不定积分习题

习题课(六)内容：不定积分的概念及积分方法基本要求:1.理解原函数与不定积分的概念。.掌握不定积分的性质及不定积分与导数的关系。.掌握不定积分的积分方法..会求简单的有理函数、无理函数、三角函数有理式的不定积分。内容与方法精讲:一.原函数与不定积分的概念原函数定义：在区间I上，若尸(x)=f一.原函数与不定积分的概念原函数定义：在区间I上，若尸(x)=f(x)(即dF(x)=f(x)dx)，称函数F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数。原函数存在的条件:若函数f(x)在区间I上连续。则f(x)在区间I上有原函数.不定积分：函数f(x)在区间I上的所有原函数F(x)+C称为f(x)在区间I上的不定积分，记作1f(x)dx=F(x)+C。不定积分与导数的关系:先积分再求导(或微分)[1f(x)dx]=f(x)，或d[1f(x)dx]=f(x)dx；先求导(或微分)再积分F'(x)dx=F(x)+C,或1dF(x)=F(x)+C.5.5.1kf(x)dx=k1f(x)dx；1[f(x)±g(x)]dx=1f(x)dx±fg(x)dx.基本积分公式(略)三.不定积分的方法三.不定积分的方法.拆项积分法:利用不定积分的线性性，将一个复杂的不定积分拆成若干个基本积分公式中的积分，从而进行积分。(关键体现在拆项上，例如：通过有理化;利用三角公式；在分子上加一项，减一项等都是常用的手段)..凑微分法：1f[叭x)]"(x)dx=1f[叭x)]d叭x)=F[叭x)]+C.

主要用来解决复合函数的积分（确切地说是复合函数与之间变量导数之积的积分）。要熟练常用的几个凑微分式子：Jf(ax+b)dx=—Jf(ax+b)d(ax+b)(a丰0)；a1,Jxn-1f(axn-1+b)dx=——f(axn-1+b)d(axnt+b) (a日中0)；an(3)（4）J于0nx)dx=Jf(Inx)d(3)（4）Jexf(ex)dx=Jf(ex)dex；（5）（（5）（6）（7）Jf(arctanx)dx=Jf(arctanx)darctanx；1+x2J于(arcsinxd=Jf(arcsinx)darcsinx；1—x2Jf(sinx)cosxdx=Jf(sinx)dsinx；（8）Jf(cosx)sinxdx=-Jf(cosx)dcos（8）(9)Jf(tanx)sec2xdxJf(tanx)dtanx；(10)Jf(secx)secxtanxdx=Jf(secx)dsecx；(11)Jf^xdx=Jfx=ln|f(x)1+C.f(x) f(x) U13-换元积分法：I/㈤威二%j力焕）曲M多用于解决无理函数的积分。要掌握几个常用的固定换元:换元名称被积函数特点具体换元公式换元目的三角换元含有上2-x2x=asint去根号化为有理函数或二角函数有理含有、,''x2+a2x=atant含有x=atantx=asect根式换元含有nax+bt=Max+b

