【人教A版】2018版必修二第1章《空间几何体》导学案一

第一章空间几何体

§1.1空间几何体的结构

第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征

［学习目标］1.通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体——棱柱、棱锥、棱台的结构

特征2能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来判断、描述现实生活中的实物模型.

尹知识梳理自主学习

知识点一空间几何体

1.概念：如果只考虑物体的形状和大小,而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的窒

间图形叫做空间几何体.

2.多面体与旋转体

类别定义图示

DC

曜d4A

多面体由若干个平面多边形围成的几何体

Jr

4AJ

/

由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形*

旋转体岫

成的封闭几何体，其中定直线叫做旋转体的轴

知识点二棱柱、棱锥、棱台的结构特征

多面体定义图形及表示相关概念分类

）

有两个面互相壬或r1“按底面多边

底面（底）：两个互相平行

红，其余各面都是形的边数

棱柱的面.

四边形,并且每相分：三棱柱、

邻两个四边形的公如图可记作：棱柱侧面：其余各面.四棱

共边都互相平行,ABCDEF-A'B'侧棱：相邻侧面的公共边.柱、……

由这些面所围成的C1D'E'F'顶点：侧面与底面的公共

多面体叫做棱柱.*

有一个面是多边点

底面（底）：多边形面.按底面多边

及，其余各面都是&2-/；Dv帧面

侧面：有公共顶点的各个形的边数

有一个公共顶点的

棱锥三角形面.分:三棱锥、

三角形,由这些面AH

如图可记作，棱锥侧棱：相邻侧面的公共边.四棱

所围成的多面体叫

S-ABCD顶点：各侧面的公共顶点.锥、……

做棱锥.

由三棱锥、

是

上底面：原棱锥的截面.

四棱锥、五

用一个平行于棱锥下底面：原棱锥的底面.

棱锥…截得

底面的平面去截棱侧面：其余各面.

棱台:皿的棱台分别

锥，底面与截面之

如图可记作：棱台

侧棱：相邻侧面的公共边.叫做三棱

间的部分叫做棱台.顶点：侧面与上（下）底面

ABCD-A'B'C台、四棱台、

的公共顶点.

D'五棱台……

思考（1）棱柱的侧面一定是平行四边形吗？

（2）棱台的上下底面互相平行，各侧棱延长线一定相交于一点吗？

答（1）根据棱柱的概念侧棱平行、底面平行可知，棱柱的侧面一定是平行四边形.

（2）根据棱台的定义可知其侧棱延长线一定交于一点.

题型探究重点突破

题型一棱柱的结构特征

例1下列说法中，正确的是（）

A.棱柱中所有的侧棱都相交于一点

B.棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面

C.棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形

D.棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形

答案D

解析A选项不符合棱柱的特点；B选项中，如图①，构造四棱柱/BCD—小81Go1，令四

边形是梯形，可知平面N85小〃平面。CGO”但这两个面不能作为棱柱的底面；C

选项中，如图②，底面可以是平行四边形；D选项是棱柱的特点.故选D.

反思与感悟棱柱的结构特征：

(1)两个面互相平行：

(2)其余各面是四边形；

(3)每相邻两个四边形的公共边互相平行.

求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征.

跟踪训练1下列关于棱柱的说法塔送的是()

A.所有的棱柱两个底面都平行

B.所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互相平行

C.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱

D.棱柱至少有五个面

答案C

解析对于A、B、D,显然是正确的；对于C,棱柱的定义是这样的：有两

个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互/

相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两

个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱.如图所示的

几何体就不是棱柱，所以C错误.

题型二棱锥、棱台的结构特征

例2下列关于棱锥、棱台的说法：

①棱台的侧面一定不会是平行四边形；

②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；

③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.

其中正确说法的序号是.

答案①②

解析①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；

②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；

③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥./

反思与感悟判断棱锥、棱台形状的两个方法

⑴举反例法：

结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.

(2)直接法:

棱锥棱台

定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面

看侧棱相交于一点延长后相交于一点

跟踪训练2下列说法中，正确的是()

①棱锥的各个侧面都是三角形；

②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥;

③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；

④棱锥的各侧棱长相等.

A.①②B.①③C.②③D.②④

答案B

解析由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；有一个面是多边形，其余各

面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故②错;

四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作底面的几何体都是三

棱锥，故③正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故④错.

