湖北省高三下学期模拟考试(理)数学试卷-带答案解析

第第页湖北省高三下学期模拟考试(理)数学试卷-带答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．设集合，则(

)A． B． C． D．2．设复数满足，则的虚部为（

）A． B． C． D．3．整数除以7的余数为（

）A．6 B．5 C．3 D．14．若三个数成等差数列，则圆锥曲线的离心率为（

）A． B．C． D．5．设且，若对恒成立，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．6．圆C1：(x-2)2+(y-4)2＝9与圆C2：(x-5)2+y2＝16的公切线条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．47．已知四面体ABCD的三组对棱的长分别相等，依次为3，4，x，则x的取值范围是A． B． C． D．8．设点D为的边AB上一点，点P为内一点，且分别满足关系，，，则的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列说法错误的是（

）A．一对夫妇生2个小孩，恰好一男一女的概率为B．掷一颗骰子2次，两次向上的点数相同的概率为C．若，为两个任意事件，则事件对立事件是事件，都发生D．试验次数足够多，事件发生的频率其实就是事件发生的概率10．已知双曲线过点且渐近线方程为，是双曲线的焦点，则下列结论正确的是（

）A．的方程为；B．的离心率为2；C．是双曲线上一点，且，则；D．直线与只有一个公共点.11．已知，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．12．如图，在正方体中，点在线段上运动，有下列判断，其中正确的是（

