河北省承德市滦平县巴克什营镇中学高三数学文上学期期末试题含解析

河北省承德市滦平县巴克什营镇中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在张卡片上分别写着数字、、、、，然后把它们混合，再任意排成一行，则得到的数能被或整除的概率是A．

B．

C．

D．参考答案：B略2.若，则的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略3.已知是两条不同直线，是两个不同平面，下列命题中的真命题是（

）

A．如果，那么

B．如果，那么C．如果共面，那么∥D．如果∥,，,那么参考答案：C4.如右图，一个直径为l的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（

）

参考答案：A5.已知集合A=，则=()A.（2，6） B.（2，7） C.（-3，2] D.（-3，2）参考答案：C【分析】由题得={x|x≤2或x≥7}，再求得解.【详解】由题得={x|x≤2或x≥7}，所以.故选：C【点睛】本题主要考查集合的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.设函数的定义域为R，如果存在函数为常数），使得对于一切实数都成立，那么称为函数的一个承托函数.已知对于任意，是函数的一个承托函数，记实数a的取值范围为集合M，则有（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略7.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的概率等于

A、

B、

C、

D、参考答案：D8.复数（是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A【知识点】复数乘除和乘方【试题解析】

所以z的共轭复数为1+i，即对应点为（1，1）。

故答案为：A9.已知函数f(x)=xex－x2－mx，则函数f（x）在[1，2]上的最小值不可能为（）A．e－m B．－mln2m

C．2e2﹣4m D．e2﹣2m参考答案：D【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】f′（x）=ex+xex﹣m（x+1）=（x+1）（mex﹣1）．对a分类讨论：当m≤时，当e＞m＞时，当m≥e时，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可．【解答】解：f′（x）=ex+xex﹣m（x+1）=（x+1）（mex﹣1），①当m≤时，ex﹣m＞0，由x≥﹣1，可得f′（x）≥0，此时函数f（x）单调递增．∴当x=1时，函数f（x）取得最小值，f（1）=e﹣m．②当m≥e时，ex﹣m≤0，由x≥﹣1，可得f′（x）≤0，此时函数f（x）单调递减．∴当x=2时，函数f（x）取得最小值，f（2）=2e2﹣4m．③当e＞m＞时，由ex﹣m=0，解得x=lnm．当﹣1≤x＜lnm时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当lnm＜x≤1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．∴当x=lnm时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（lnm）=﹣．故选：D．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．10.已知函数是定义在R上的奇函数，且当时不等式成立，若，

，则的大小关系是A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2）是函数f（x）=x3﹣|x|图象上的两个不同点，且在A，B两点处的切线互相平行，则的取值范围为

．参考答案：（﹣1，0）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】首先把含有绝对值的函数写成分段函数的形式，然后求导，通过在A，B两点处的切线互相平行，即在A，B两点处的导数值相等，分析出A点在y轴的右侧，B点在y轴的左侧．根据A，B两点处的导数相等，得到x1与x2的关系式，根据关系式得出它表示的曲线，然后利用式子的几何意义求解．【解答】解：由题意，f（x）=x3﹣|x|=，

当x≥0时，f′（x）=3x2﹣1，

当x＜0时，f′（x）=3x2+1，

因为在A，B两点处的切线互相平行，且x1＞x2，

所以x1＞0，x2＜0（否则根据导数相等得出A、B两点重合），

所以在点A（x1，y1）处切线的斜率为f′（x1）=3﹣1，

在点B（x2，y2）处切线的斜率为f′（x2）=3+1

所以3﹣1=3+1，

即，（x1＞x2，x2＜0）

表示的曲线为双曲线在第四象限的部分，如图：表示这个曲线上的点与原点连线的斜率，

由图可知取值范围是（﹣1，0），故答案为：（﹣1，0）．12.已知M是△ABC内的一点，且，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为的最小值为