题型三多面体的表面展开图

例3画出如图所示的几何体的表面展开图.

(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或

者是亲手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底

面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图.

(2)已知展开图：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把

上述过程逆推.同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多

个表面展开图.

跟踪训练3如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？

解由几何体的侧面展开图的特点,结合棱柱、棱锥、棱台的定义，可把侧面展开图还原为

原几何体，如图所示:

所以（1）为五棱柱；（2）为五棱锥；（3）为三棱台.

解题技巧

截面周长最小问题

例4如图所示，在侧棱长为2小的正三棱锥/一48。中，

过点/作截面4EF分别交，8,-C于点E,F,求截面△/£1尸周长的最小值.

分析将正三棱锥沿侧棱弘展开一求截面周长转化为求线段长-

利用正三棱锥的性质求解

解将三棱锥/一/8C沿侧棱阳剪开，将其侧面展开图平铺在一个平

面上，如图所示，则的周长=4E+EF+E4i.

因为ZE+E/+物］》/小，

所以线段力小（即E,F,小四点共线时）的长即为所求△ZEF周长的

最小值.

作以）U4,垂足为点。.

由VA^VA\,知。为/小的中点.

由已知N4-8=/8W=NC〃l|=40。,

得乙4以)=60°.

p;

在RtAjra中，AD=VAsm60°=2^3X^-=3,

即AA}=2AD=6.

所以截面周长的最小值是6.

解后反思求几何体表面上两点间的最小距离的步歌

(1)将几何体沿着某棱剪开后展开，画出其侧面展开图；

(2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题；

(3)结合已知条件求得结果.

〒当堂检测自查自纠

1.下列命题中，真命题是()

A.顶点在底面上的投影到底面各顶点的距离相等的三棱锥是正三棱锥

B.底面是正三角形，各侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥

C.顶点在底面上的投影为底面三角形的垂心的三棱锥是正三棱锥

D.底面是正三角形，并且侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥

答案D

解析对于选项A,到三角形各顶点距离相等的点为三角形外心，该三P

角形不一定为正三角形，故该命题是假命题；对于选项B,如图所示，/“浮

△48C为正三角形，若R4=PB=AB=BC=ACrPC,△*8,△P2C,

I)

△R1C都是等腰三角形，但它不是正三棱锥，故该命题是假命题；

对于选项C,顶点在底面上的投影为底面三角形的垂心，底面为任意三角形皆可，故该命题

是假命题；

对于选项D,顶点在底面上的正投影是底面三角形的外心，又因为底面三角形为正三角形,

所以外心即为中心，故该命题是真命题.

2.下列三个命题：

①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；

②两个底面平行且相似，其余各面都是菱形的多面体是棱台；

③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.

其中，正确的有()

A.0个B.1个C.2个D,3个

答案A

解析①中的平面不一定平行于底面，故①错；②中侧面是菱形，所以侧棱互相平行，延长

后无交点，故②错；③用反例验证(如图)，故③错.

3.如图所示，不是正四面体（各棱长都相等的三棱锥）的展开图的是（)

①②③④

A.①③B.②④C.③④D.①②

答案C

解析可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①@可折成正四面体，③④不论选哪一个

三角形作底面折叠都不能折成正四面体.

4.下列几何体中，是棱柱，是棱锥，是棱台（仅填相应序号）.

答案①③④⑥⑤

解析结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台.

5.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾

斜后水槽中的水形成的几何体的形状是.

答案四棱柱

解析由于倾斜角度较小，所以倾斜后水槽中水形成的几何体的形状应为四棱

柱.

|-课堂小结-----------------------------------1

1.棱柱、棱锥、棱台的关系

在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来《以三棱柱、三棱

锥、三棱台为例）.