）A．异面直线与所成角的取值范围是B．三棱锥的体积不变C．平面平面D．若，则的最小值为三、填空题13．若命题“，使得”是真命题，则实数a的取值范围是_______．14．现有个小球和个小盒子，下面的结论正确的是____________.①若个不同的小球放入编号为、、、的盒子中（允许有空盒），则共有种放法；②若个相同的小球放入编号为、、、的盒子中，且恰有两个空盒的放法共有种；③若个不同的小球放入编号为、、、的盒子中，且恰有一个空盒的放法共有种；④若编号为、、、的小球放入编号为、、、的盒子中，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有种.15．已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前项积，则的最大值为______．四、双空题16．已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上，且，，，则的标准方程为___________；若过点的直线与椭圆交于两点，且点关于点对称，则的方程为___________.五、解答题17．已知数列满足(1)求数列的通项公式(2)记，求数列的前项和18．如图，在三棱柱中，AC＝BC，四边形是菱形，，点D在棱上，且．(1)若，证明：平面平面ABD．(2)若，是否存在实数，使得平面与平面ABD所成得锐二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19．在中，角所对的边分别，已知且.(1)求角的大小；(2)若是的中点，，求面积的最大值.20．学生考试中答对但得不了满分的原因多为答题不规范，具体表现为：解题结果正确，无明显推理错误，但语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等，记此类解答为“类解答”．为评估此类解答导致的失分情况，某市考试院做了项试验：从某次考试的数学试卷中随机抽取若干属于“类解答”的题目，扫描后由近千名数学老师集体评阅，统计发现，满分12分的题，阅卷老师所评分数及各分数所占比例如下表所示：教师评分（满分12分）11109各分数所占比例某次数学考试试卷评阅采用“双评＋仲裁”的方式，规则如下：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分．（假设本次考试阅卷老师对满分为12分的题目中的“类解答”所评分数及比例均如上表所示，比例视为概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响；考生最终所得到的实际分数按照上述规则所得分数计入，不做四舍五入处理）．（1）本次数学考试中甲同学某题（满分12分）的解答属于“类解答”，求甲同学此题最终所得到的实际分数的分布列及数学期望；（2）本次数学考试有6个解答题，每题满分12分，同学乙6个题的解答均为“类解答”．①记乙同学6个题得分为的题目个数为，，计算事件“”的概率．②同学丙的前四题均为满分，第5题为“类解答”，第6题得6分．以乙、丙两位同学解答题总分均值为依据，谈谈你对“类解答”的认识．21．已知抛物线的焦点为，且过点与轴垂直的直线截抛物线所得弦长为4.（Ⅰ）求（Ⅱ）当动直线与抛物线相切与点，且与直线相交于点，求证：为直角三角形.22．在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，其中shx＝，chx＝分别称为双曲正弦、余弦函数．(1)若对任意x∈R恒成立，求实数λ的取值范围．(2)若a＞0，存在，使得成立，试比较a﹣1与(e﹣1)lna的大小，并证明你的结论．参考答案与解析1．B【分析】根据对数不等式解法求出集合A，根据二次不等式解法求出集合B，从而根据集合补集和并集的概念即可得到答案．【详解】或则．故选：B．2．C【分析】通过解方程组求得，进而求得的虚部.【详解】依题意，两式相加并化简得所以，两边乘以得所以的虚部为.故选：C3．A【分析】变形55＝56﹣1，利用二项式定理展开即可得出答案．【详解】解：因为能被7整除所以除以7的余数为6.故选：A.4．D【分析】先根据等差中项求出，再套用离心率公式即可求解.【详解】因为，所以，解得所以则所以故选：D5．D【分析】由题设知在恒成立，结合正弦函数、对数函数性质可得，再根据正弦、对数函数的区间单调性及恒成立求参数范围.【详解】由题设，即在恒成立当时，上，不满足题设所以，此时在上递减，递增要使不等式恒成立，则，即综上.故选：D6．B【分析】根据题意，求出两圆的圆心，半径及圆心距，分析可得两圆相交，由此分析可得答案．【详解】根据题意，圆C1：(x-2)2+(y-4)2＝9，其圆心为(2，4)，半径R＝3圆C2：(x-5)2+y2＝16，其圆心为(5，0），半径r＝4圆心距|C1C2|5，则有r-R＜|C1C2|＜r+R，所以两圆相交所以两圆有2条共切线；故选：B．7．B【分析】作出图形，设，，四面体可以由和在同一平面的△沿着为轴旋转构成，利用数形结合能求出的取值范围．【详解】解：如图所示第一排三个图讨论最短；第二排三个图讨论最长设，，四面体可以由和在同一平面的△沿着为轴旋转构成第一排，三个图讨论最短：当向趋近时，逐渐减少，，可以构成的四面体；当时构成的四面体，不满足题意；所以满足题意的四面体第三对棱长大于第二排，三个图讨论最长：当向趋近时，逐渐增大，，可以构成的四面体；当时构成的四面体，不满足题意；所以满足题意的四面体第三对棱长小于；综上，，．故选B．【点睛】本题考查了四面体中边长的取值范围问题，也考查了推理论证能力，属于难题．8．B【分析】根据向量关系得到，，从而得到两个三角形的面积之比，利用基本不等式可求其最大值.【详解】，，所以又所以的高：的高，，当且仅当，取等号.当时，取得最大值.故选：B.【点睛】本题考查向量的线性运算以及利用基本不等式求最值，此题关键是根据要求解的面积之比去化简向量关系，从而得到所需的线段长度的比值，本题属于中档题.9．AD【分析】由题意得出基本事件的个数由古典概型求概率可判断AB，根据和事件、互斥事件、对立事件的概念判断C，由频率与概率的关系判断D.【详解】对于A，一对夫妇生2个小孩，共有（男，男），（女，女），（男，女），（女，男）四个基本事件，由古典概型可知，恰好一男一女的概率为，故A错；对于B，掷一颗骰子2次出现的点数为基本事件，共36个，其中两次点数相同的共有，6个基本事件，故由古典概型可知，故B正确；对于C，和事件发生，就是，事件至少一个发生，它的对立事件就是，事件都不发生，即事件，都发生，故C正确；对于D，试验次数足够多，事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近，不一定是事件发生的概率，故D错误.故选：AD10．BD【分析】根据给定条件求出双曲线的方程，再逐一分析各选项，计算判断作答.【详解】因双曲线的渐近线方程为，则设双曲线的方程为而点在双曲线上，于是得，即，双曲线的方程为，A错误；由，，得，双曲线的离心率为，B正确；由双曲线的定义，，则或，C错误；直线与双曲线的渐近线平行，直线与只有1个公共点，D正确.故选：BD11．ABC【分析】将指数转化为对数可得，，利用换底公式计算的值可判断A；根据对数函数的单调性判断的范围即可得的范围，再由即可得的范围可判断B；由对数的运算可得，利用函数的单调性求出得范围可判断C；根据的范围即可得以及的范围可判断D，进而可得正确选项.【详解】由可得：，对于A：，所以，故选项A正确；对于B：，即，所以，即所以，所以，，故选项B正确；对于C：，所以，令则在上单调递增所以，故选项C正确；对于D：，，所以，所以，故选项D不正确故选：ABC.12．BCD【分析】根据为中点时，异面直线与所成角为判断A；根据判断B；证明平面即可判断C；将平面沿展开使其与平面重合时，再求的距离即可判断D.【详解】解：对于A选项，由正方体的性质易知，为等边三角形所以，当为中点时，所以，此时，异面直线与所成角为，故A选项错误；对于B选项，由正方体的性质易知平面，平面，侧面为正方形所以，，由于平面所以平面设到平面的距离为，则因为所以，三棱锥的体积，故正确；对于C选项，由正方体的性质易知平面，平面所以，，由于，平面所以平面，平面所以，同理证得由于，平面所以平面，因为平面所以平面平面，故C选项正确；对于D选项，根据题意，将平面沿展开使其与平面重合时，如图因为，所以，所以，故正确；故选：BCD13．【分析】根据题意由即可求出.【详解】，使得，解得或，即实数a的取值范围是.故答案为：.14．②③④【分析】由分步乘法计数原理可判断①的正误；由分类加法、分步乘法结合排列、组合的知识可判断②的正误；由分步乘法、排列、组合知识可判断③的正误；利用枚举法可判断④的正误.【详解】对于①，若个不同的小球放入编号为、、、的盒子中（允许有空盒），每个小球有种放法，共有种不同的放法，①错误；对于②，将个相同的小球放入编号为、、、的盒子中，且恰有两个空盒则一个盒子放个小球、另一个盒子放个小球或两个盒子均放个小球此时，共有种不同的放法，②正确；对于③，将个不同的小球放入编号为、、、的盒子中，且恰有一个空盒则两个盒子各放个小球，另一个盒子放个小球，此时，共有种放法，③正确；对于④，将编号为、、、的小球放入编号为、、、的盒子中，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法为：、、、、、、、、，共种，④正确.故答案为：②③④.【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.15．【分析】先求出的通项公式，利用函数的性质即可求得最值，以及取得最值时的值，在求乘积.【详解】解：因为数列为等比数列，，公比所以所以，当时，最大即，解得：所以，当或时，最大，为.故答案为：16．