．参考答案：18【考点】基本不等式在最值问题中的应用；向量在几何中的应用．【专题】计算题．【分析】利用向量的数量积的运算求得bc的值，利用三角形的面积公式求得x+y的值，进而把+转化成2（+）×（x+y），利用基本不等式求得+的最小值．【解答】解：由已知得=bccos∠BAC=2?bc=4，故S△ABC=x+y+=bcsinA=1?x+y=，而+=2（+）×（x+y）=2（5++）≥2（5+2）=18，故答案为：18．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，向量的数量积的运算．要注意灵活利用y=ax+的形式．13.设点P是函数y=﹣图象上任意一点，点Q（2a，a﹣3）（a∈R），则|PQ|的最小值为．参考答案：﹣2考点： 两点间的距离公式．专题： 直线与圆．分析： 将函数进行化简，得到函数对应曲线的特点，利用直线和圆的性质，即可得到结论．解答： 解：由函数y=﹣，得（x﹣1）2+y2=4，（y≤0），对应的曲线为圆心在C（1，0），半径为2的圆的下部分，∵点Q（2a，a﹣3），∴x=2a，y=a﹣3，消去a得x﹣2y﹣6=0，即Q（2a，a﹣3）在直线x﹣2y﹣6=0上，过圆心C作直线的垂线，垂足为A，则|PQ|min=|CA|﹣2=﹣2=．故答案为：．点评： 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据函数的表达式确定对应曲线是解决本题的关键．14.已知函数的图像在点处的切线过点，则a=_____．参考答案：【分析】求得函数f（x）的导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得a的值．【详解】，，又因为，切点是，切线方程是：，.故答案为【点睛】本题考查导数的几何意义，考查两点的斜率公式，以及方程思想和运算能力，属于基础题．15.三棱锥中，则三棱锥的外接球的表面积为

.参考答案：略16.已知向量，，．若，则________．参考答案：解答：，∵，∴，解得.

17.已知奇函数f（x）=，则f（﹣2）的值为．参考答案：﹣8【考点】3T：函数的值．【分析】由f（x）为R上的奇函数可得f（0）=0，从而可得a值，设x＜0，则﹣x＞0，由f（﹣x）=﹣f（x）得3﹣x﹣1=﹣f（x），由此可得f（x），即g（x），即可求得f（﹣2）．【解答】解：因为奇函数f（x）的定义域为R，所以f（0）=0，即30﹣a=0，解得a=1，设x＜0，则﹣x＞0，f（﹣x）=﹣f（x），即3﹣x﹣1=﹣f（x），所以f（x）=﹣3﹣x+1，即g（x）=﹣3﹣x+1，所以f（﹣2）=g（﹣2）=﹣32+1=﹣8．故答案为：﹣8．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设椭圆的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆方程.(2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，当面积最大时，求.参考答案：

19.（本小题满分12分）甲袋中装有大小相同的红球1个，白球2个；乙袋中装有与甲袋中相同大小的红球2个，白球3个．先从甲袋中取出1个球投入乙袋中，然后从乙袋中取出2个小球．（Ⅰ）求从乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球的概率；（Ⅱ）记从乙袋中取出的2个小球中白球个数为随机变量，求的分布列和数学期望．参考答案：（Ⅰ）记“乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球”为事件A，包含如下两个事件：“从甲袋中取出1红球投入乙袋，然后从乙袋取出的两球中仅1个红球”、“从甲袋中取出1白球投入乙袋，然后从乙袋取出的两球中仅1个红球”，分别记为事件A1、A2，且A1与A2互斥，则：，，

4分∴，故从乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球的概率为．·····································6分（Ⅱ）＝0、1、2．，，,（答对一个得1分）··············································9分∴的分布列为012P∴.(分布列1分,方差2分；分布列部分对给1分)