上底面馆小为一个点

顶点拓展为与下底

面平行，相似但不

全等的面

2.（1）各种棱柱之间的关系

①棱柱的分类

j去J正棱柱

棱柱（直址柱［一般的直棱柱

〔斜棱柱

②常见的几种四棱柱之间的转化关系

一面是平行四边形「平行六面体1—横垂直于底面

M——»直平行

回I」枝*jti•底国.O棣柱|底面是平行B边于1六面体

底—足姐*£|“I各枝长相一」一1

1长万体1叶正万体1

（2）棱柱、棱锥、棱台在结构上既有区别又有联系，具体见下表

平行于底面

名称底面侧面侧棱高

的截面

平行且全等的

斜棱柱平行四边形平行且相等与底面全等

两个多边形

棱平行且全等的平行、相等且

直棱柱矩形等于侧棱与底面全等

柱两个多边形垂直于底面

平行且全等的平行、相等且

正棱柱全等的矩形等于侧棱与底面全等

两个正多边形垂直于底面

全等的等腰有一个公共

正棱锥一个正多边形过底面中心与底面相似

棱三角形顶点且相等

锥有一个公共

其他棱锥一个多边形三角形与底面相似

顶点

平行且相似的全等的等腰相等且延长

正棱台与底面相似

棱两个正多边形梯形后交于一点

台平行且相似的延长后交于

其他棱台梯形与底面相似

两个多边形~\点

产课时精练

一、选择题

1.下列四个命题中，真命题有（）

①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体;

②底面是矩形的直平行六面体是长方体；

③直四棱柱是直平行六面体；

④直平行六面体是长方体.

A.1个B.2个C.3个D,4个

答案B

解析根据平行六面体的定义，知①为真命题；根据长方体的定义，知②为真命题；直平行

六面体是侧棱与底面垂直的平行六面体，所以其底面必是平行四边形，而直四棱柱的底面不

一定是平行四边形，所以③为假命题；同理，长方体是底面为矩形的直平行六面体，所以④

为假命题.

2.一般棱台不具有的性质是（）

A.两底面相似B.侧面都是梯形

C.侧棱都相等D.侧棱延长后都交于一点

答案C

解析当棱台是斜棱台时其侧棱不全相等.

3.在正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么

一个正五棱柱对角线的条数为（）

A.20B.15C.12D.10

答案D

解析正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面，每个平面可得到正五棱柱的两条对

角线，5个平面共可得到10条对角线，故选D.

4.某棱台的上、下底面对应边之比为1:2,则上、下底面面积之比是（）

A.1：2B.1：4C.2：1D,4：1

答案B

解析因为棱台的上下底面相似，所以上下底面面积之比等于边长比的平方.

5.用一个平行于棱锥底面的平面去截这个棱锥，截得的棱台上、下底面的面积比为1：4,且

截去的棱锥的高是3m,则棱台的高是（）

A.12cmB.9cmC.6cmD.3cm

答案D

解析由棱锥、棱台的性质可知，棱台的上、下底面相似.又因为上、下底面的面积比为1:4,

所以上、下底面的边长比为1：2,所以截去的小棱锥与原大棱锥的高之比为1：2,则棱台

的高是3cm.

6.某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒（如图），则这个正方体礼品盒的表面展开

图应该为（）

答案A

解析两个国不能并列相邻，B、D错误；两个区］不能并列相邻，C错误，故选A.也可

通过实物制作检验来判定.

7.如图，往透明塑料制成的长方体ABCD-A.B^D,容器内灌进一些水，将容器底面一边

8C固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法：

①水的部分始终呈棱柱状；

②水面四边形EFGH的面积不改变；

③当EG441时，/E+8尸是定值.

其中，正确的说法是（）

A.①②B.①C.①②③D.①③

答案D

解析显然水的部分呈三棱柱或四棱柱状，故①正确；容器倾斜度越大，水面四边形

的面积越大，故②不正确；由于水的体积不变，四棱柱48'£一OCGH的高不变，所以梯形

/2RE的面积不变，所以4E+8F是定值，故③正确.所以四个命题中①③正确.故选D.

二、填空题

8.如图，M是棱长为2cm的正方体N8CQ-小81G2的棱CG的中点，沿正方体表面从点力

到点M的最短路程是cm.

答案

解析由题意，若以2c为轴展开，则M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边

的长度分别为2cm,3cm,故两点之间的距离是［15cm.若以8丛为轴展开，则/,A/两点

连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4,故两点之间的距离是，行cm.

故沿正方体表面从点力到点M的最短路程是仃cm.

9.下列叙述正确的是.（只填序号•）

①四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形；

②三棱锥的四个面都可以是直角三角形；

③用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；

④两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台.

