，，三点共线.参考答案：（Ⅰ）1；（Ⅱ）见解析．试题分析：（Ⅰ）设，，然后根据求得的值，从而得到的表达式，从而利用基本不等式求出最小值，；（Ⅱ）首先设出直线的方程，然后联立椭圆方程，利用韦达定理得到点坐标间的关系，从而使问题得证．试题解析：（Ⅰ）设，，∵，可得，，∵，当且仅当时等号成立．∴，∴，∴四边形的面积的最小值为1．（Ⅱ）∵，，∴直线的方程为，由得，由，得，①同理可得，∵，∵②故由①②可知：，代入椭圆方程可得∵，故，分别在轴两侧，，∴，∴，，三点共线．考点：1、直线与椭圆的位置关系；2、基本不等式．【方法点睛】解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法．19.如图，曲线Γ由曲线C1：和曲线C2：组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，（1）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程；（2）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上；（3）对于（1）中的曲线Γ，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求△CDF1面积的最大值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由F2（2，0），F3（﹣6，0），可得，解出即可；（2）曲线C2的渐近线为，如图，设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），设直线l：y=，与椭圆方程联立化为2x2﹣2mx+（m2﹣a2）=0，利用△＞0，根与系数的关系、中点坐标公式，只要证明，即可．（3）由（1）知，曲线C1：，点F4（6，0）．设直线l1的方程为x=ny+6（n＞0）．与椭圆方程联立可得（5+4n2）y2+48ny+64=0，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出．【解答】（1）解：∵F2（2，0），F3（﹣6，0），∴，解得，则曲线Γ的方程为和．（2）证明：曲线C2的渐近线为，如图，设直线l：y=，则，化为2x2﹣2mx+（m2﹣a2）=0，△=4m2﹣8（m2﹣a2）＞0，解得．又由数形结合知．设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则x1+x2=m，x1x2=，∴=，．∴，即点M在直线y=﹣上．（3）由（1）知，曲线C1：，点F4（6，0）．设直线l1的方程为x=ny+6（n＞0）．，化为（5+4n2）y2+48ny+64=0，△=（48n）2﹣4×64×（5+4n2）＞0，化为n2＞1．设C（x3，y3），D（x4，y4），∴，．∴|y3﹣y4|==，===，令t=＞0，∴n2=t2+1，∴===，当且仅当t=，即n=时等号成立．∴n=时，=．20.（2017?乐山二模）已知定义在R上的函数f（x）=|x﹣m|+|x|，m∈N*，若存在实数x使得f（x）＜2成立．（1）求实数m的值；（2）若α，β＞1，f（α）+f（β）=6，求证：．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）|x﹣m|+|x|≥|x﹣m﹣x|=|m|，要使|x﹣m|+|x|＜2有解，则|m|＜2，m∈N*，解得m；（2）α，β＞1，f（α）+f（β）=2α﹣1+2β﹣1=6，可得α+β=4．再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）∵|x﹣m|+|x|≥|x﹣m﹣x|=|m|，∴要使|x﹣m|+|x|＜2有解，则|m|＜2，解得﹣2＜m＜2．∵m∈N*，∴m=1．（2）证明：α，β＞1，f（α）+f（β）=2α﹣1+2β﹣1=6，∴α+β=4，∴+≥（+）（α+β）=（5++）≥（5+2=，当且仅当=即α=，β=时“=”成立，故+≥．【点评】本题考查了绝对值不等式的性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.（14分）已知数列是等比数列，其中成等差数列，数列的前项和

.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，当时，求证：.参考答案：解析：（1）设的公比为，∵，∴∵成等差数列，∴解得．

(2分)∴．

(3分)当时,

∴．

(4分)当时,

∴

(6分)（2）用数学归纳法证明如下：①当时，左边右边

∵，∴

∴，即，∴左边>右边,∴不等式成立．

(8分)②假设时不等式成立.即那么当时,,要证时不等式也成立,只需证即证：