根式换元j[ax+b含有甲一Ccx+dj[ax+bt二二 Cicx+d式的积分倒代换分母幕次比分子幕次较高1x=-t降低分母幕次4.分部积分法:Ju(x)v'(x)dx=u(x)v(x)—Ju'(x)v(x)dx或Ju(x)dv(x)=u(x)v(x)—Jv(x)du(x)主要用来解决两类不同的简单函数乘积的积分.关键是掌握好u(x)与v'(x)的选取，原则是v'(x)好找原函数，u(x)的导数简单，积分Ju'(x)v(x)dx积分Ju(x)v'(x)dx容易(至少不难)。要掌握以下几种常见类型的分部积分:被积函数类型条件u(x)取作v'(x)取作目的幂函数*三角函数正整数次幕幂函数三角函数降低幕次幕函数X指数函数正整数次幕幂函数指数函数降低幕次幕函数X对数函数实数次幕对数函数幂函数去掉对数函数幂函数*反三角函数实数次幕反三角函数幂函数去掉反三角函数指数函数X三角函数u(x)与v'(x)任取，用两次分部积分，出现“打回头”四.几类特殊函数的积分例题精讲.若Jf(x)dx=(x-1)ex+C，求函数f(x).解：(本题考核导数与积分的关系.给出不定积分，求被积函数，只需对等式两边求导)对等式两边同时求导，有f(x)=ex+(x-1)ex=xex..若函数f(x)满足f'(tan2x)=sec2x，且f(0)=1,求函数f(x).解：(本题也是考核导数与积分的关系。给出导数，求原函数，只需对等式两边求积分。本题要注意积分变量是tan2X，或先将式子f'(tan2x)=sec2x改写为f(x)=1+x，再两边求积分)对等式两边同时求积分，有f(tan2x)=Jf<tan2x)dtan2x=Jsec2xdtan2x=J(1+tan2x)dtan2x=tan2x+g(tan2x)2+C.所以，f(X)=C+X+1X2,由f(0)=1,得C=1,于是f(X)=1+X+1X2.I-X, X<0,.设函数f(X)[sinx, x>0,求不定积分Jf(X)d解：(这是分段函数求不定积分问题，要注意原函数F(X)=Jf(XMx.在分界点处应连续)当x<0时，F(x)=Jf(x)dx=J(-x)dx=-—+C；^2当X>0时，F(x)=Jf(x)dx=Jsinxdx=-cosx+C。有F(0-)=F(0+)=F(0)，有C=-1+C1，得C1=1+C。所以，Jf(x)dx=<所以，Jf(x)dx=<21-cosx+C, x>0.4.若f(X)的一个原函数为ln2x，求不定积分Jxf'(x)dx.解：(尽管这也是考核原函数概念的题目，但是由于在被积函数中出现了一个函数与f(X)的导数f'(X)乘积的形式，因此首先要进行分部积分)2lnx由f(x)的一个原函数为ln2x，即Jf(x)dx=ln22lnx由f(x)的一个原函数为ln2x，即Jf(x)dx=ln2x—C,所以f(x)=一x于是，Jxf'(x)dx=xf(x)-Jf(x)dx=2lnx-ln2x+C.xex.设函数F(x)是f(x)在x>0时的一个原函数，满足f(x)F(x)=--一-，且2(1+x)2F(0)=1,F(x)>0.求函数f(x).解：(本题还是考核原函数概念.由于在条件f(x)F(x)=xex …、————中同时出现了f(x)2(1+x)2与F(x)，为方便都统一于F(x)，然后再积分)xex由F(x)是f(x)的一个原函数及f(x)F(x)=小万有尸(x"(xQ3对上式两边同时求积分，得F^x)=JF(x)F(x)dx=J二e-dx=-1Jxexd(2 2(1+x)2 2-注」K)=缶+C由F(0)=1及F(x)>0，得C=0，且F(x)=、；］^ ，d■所以，f(x)=F'(x)=—(.-dxL1xex/2)= 2(1+x)3/2.求下列不定积分(本例都是典型的、常见的凑微分类型，有些题目要经过多次凑微分)lnx7(1)J斯—dx，jdx(ex+e-x)4dx⑵J. v4-x2arcsinx2(4)jarctan+d1+x2X，tanx,

(5)J.dx；■vcosx(6)「lntanx,J dx。sinxcosx解：(1)J1nxdx=J(1+1nx)-1d(1+lnx)xx1+lnx v1+lnx=J[、1+lnx-dxJ 二Je4xdx(ex+e-x)4 (e2x=J[、1+lnx-dxJ 二Je4xdx(ex+e-x)4 (e2x+1)4」(e2*x+1)-1d(e2x+1)2 (e2x+1)43 (e2x+1)4]d(e2x+1)11—4(e2x+1)2+-——1——+C=