答案①②

解析如图，当四棱锥的底面是一个矩形，并且一条侧棱垂直于底面时，四棱锥的四个侧面

就可以都是直角三角形，所以①是正确的；

如图，当三棱锥满足侧棱ND,底面。C8（其中△BCD中，/8CZ）是直角）时，三棱锥的四个

面就都是直角三角形，所以②是正确的；

③中的平面不一定平行于底面，所以③是错误的；

若④中多面体的侧棱延长后不能交于一点，则相应的多面体就不是棱台，所以④是错误的.

10.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是

.（写出所有正确结论的编号）

①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形

的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.

答案①③④⑤

解析在正方体ABCDTBCQi上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4

个顶点，这些几何体是：①矩形，如四边形NCG4；③有三个面为等腰直角三角形，有一

个面为等边三角形的四面体，如/一小8D；④每个面都是等边三角形的四面体，如/—

⑤每个面都是直角三角形的四面体，如/一小。C,

所以填①③④⑤.

11.如图所示，在三棱锥S-/8C中，SA=SB=SC=\,ZASB=ZASC=ZBSC=30°,一只

蚂蚁从点/出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到/点，则蚂蚁爬过的最短路程为.

答案也

解析如图所示，将三棱锥S-48C沿S4剪开，连接,则/，为最短距离，ZASA'

=90°,SA=SA'=1,：.AA'=也.

三、解答题

12.如图，在边长为2a的正方形45CC中，E,F分别为4B,8。的中点，沿

图中虚线将3个三角形折起，使点4、B、C重合，重合后记为点P.

问：（1）折起后形成的几何体是什么几何体？

（2）这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？

（3）每个面的三角形面积为多少？

解（1）如图，折起后的几何体是三棱锥.

（2）这个几何体共有4个面，其中△£）所为等腰三角形，尸为等腰直角三角形，XDPE

和△。尸尸均为直角三角形.

__i_2

SAO尸尸=SAOPE=5X2aX

13.长方体N8CDY囚GG（如图所示）中，AB=3,BC=4,小4=5,现有一

甲壳虫从4出发沿长方体表面爬行到G来获取食物，试画出它的最短爬行

路线，并求其路程的最小值.

解把长方体的部分面展开，如图所示.

AB

对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AQ的长分别为晒、市5、病,

由此可见乙是最短线路,所以甲壳虫可以先在长方形小内由4到E,

再在长方形BCCB内由E到G，也可以先在长方形AA^D内由4到F,

再在长方形OCGA内由尸到G,其最短路程为

第2课时圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征

［学习目标］1.认识圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.2.认识柱、锥、台、球及其简单组合

体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.

〒知识梳理自主学习

知识点一圆柱的结构特征

1.定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的重转体叫做圆柱.

2.相关概念（图1）.

3.表示法：圆柱用表示它的轴的字母表示,图中圆柱表示为圆柱O'O.

-例而

一母线

思考圆柱的母线有多少条？它们之间有什么关系？

答圆柱的母线有无数条；相互平行.

知识点二圆锥的结构特征

1.定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋

转体叫做圆锥.

2.相关概念（图2）.

3.表示法：圆锥用表示它的轴的字母表示,图中圆锥表示为圆锥SO.

思考圆锥过轴的截面叫做轴截面，那么圆锥的轴截面是什么形状？

答等腰三角形.

知识点三圆台的结构特征

1.定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.

2.相关概念（图3）.

3.表示法：圆台用表示轴的字母表示,图中圆台表示为圆台0。'.

喧底面)r&'h

圆台

图3

思考圆台的两条母线所在的直线一定相交吗？

答一定.由于圆台是由圆锥截得的，故两条母线所在的直线一定相交.

知识点四球的结构特征

1.定义：以半圆的直饯所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.

2.相关概念(图4).

3.表示法：球常示表示球心的字母表示,图中的球表示为建

图4

思考球能否由圆面旋转而成？

答能.圆面以直径所在的直线为旋转轴，旋转半周形成的旋转体即为球.

知识点五简单组合体

1.概念：由简里州体组合而成的几何体叫做简单组合体.常见的简单组合体大多是由具有柱、

锥、台、球等几何结构特征的物体组成的.

2.基本形式：一种是由简单儿何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.

声题型探究重点突破

题型一旋转体的结构特征

例1判断下列各命题是否正确：

(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；

(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；

(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰

梯形；

(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球.

解(1)错.由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴.

(2)错.直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简

单组合体，如图所示.