【分析】记椭圆的半焦距为，根据椭圆的定义，由题中条件，得到；再由勾股定理，根据，求出，得到，即得椭圆方程；设，，根据题中条件，由中点坐标公式，得出，再将坐标代入椭圆方程，两式作差整理，求出直线的斜率，即可求出直线方程.【详解】记椭圆的半焦距为根据椭圆的定义可得，，则又，则，所以则；所以，因此椭圆的方程为；设，，因为点关于点对称，所以；由题意可得，两式作差可得则所以直线的方程为，即.故答案为：；.【点睛】思路点睛：求解椭圆中的中点弦问题时，一般需要先设弦端点的坐标，代入椭圆方程，两式作差整理，求出弦所在直线方程，进而即可求解.17．(1)；(2).【分析】（1）由题可得的奇数项和偶数项分别是等比数列，利用等比数列的通项公式即得；（2）由题可得，然后根据裂项相消法即得.【详解】（1）由，可得两式相除得所以的奇数项和偶数项分别是以4为公比的等比数列由，，可得当为奇数时，当为偶数时，所以；（2）因为所以所以.18．(1)证明见解析(2)存在，．【分析】(1)取AB的中点O，连接，OC．利用三角形高线与对应底边垂直得出AB⊥平面．然后再证明平面ABD，最后利用面面垂直的判定即可证明；(2)建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，分别求出平面平面和平面ABD的法向量，利用向量的夹角公式即可求解.【详解】（1）证明：取AB的中点O，连接，OC．因为四边形是菱形，且，所以，则．因为O为AB的中点，所以．因为，且O为AB的中点，所以AB⊥OC．因为，平面，且，所以AB⊥平面．因为平面，所以．因为，AB，平面ABD．且，所以平面ABD．因为平面，所以平面平面ABD．