6(e2x+1)312(e2x+1)3+CJ-4\：4-x2dxd^x

2arcsinx2\：1-(*)2arcsinxJdarcsinx

arcsinx21 .x।L=Inarcsin—+C。

2arctan4arctan1 arctan1J xdx=J x-dx=-J x-d(+)1+x2 x2[1+(+)2] [1+(+)2] xxxJ 1 1, ,1、一=-Jarctan—darctan—=——(arctan-)2+C。xx 2 2⑸J&dx=J-Vcosxsinx ,dx=-Jcosx・vcosx(cosx)-2dcosx=,2+C.vcosxIntanx Intanx Intanx,6)J -dx=J ---dx=J dtanxsinxcosx tanxcos2xtanxI=JIntanxdIntanx=-1n2tanx+C2.求下列不定积分（本例都是有理函数的积分，有理函数的积分不一定都拆成部分分武x3-1J dx；x3+1JdxJdxx8(1+x2)…，、2 ——-]d(1+Inx)=3(1+Inx)3/2一2V1+Inx+C.解：（1）（本题除了利用部分分式，没有太好的办法。）J=dx=

x3+1=x-31n|x+1|J(1-2,—+-.x-2)dx3x+13x2—x+1+1J(2x-1)dxJ

3x2-x+1d(x-1)

□—(7)2+(x-+)2=x-31nlx+1|+3ln(21x2—x+1)——arctan2(x-+)

□_=x+Aln

3(x+1)2⑵（本题属于J虫。dx型，可以凑成』

x出2dXn型）XnJdx_1Jdx3_1J(X3+1)-X3dx3X(X3+1)2 3 X3(x3+1)2 3X3(X3+1)2jJ3X3(x3+1)dx3Jd(X3+1)]_1[Jdx3 Jd(X3+1)+1](X3+1)2 3 X3 X3+1 X3+1」(ln

