河南省开封市田家炳实验中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析

河南省开封市田家炳实验中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.非零向量，满足2?=，||+||=2，则，的夹角θ的最小值为(

) A． B． C． D．参考答案：C考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的数量积的定义和向量的平方即为模的平方，可得2cosθ=||?||，再由基本不等式，可得cosθ≤，结合余弦函数的性质，即可得到所求最小值．解答： 解：非零向量，满足2?=，|即有2||?||?cosθ=||2?||2，即2cosθ=||?||，由||+||=2，则||?||≤（）2=1，即有cosθ≤，由于0≤θ≤π，则≤θ≤π，则当||=||=1时，，的夹角θ取得最小值为．故选C．点评：本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，以及基本不等式的运用，属于基础题．2.若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．6参考答案：C【考点】圆的切线方程；关于点、直线对称的圆的方程．【分析】由题意可知直线经过圆的圆心，推出a，b的关系，利用（a，b）与圆心的距离，半径，求出切线长的表达式，然后求出最小值．【解答】解：圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0化为（x+1）2+（y﹣2）2=2，圆的圆心坐标为（﹣1，2）半径为．圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，所以（﹣1，2）在直线上，可得﹣2a+2b+6=0，即a=b+3．点（a，b）与圆心的距离，，所以点（a，b）向圆C所作切线长：==≥4，当且仅当b=﹣1时弦长最小，为4．故选C．3.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于、两点，且这两点的横坐标之和为，则满足条件的直线（

）（A）有且只有一条

（B）有两条

（C）有无穷多条

（D）必不存在参考答案：B【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/抛物线的标准的方程和几何性质.【正确选项】C【试题分析】由已知得抛物线的焦点坐标为，当轴时，不符合题意，故直线的斜率为k,则，联立，设，因为，所以，故答案为B.4.如图是函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图象,则等于

（

）A．

B． C．

D．参考答案：C5.曲线的长度为

(

）A．

B．

C．

D．参考答案：D6..“”是“”的（

）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A【分析】判断充分条件还是必要条件，就看由题设能否推出结论，和结论能否推出题设，本着这个原则，显然能推出，但是不一定能推出，有可能，所以可以判断“”是“”的充分不必要条件.【详解】因为由，由推不出，有可能，所以“”是“”的充分不必要条件，故本题选A.【点睛】本题考查了充分条件和必要条件的判定，解题的关键是理解掌握它们定义，对于本题正确求解不等式也很关键.7.已知F是双曲线：右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(0,8)，则△PAF的面积为（

）A．6

B．8

C.12

D．16参考答案：B由题意可得，则焦点坐标为，由通径公式可得：，且点A到直线PF的距离，据此可得△PAF的面积为：.本题选择B选项.

8.执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4 B．5 C．6 D．7参考答案：D【考点】程序框图．

【专题】算法和程序框图．【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．【解答】解：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．9.下列命题中，错误的是A．在中，是的充要条件；B．在锐角中，不等式恒成立；C．在中，若，则必是等腰直角三角形；D．在中，若，，则必是等边三角形．参考答案：【知识点】命题的真假判断与应用．A2C

解析：对于A．在△ABC中，若A＞B，则a＞b，即由正弦定理有sinA＞sinB，反之也成立，故A正确；对于B．在锐角△ABC中，A+B＞，则A＞﹣B，由y=sinx在（0，）上递增，则sinA＞sin（﹣B）=cosB，故B正确；对于C．在中，，则,即,所以即或,所以是等腰或直角三角形,故C错误;对于D．在中，若，，所以,联立解得:,,所以必是等边三角形．【思路点拨】对选项依此判断即可.10.一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的表面积与球O的表面积的比值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知定义在R的奇函数满足，且时，，下面四种说法①；②函数在［-6，-2］上是增函数；③函数关于直线对称；④若，则关于的方程在［-8，8］上所有根之和为-8，其中正确的序号

参考答案：①④由得，所以函数的周期是8.又函数为奇函数，所以由，所以函数关于对称。同时，即，函数也关于对称，所以③不正确。又，函数单调递增，所以当函数递增，又函数关于直线对称，所以函数在［-6，-2］上是减函数，所以②不正确。，所以，故①正确。若，则关于的方程在［-8，8］上有4个根，其中两个根关于对称，另外两个关于对称，所以关于对称的两根之和为，关于对称的两根之和为，所以所有根之后为，所以④正确。所以正确的序号为①④。12.已知α∈（0，），β∈（0，），且cosα=，cos（α+β）=﹣，则sinβ=．参考答案：【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式，以及三角函数在各个象限中的符号，求得sinβ=sin[（α+β）﹣α]的值．【解答】解：∵已知α∈（0，），β∈（0，），且cosα=，cos（α+β）=﹣，∴sinα==，sin（α+β）==，则sinβ=sin[（α+β）﹣α]=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=?﹣（﹣）?=，故答案为：．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．13.已知函数，则满足方程的所有的的值为