（2）因为，所以，所以AC⊥BC．因为O是AB的中点，所以．因为四边形是菱形，且∠，所以是等边三角形．因为O是AB的中点，所以．因为，所以，则OB，OC，两两垂直，故以O为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，，，，，故，，，，.因为，所以，所以．设平面的法向量为则，令，得．设平面ABD的法向量为则，令，得．设平面与平面ABD所成的角为，则解得或，故存在或，使得平面与平面ABD所成角的余弦值是．19．(1)(2)【分析】（1）根据向量共线坐标满足公式列出方程，结合正弦定理化简，即可得到结果；（2）由，结合向量的模长公式，根据基本不等式以及三角形的面积公式，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）由且得：由正弦定理得又，即；（2）由，得到则，化简得，当且仅当时，等号成立面积，即面积的最大值为；20．（1）分布列见解析；期望为；（2）①；②答案见解析．【分析】（1）根据题中规则：规则如下：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分．可得随机变量的取值为9，9.5，10，10.5，11，利用表格中的概率值，求出各种情况下的概率，即可得到分布列，以及数学期望；（2）①事件发生的次数，“”相当于事件恰好发生3次，那么就可以求出其概率；②分别求出乙，丙同学的均值，比较大小即可.【详解】（1）根据题意，随机变量的取值为9，9.5，10，10.5，11．设一评、二评、仲裁所打的分数分别是，，故的分布列为99.51010.511．（2）①方法一事件“”可分为，；，；，；，四种情况，其概率为．方法二记“或”为事件，6次实验中，事件发生的次数，“”相当于事件恰好发生3次，故概率为：．②由题意可知：乙同学得分的均值为，丙同学得分的均值为：．显然，丙同学得分均值更高，所以“会而不对”和不会做一样都会丢分，在做题过程中要规范作答，尽量避免“类解答”的出现．21．(Ⅰ)2（Ⅱ）详见解析【分析】（Ⅰ）由题意将代入，得弦长，所以解得.（Ⅱ）由题意，当直线斜率不存在或斜率为0时，显然不成立，设，可得B点坐标，再与抛物线联立，求得A点坐标，利用=0，可证得结论.【详解】（Ⅰ）由题意，将代入，得，所以解得.(Ⅱ)由题意，当直线斜率不存在或斜率为0时，显然不成立，设，联立得由题意，得设，则，即，又易得，则，∴=所以，即为直角三角形.【点睛】本题考查了抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系，向量数量积的坐标运算，属于中档题．22．(1)；(2)答案见解析﹒【分析】（1）不等式左边构造为函数g(x)，g(x)为偶函数，∴不等式恒成立转换为g(x)的最大值小于等于零，故对g(x)的单调性进行讨论，求其最大值；（2）该存在性问题转化为，故对函数y＝chx和函数h(x)＝的单调性进行讨论，分别求它们的最小值和最大值，由此即可得到参数a的取值范围；要比较a﹣1与(e﹣1)lna的大小，构造函数t(a)＝(e﹣1)lna﹣a＋1，根据前步求出的a的范围求其单调性进行研究﹒(1)设∵g(x)为定义域R上的偶函数，∴只需x≥0时g(x)≤0即可；∵g(0)＝0，，g′(0)＝0；令，则．①当时，m′(x)≤0，∴对任意x≥0，g′(x)单调递减，g′(x)≤g′(0)＝0，g(x)单调递减；∴对任意x≥0，g(x)≤0恒成立；②当λ≥0时，m′(x)＞0，∴任意x≥0，g′(x)单调递增，g′(x)≥g′(0)＝0，g(x)单调递增；∴对任意x≥0，g(x)≥0恒成立，不满足题意；③当时，若，则m′(x)＞0，g′(x)单调递增，g′(x)＞g′(0)＝0g(x)单调递增，g(x)＞g(0)＝0，不满足题意；综上知，实数λ