12分20.在直角坐标系xOy中，曲线（为参数），以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为.（1）求曲线C1的极坐标方程；（2）已知点，直线l的极坐标方程为，它与曲线C1的交点为O，P，与曲线C2的交点为Q，求的面积.参考答案：（1）（2）1【分析】（1）首先把参数方程转化为普通方程，利用普通方程与极坐标方程互化的公式即可得到曲线的极坐标方程；（2）分别联立与的极坐标方程、与的极坐标方程，得到、两点的极坐标，即可求出的长，再计算出到直线的距离，由此即可得到的面积。【详解】解：（1），其普通方程为，化为极坐标方程为（2）联立与的极坐标方程：，解得点极坐标为

联立与的极坐标方程：，解得点极坐标为，所以，又点到直线的距离，

故的面积.【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化，利用极径的几何意义求三角形面积是解题的关键，属于中档题。21.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点．当直线l经过椭圆C的一个短轴端点时，与以原点O为圆心，以椭圆的离心率e为半径的圆相切．（1）求椭圆C的方程；（2）是否在x轴上存在定点M，使?为定值？若存在，请求出定点M及定值；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程．【分析】（1）求得抛物线的焦点坐标，可得c=，即a2﹣b2=3，求得直线经过（﹣c，0）和（0，b）的方程，运用直线和圆相切的条件：d=r，结合离心率公式可得b，a，进而得到椭圆方程；（2）假设直线l的斜率存在，设直线的方程为y=k（x+），代入椭圆方程x2+4y2=4，可得x的方程，运用韦达定理，设出M（m，0），运用向量的数量积的坐标表示，化简整理，结合定值，可得m，以及向量数量积的值；再讨论直线l的斜率不存在，求得A，B，验证成立．【解答】解：（1）抛物线y2=﹣4x的焦点为（﹣，0），由题意可得c=，即a2﹣b2=3，由直线l经过（﹣c，0）和（0，b），可得直线l：bx﹣cy+bc=0，直线l与原点O为圆心，以椭圆的离心率e为半径的圆相切，可得=e==，解得b=1，则a=2，即有椭圆的方程为+y2=1；（2）当直线l的斜率存在时，设直线的方程为y=k（x+），代入椭圆方程x2+4y2=4，可得（1+4k2）x2+8k2x+12k2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=﹣，x1x2=，设M（m，0），=（m﹣x1，﹣y1），=（m﹣x2，﹣y2），?═（m﹣x1）（m﹣x2）+y1y2=m2﹣m（x1+x2）+x1x2+k2（x1+）（x2+）=m2+（k2﹣m）（x1+x2）+（1+k2）x1x2+3k2=m2+（k2﹣m）（﹣）+（1+k2）?+3k2=，要使?为定值，则=4，解得m=﹣，即有?=﹣．当直线l的斜率不存在时，A（﹣，﹣），B（﹣，），=（﹣，），=（﹣，﹣），可得?=﹣．则在x轴上存在定点M（﹣，0），使得?为定值﹣．22.已知函数f（x）=（a﹣bx3）ex﹣，且函数f（x）的图象在点（1，e）处的切线与直线x﹣（2e+1）y﹣3=0垂直．（Ⅰ）求a，b；（Ⅱ）求证：当x∈（0，1）时，f（x）＞2．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）的图象在点（1，e）处的切线与直线x﹣（2e+1）y﹣3=0垂直，求得a，b；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，证f（x）＞2，即证2ex﹣exx3＞2，构造函数，确定函数的单调性，即可证明结论．【解答】（Ⅰ）解：因为f（1）=e，故（a﹣b）e=e，故a﹣b=1①；依题意，f′（1）=﹣2e﹣1；又，故f′（1）=ae﹣1﹣4be=﹣2e﹣1，故a﹣4b=﹣2②，联立①②解得a=2，b=1，…（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得要证f（x）＞2，即证2ex﹣exx3＞2；

…令g（x）=2ex﹣exx3，∴g′（x）=ex（﹣x3﹣3x2+2）=﹣ex（x3+3x2﹣2）=﹣ex（x+1）（x2+2x﹣2），故当x∈（0