(3)正确.

(4)错.应为球面.

反思与感悟1.圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边(弦)旋转而成的几何体，

必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求.

2.只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断

与这些概念有关的命题的正误.

跟踪训练1下列命题正确的是.(只填序号)

①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；

②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；

④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转180。形成的曲面围成的几

何体是圆锥；

⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内；

⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段；

⑦球面上任意三点可能在一条直线上；

⑧用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.

答案④⑥⑧

解析①以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形

垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台；③它们的底面为圆面；④正确；

作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四点就在球面上，故⑤错误；

根据球的半径定义，知⑥正确；球面上任意三点一定不共线，故⑦错误；用一个平面去截球，

一定截得一个圆面，故⑧正确.

题型二简单组合体的结构特征

例2如图(1)、(2)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体

组成的？

(1)(2)

解旋转后的图形如图所示.其中图①是由一个圆柱和两个圆台。2。3，。3。4组成的;

图②是由一个圆锥。5。4,一个圆柱。3。4及一个圆台。|。3中挖去圆锥02a组成的.

反思与感悟1.平面图形以一边所在直线为轴旋转时，要过有关顶点向轴作垂线，然后想象

所得旋转体的结构和组成.

2.必要时作模型培养动手能力.

跟踪训练2已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的腰，如图所示.分别以AB,BC,CD,

DA所在的直线为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征.

AD

解(1)以边所在的直线为轴旋转所得旋转体是圆台，如图①所示.

(2)以8C边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一组合体：下部为圆柱，上部为圆锥，如图②

所示.

(3)以8边所在的直线为轴旋转所得旋转体为一个组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再

挖去一个小圆锥，如图③所示.

(4)以AD边所在的直线为轴旋转得到一个组合体：一个圆柱上部挖去一个圆锥，如图④所示.

题型三有关几何体的计算问题

例3如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台

上、下底面的面积之比为1：16,截去的圆锥的母线长是3cm,求圆台O'O

的母线长.

解设圆台的母线长为/cm,由截得圆台上、下底面面积之比为1：16,可

设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r.

过轴SO作截面，如图所示.

则△SO'A'S/\SO4,SA'=3cm.

.SA，0，A'

SA=OA-

•3_rJ

,*3+/_4r_4-

解得/=9(cm),

即圆台的母线长为9cm.

反思与感悟用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面

全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的

相似比，构设相关几何变量的方程组而得解.

跟踪训练3圆台的上、下底面半径分别为5cm,10cm,母线长48=20cm,从圆台母线

的中点河拉一条绳子绕圆台侧面转到点4求：

(1)绳子的最短长度;

(2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离.

解(1)如图所示，将侧面展开，绳子的最短距离为侧面展开图中

,,.八10-5

的长度，8=f乂360。=90。.

设OB'=Lf,

贝L'=20cm.

.\OA=40cm,0M=30cm.

AAM=ylOA2+O^=50cm.

即绳子最短长度为50cm.

(2)作力”于点0,交瓠BB'于点P,

则尸0为所求的最短距离.

*；OAOM=AMOQ,

/.00=24cm.

故尸0=O0—OP=24-2O=4(cm),即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4cm.

歹当堂检测自查自纠

1.下列几何体是台体的是()

ABD

答案D

解析台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点，B的错误在于截面

与圆锥底面不平行.C是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知D正确.

2.给出下列说法：

①直线绕直线旋转形成柱面；②曲线平移一定形成曲面；③直角梯形绕一边旋转形成圆台；

④半圆绕直径所在直线旋转一周形成球.其中正确的个数为()

A.lB.2C.3D.0

答案A

解析①错，当两直线相交时，不能形成柱面；②错，也可能形成平面；③错，若绕底边旋

转，则形成组合体；④根据球的定义知正确.

3.向高为〃的水瓶中以恒定的速度注水，注满为止，如果注水量-与水深”的函数关系的

图象如图所示，那么水瓶的形状是()

解析令h=?由图象知此时注水体积大于几何体体积的一半，所以B正确.

4.一个圆锥的母线长为20cm,母线与轴的夹角为30。，则圆锥的高为cm.

答案1所

解析〃=20cos30。=1()V§(cm).

5.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为出,则这个圆锥的母线长为.