参考答案：0或3略14.已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于

参考答案：

15.A、B、C三所学校共有高三学生1500人，且A、B、C三所学校的高三学生人数成等差数列，在一次联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B校学生中抽取_________人．参考答案：40因为A、B、C三所学校的高三学生人数成等差数列，所以设三校人数为，则，所以。则在B校学生中抽取的人数为人。16.在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线，那么BC= ；参考答案：9略17.若变量满足约束条件，则的最小值是

．参考答案：－6

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（2017?乐山二模）已知圆E：（x+1）2+y2=16，点F（1，0），P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q（1）求动点Q的轨迹Γ的方程；（2）若直线y=k（x﹣1）与（1）中的轨迹Γ交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时，总有∠OTS=∠OTR？说明理由．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）连结QF，运用垂直平分线定理可得，|QP|=|QF|，可得|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|=2，由椭圆的定义即可得到所求轨迹方程；（2）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．设R（x1，y1），S（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由直线的斜率之和为0，化简整理，即可得到存在T（4，0）．【解答】解：（1）连结QF，根据题意，|QP|=|QF|，则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|=2，故动点Q的轨迹Γ是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆．设其方程为，可知a=2，c=1，∴，所以点Q的轨迹Γ的方程为；

（2）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．设R（x1，y1），S（x2，y2）联立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由韦达定理有①，其中△＞0恒成立，由∠OTS=∠OTR（显然TS，TR的斜率存在），故kTS+kTR=0即②，由R，S两点在直线y=k（x﹣1）上，故y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1）代入②得，即有2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0③，将①代入③，即有：④，要使得④与k的取值无关，当且仅当“t=4“时成立，综上所述存在T（4，0），使得当k变化时，总有∠OTS=∠OTR．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用垂直平分线的性质和椭圆的定义，考查存在性问题的解法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，以及点满足直线方程，属于中档题．19.如图，四棱锥M-ABCD中,°，与都是等边三角形，且点M在底面ABCD的投影为O．（1）证明：O为AC的中点；（2）求二面角的余弦值．参考答案：（1）见解析（2）【分析】（1）连结，证明，从而得到，即为的外心，由，得为的中点；（2）为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值【详解】证明：（1）连结，平面，与都是等边三角形，，又为公共边，，，即为的外心，，为的中点．解：（2）以为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，设平面的法向量，则，令，得，，设平面的法向量，则，取，得，.由图知二面角的平面角为钝角，二面角的余弦值为．【点睛】本题考查线段中点的证明，考查二面角的平面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．20.【选修4﹣4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）求直线l被曲线C所截得的弦长．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】本题的关键（1）是直线l的参数方程为（t为参数）和曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）的普通方程的转化，（2）是借助垂径定理，求解弦长问题．【解答】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），（t为参数）∴化为普通方程为l：3x+4y+1=0．又∵曲线C的极方程为ρ=cos（θ+），∴化为直角坐标方程为x2+y2﹣x+y=0．（2）由（1）可知曲线C表示圆心为（），半径为的圆，∴则圆心到直线l的距离d═=，∴直线l被曲线C截得的弦长为【点评】此题考查参数方程和极坐标方程化为普通方程，是一道高考常见的题目21.（本小题满分13分）已知函数，其中为正实数，是的一个极值点.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当时，求函数在上的最小值.参考答案：解：（Ⅰ）因为是函数的一个极值点，

所以

因此，

解得经检验，当时，是的一个极值点，故所求的值为.……………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，令，得与的变化情况如下：+0-0+所以，的单调递增区间是

单调递减区间是当时，在上单调递减，

在上单调递增所以在上的最小值为当时，在上单调递增，所以在上的最小值为……………13分22.公元2020年春，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命.为了尽快遏制住病毒的传播，我国科研人员，在研究新型冠状病毒某种疫苗的过程中，利用小白鼠进行科学试验.为了研究小白鼠连续接种疫苗后出现Z症状的情况，决定对小白鼠进行做接种试验.该试验的设计为：①对参加试验的每只小白鼠每天接种一次；②连续接种三天为一个接种周期；③试验共进行3个周期.已知每只小白鼠接种后当天出现症状的概率均为，假设每次接种后当天是否出现Z症状与上次接种无关.（1）若某只小白鼠出现Z症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率；（2）若某只小白鼠在一个接种周期内出现2次或3次Z症状，则在这个接种周期结束后，对其终止试验.设一只小白鼠参加的接种周期为X，求X的分布列及数学期望.参考答案：（1）；（2）分布列见解析，.【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出实验至多持续一个接种周期的概率；

（2）设事件为“在一个接种周期内出现2