高数微积分习题解答模板

1、计算下列第二类曲线积分： (1)j(x2y2)dx,L为抛物线y2=x上由点(0,0)到点(2,4)的一段弧；L (2)j(x+y)dx(xy)dy,L为按逆时针方向饶行的圆x2+y2=a2；x2+y2LL(4)jxdx+ydy+(x+y1)dz,L为由点(1，1，1)到点(2，3，4)的一段直线；LL (6)jF.dl,其中F=ye1xe2，L按逆时针方向饶行的圆x=acost,y=asint.x2+y2L015LL0L00L00(5)三条直线段的方程分别为以LL011Ljydxxdy0x2+y2x2+y202、一力场由以横轴正向为方向的常力F构成，试求当一质量为m的质点沿圆周x2+y2=R2按逆时针方向走过第一象限的弧段时，场力所作的功.解：由题意知，场力所作的功为LRL3、有一平面力场F，大小等于点(x,y)到原点的距离，方向指向原点.试求单位质量DDy12120L222204、有一力场F，其力的大小与力的作用点到xoy平面的距离成反比且指向原点，试该场力所作的功.LL=一c3为S，在y>0一侧为S，在y<0一侧为S，则由题有456134DDD231232、解：(1)由题S：z=一R2一x2一y2,S0040010501(2)jjSex2+y2D1212则D12ss2s22345S34xz)SD00D"0033z=3-x-yz=3-x-y?z3?z3=-=-?x2?y3?z3?z3=-=-?x2?y3--=?x?y(2)=-2x,?x?y(",0)=2y2y-?y=11=SSSS?y?x?x?y?y?x?x?yD?y?x?y?x?x?y6D00?x?y6D00?y?xD1001?y?x?y?x20所以原式D00042050?y?x?y?x因为积分与路径无关，所以=,得因为积分与路径无关，所以=,得入=3?y?x5(0,0)00?y?xdx?y?xdxxxyy?x2?x由?u=2x+'(y)及?u=Q=2x+y得，'(y)=y?y?y(y)=1y2+C，故u(x,y)=1x2+2xy+1y2+C222?y?x?y?x?x?x由?u=3cos3ycos2x+'(y)及?u=Q=3cos3ycos2x得，'(y)=0?y?y(y)=C，故u(x,y)=sin3ycos2x+C?y?x?y?x由?u=p=2xcosyy2sinx，得?x通解为xeyy2=C由?u=x2siny+2ycosx+'(y)及?u=Q=2ycosxx2siny得，'(y)=0?y?y(y)=C，故u(x,y)=x2cosy+y2cosx+Cx2,x?yx2?x由?u=p=y，得u(x,y)=x2,x?yx2?x由?u=p=y，得u(x,y)=jydx=y+(y)?xx2x2x由?u=1+'(y)及?u=Q=1得，'(y)=0?yx?yx(y)=C，故u(x,y)=y+Cx(1)?P?Q=12xy=,=12xy=,故为全微分方程。?x?x由?u=6x2y+'(y)及?u=Q=6x2y+4y2得'(y)=4y2，故(y)=4y3+C?y?y3yyC3(2)?P?Q=ey==ey=,故为全微分方程。?x由?u=xey+'(y)及?u=Q=xey2y得'(?x由?u=xey+'(y)及?u=Q=xey2y得'(y)=2y，故(y)=y2+C?y?y3(3)?P?Q?9=2e29=?p,故为全微分方程。?9?9(4)?P?Q斯公式1(1)业业爪_25(2)业业0(3)业业0000003=冗2(4)业业(5)yzyzS'1SLx?2y??2??2xDXYs333L133x133y133zyzzxxyLxyzLxyz3yxz3yxzyz2DL(1,1,3) divA0ii2．证明：场力沿路径L所作的功为W=j-kxdx-kydy，要证明场力所作的功与所Lrr3取的路径无关，只需证明上面的积分与路径无关，显然，半平面x>0是单连通域。P=