答案2

解析如图所示，设等边三角形N8C为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母

线长即为的边长，且以谢=冷炉，.•.5=%小,

.故正

确答案为2.

|-课堂小结

1.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.

上底馆小

上底缩J'

上底廿X至顶点猫从为

与下底面交易与底面平行

但不全等的

2.处理台体问题常采用还台为锥的补体思想.

3.处理组合体问题常采用分割思想.

4.重视圆柱、圆锥、圆台的轴裁面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的

思想.

歹课时精练

一、选择题

1用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体可能是（）

A.圆柱B.圆台C.球体D.棱台

答案D

解析圆柱、圆台和球体无论怎样截，截面可能是曲面，也可能是矩形（圆柱），不可能截出

三角形.只有棱台可以截出三角形，故选D.

2.过球面上任意两点力、8作大圆，可能的个数是（）

A.有且只有一个B.一个或无穷多个

C.无数个D.以上均不正确

答案B

解析当过48的直线经过球心时，经过48的截面所得的圆都是球的大圆，这时过4

8作球的大圆有无数个；当直线48不经过球心。时，经过4B,。的截面就是一个大圆，

这时只能作出一个大圆.

3.一个正方体内接于一个球，过球心作--截面，则截面可能的图形是（）

A.①③B.②④C.®®③D.②③④

答案C

解析当截面平行于正方体的一个侧面时得③，当截面过正方体的体对角线时得②，当截面

不平行于任何侧面也不过对角线时得①，但无论如何都不能截出④.

4.一平面截球O得到半径为小cm的圆面，球心到这个平面的距离是2cm,则球的半径是

)

A.9cmB.3cmC.lcmD.2cm

答案B

解析设球的半径为凡根据勾股定理，有（右）2+22=3（cm）.

5.过半径为2的球。表面上一点A作球O的截面，若0A与该截面所成的角是60°,则该截

面的面积是（）

A.nB.27rC.37tD.2y[3TC/

答案A（o

解析如图，可知NO/。'=60°,.".O'A=^OA=1,即截面圆的半\......?一”

径是i,则该截面的面积是兀弋

6.已知球的两个平行截面的面积分别为5兀和8兀，它们位于球心的同一侧，且距离为1,那

么这个球的半径是（）

A.4B.3C.2D.0.5

答案B

解析如图所示，•.•两个平行截面的面积分别为5兀、8兀，.•.两个截面圆的

半径分别为rI=小，/2=2啦.f

•.•球心到两个截面的距离4=、*—片,d2=[F=9，

:.小一（12=邓2-5一7W-8=],：.R2=9,：.R=3.

7.一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的（）

答案B

解析由组合体的结构特征知，球只与正方体的上、下底面相切，而与两侧棱相离，故正确

答案为B.

二、填空题

8.若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8,则该圆锥的高是.

答案2啦

解析设圆锥的底面半径为r,则圆锥的高

/.由题意可知去2厂•qRT—/=8,

.[2=8,:.h=2«

9.一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三

棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截

面，所得截面是下列图形中的，（填序号）

答案③

解析易知截面是一个非等边的等腰三角形，排除①④；等腰三角形的底边是正三棱锥的一

条棱，这条棱不可能与内切球有交点，所以排除②；而等腰三角形的两条腰正好是正三棱锥

两个面的中线，且经过内切球在两个面上的切点，所以正确答案是③.

10.一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图所示，A,B,C是展开I~|

图上的三点，则在正方体盒子中N4BC=.B„

答案90°

解析如图所示，将平面图折成正方体.很明显点4B,C是上底面正

方形的三个顶点，则/Z8C=90。.

11.在半径为13的球面上有/、B、C三点、,其中NC=6,8c=8,/8=10,则球心到经过

这三个点的截面的距离为.

答案12

解析由线段的长度知△/BC是以48为斜边的直角三角形，所以其外接圆的半径r=等=

5,所以M=i2.

三、解答题

12.圆台的两底面面积分别为1,49,平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求

圆台的高被截面分成的两部分的比.

解将圆台还原为圆锥，如图所示.02,a,O分别是圆台上底面、截面和下V

底面的圆心，『是圆锥的顶点，令力2=〃，。2。1="，QO=后，

49+1

h+h1+鱼y[49

hF

h]=4h,

所以

/2=2/?,

即hx:比=2:1.

13.如图所示，已知圆锥SO中，底面半径厂=1,母线长/=4,M为母线

SN上的一个点，且SM=x,从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点

4.求：

(1)绳子的最短长度的平方/X)；

(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；

(3次x)的最大值.

解将圆锥的侧面沿S4展开在平面上，如图所示，则该图为扇形,

弧NT的长度L就是圆。的周长,

••L=2.7tf—2.Tt.

L271

・・・ZASM=7T-jX360°X360°=90°.

2兀/2TIX4

(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的其值为/□=#/+16(0WxW4).

人》)=工序=》2+i6(0WxW4).

(2)绳子最短时，在展开图中作垂足为R,则SR的长度为顶点S到绳子的最短距

离，

在中，

S^SAM=^SASM=^AMSR,

.°CSASM4x―,八

・与氏一二应一一炉干出(°(xW4),

4x

即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为(0WxW4).

+[6

(3)；_Ax)=x2+16(0WxW4)是增函数,

•••/(X)的最大值为｛4)=32.

空间几何体

2空间几何体的三视图和直观图

1.2.1中心投影与平行投影

1.2.2空间几何体的三视图

I学习目标］1.了解中心投影和平行投影2能画出简单空间图形的三视图.3.能识别三视图所

表示的立体模型.

h知识梳理自主学习

知识点一投影的概念及分类

1.投影的定义

由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子,这种现象叫做投影.

其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面.

2.投影的分类

I-中心投影：光山•点向外散射形成的投影

正投影：投影线正时

平行投影；在一

着投影面时的投影

一束平行光线照射

斜投影：投影线斜对

下形成的投影

着投影而时的投影

3.当图形中的直线或线段不平行于投影线时，平行投影都具有下述性质：

①直线或线段的平行投影仍是直线或线段;

②平行直线的平行投影是平行或重合的直线;

③平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长;

④与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等;

⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比.

知识点二三视图的概念及特征

1.定义：光线从几何体的前面向卮面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的正视图;

光线从几何体的左面向方面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的侧视图；光线从

几何体的上面向上面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的俯视图.几何体的正视

图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图,三视图是正投影.

2.基本特征：一个几何体的侧视图和正视图高度一样，俯视图与正视图性度一样，侧视图与

俯视图宽度一样.

思考画三视图时一定要求光线与投影面垂直吗？

答是.由画三视图的规则要求可知光线与投影面垂直.

h题型探究重点突破

题型一中心投影与平行投影

例1下列说法中：

①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点;②空间图形经过中心投影后,

直线还是直线，但平行线可能变成了相交的直线；③两条相交直线的平行投影是两条相交直

线.其中正确的个数为（）

A.OB.lC.2D.3

答案B

解析由平行投影和中心投影的定义可知①正确；空间图形经过中心投影后，直线可能变成

直线，也可能变成一个点，如当投影中心在直线上时，投影为点；平行线有可能变成相交线，

如照片中由近到远物体之间的距离越来越近，最后相交于一点，②不正确；两条相交直线的

平行投影是两条相交直线或一条直线，③不正确.

反思与感悟判断一个几何体的投影是什么图形，先分清楚是平行投影还是中心投影，投影

面的位置如何，再根据平行投影或中心投影的性质来判断.

跟踪训练1已知△N8C,选定的投影面与△N8C所在平面平行，则经过中心投影后所得的

△4'B'C1与AABCl）

A.全等B.相似

C.不相似D.以上都不对

答案B

解析本题主要考查对中心投影的理解.根据题意画出图形，如图所示.

由图易得04，=*B'=C8，=8，C，=℃，=/，C'，则B'C.

题型二画空间几何体的三视图

例2如图是按不同方式放置的同一个圆柱，阴影面为正面，画出其三视图.

解三视图分别如图所示.

反思与感悟画三视图应遵循的原则和注意事项：

(1)务必做到“长对正，高平齐，宽相等”.

(2)三视图的排列方法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯

视图在正视图的正下方.

(3)在三视图中，要注意实、虚线的画法.

(4)画完三视图草图后，要再对照实物图来脸证其正确性.

跟踪训练2螺栓是棱柱和圆柱构成的组合体，如图，画出它的三视图.

奥祖一

正视

解该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的，正视图反映正六棱柱的三个侧面和圆

柱侧面，侧视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图反映该物体投影后是一个正六

边形和一个圆