3（3）（本题由于分母的幕次相对于分子的幕次较高，因此应当用到代换.）则dx_- ,于是12dxX8(1+X2)=-J dt=—J(16-14+12-1+1+12t5t3—-+ -1+arctant)+C=-1+——5X58.求下列不定积分（本例都是三角函数有理式的积分，能不用万能代换的，尽量不用万能代换,通常都可以用凑微分求解）sinxcosx1+sin4xdx；sin2x+tanx,(2)J dx；COS4x(3)Jdxsin2x+2cosxsinx(4)Jsinx+cosxdX解：（1）（本题属于Jf（sinx）cosxdx型）JsinxcosxJsinxcosx1+sin4xsinx7. 1dsin2xdx=J dsinx二一J 1+sin4x21+(sin2x)21=2arctan(sin2x)+C.（2）（本题属于JR（sin2x,cos2x,tanx）dx型，可作代换tanx=t。也可以直接凑微分）sin2xsin2x+tanx,J dx=J(tan2x+sec2xtanx)dtanxcos4XJ(tan3x+tan2x+tanx)dtanx=tan4xtan3xtan2x + + +C.（3）（本题有两个关键点，一是要统一角度，二是要将分母上的两项之和化为一项）dxdx1f1—sinx7=—J dxdxdx1f1—sinx7=—J dxsin2x+2cosx 2cosx(sinx+1) 2cos3x-21(sec3x-sec2xtanx)dx-4(secxtanx+1nsecx+tanx)-21secxdsecx1 1 一1sinx—1——(secxtanx+ln|secx+tanx|)—sec2x+C——( +ln|secx+tanx|)+C.4 4 4cos2x（4）（本题解法很多，下面仅介绍几种有代表型的解法）方法一:本题可以通过拆项的方法求解sinx, 1(sinx+cosx)+(sinx—cosx),J : dx——J dx—sinx+cosxsinx+cosx1sinx—cosx、，(1+ )dx2sinx+cosx—1[x—1d(sinx+c0sx)]—1(x—ln|sinx+cosx|)+C.2sinx+cosx2方法二（伴侣型积分）：记11=1sinxsinx+cosxI=12cosxsinx+cosxsinx+cosx,=J方法二（伴侣型积分）：记11=1sinxsinx+cosxI=12cosxsinx+cosxsinx+cosx,=J dx=Jdx=x+C.sinx+cosxsinx—cosxd(sinx+cosx)—J dx- sinx+cosxsinx+cosx=—ln|sinx+cosx|+C.两式相加，得1sinxsinx+cosxdx=Ii=—(x—ln|sinx+cosx|)+C.^2方法三：为将分母化为一项，分子、分母同乘cosx-sinx，则sinx sinxcosx—sin2x, 1(*sin2x—1+cos2x,J dx—J ; dx——J dxsinx+cosxcos2x-sin2xcos2x=11(1+tan2x—sec2x)dx=1(x—1ln|cos2x|—11n|tan2x+sec2x|)+C^2 ^2 ^2 ^2=—(x—ln|sinx+cosx|)+C.^2方法四:分子、分母同乘v'2/2，通过两角和公式将分母唤为一项，则sinx, 1fsin(x+兀/4)—cos(x+兀/4),J dx——J dxsinx+cosxsin(x+兀/4)=2(1dx—1cot(x+兀/4)d(x+兀/4)=—(x—ln|sin(x+兀/4)|)+C=—(x—ln|sinx+cosx|)+C.^2(C=q+21n2).方法五：分子、分母同除cosx，然后令t=tanx，则x=arctant,dx=7d-，于是1+12sinx tansinx tanxJ dx=J-----dx=Jsinx+cosx1+tanxtdt1 1+1 = ((1+1)(1+12) 21+121+1)dt=2(arctant+21n(1+12)一ln[1+11)+C=2(x一ln|sinx+cosx)+C.方法六：用万能代换，令tan|=u，则sinxJ dx=sinxJ dx=Jsinx+cosx4udu(1+u2)(1+2u一u2)1u——+——1+u21+u21+2u-u2)duTOC\o"1-5"\h\z=arctanu+—1n(1+u2)—-1n1+2u-u2+C^2 ^21 x x x=—[x+1n(1+tan2—)-1n1+2tan——tan2—]+C.^2 ^2 ^2 ^29.求下列不定积分（本例都是无理函数积分，如果能够通过凑微分求解，当然最好；如果不能用凑微分求解，就要设法去根号）(1(1))x3V4-X2dx；(2)J ;x\.x2—1J；'六dx；J；'六dx；11一xJxdxv11+3x2解：（1）本题属于Jf（x2）xdx类型，直接凑微分即可，当然也可以用三角代换x=2sint方法一：Jx3\：4一x2dx=2J[4-(4一x2)]%,4-x2dx2=2J…2)3/2-4(-2)1/2]d(4-x2)=5(4-x2)5/2-4(4-x2)3/2+C方法二：令x=2sint，则dx=2cost，于是Jx3v'4-x2dx=32Jsin31cos2tdt=32J(cos41-cos21)dcostTOC\o"1-5"\h\z二32cos51—32cos31+C=1(4一x2)5/2一4(4一x2)3/2+C.5 3 5 3(2)方法一:x>0时，令x=sect(0<t〈兀/2),dx secttant 1 人J——. = dt=dt=t+c=arccos—+C.x‘x2一1 secttant x

x<0时，方法类似,结果为J-dx =arccos」+C.22-1 x|方法二：本题也可以通过双曲函数代换达到去根号的目的。当x>0时，令x=cht(t>0)，(当x<0时，方法类似，结果相同)dxcht dshtJ——=dt=J =arctan(sht)+C=arctanM2-1+C.x<x2-1 ch21 1+sh21方法三：本题特别，作代换、：x2-1=t，也可以达到去根号的目的。„ -tdt当x>0时，令%：x2-1=t，则x=工1+12,dx=: ，于是dx tdt dtJ——, =J = =arctant+C-arctanx2-1+C.xyx2-1 t(1+t2) 1+t2当x<0时，方法类似，令%:x2-1=t，则x=-、1+t2，结果相同方法四:由于分母上x的幕次比分子上x的幕次高一些，因此可考虑倒代换，TOC\o"1-5"\h\z令x-—，则dx-——。于是，当x>0时，有t 12dx dt 1J——. --J, --arcsint+C--arcsin—+Cxqx2-1 V1-12 x当x<0时，J—d--Jd-arcsint+C-arcsin1+Cx\x2-1 k'1-12 x(3)本题解法也较多，各种解法的目的都是取根号。方法一：按方法一：按JR(x,*管cx+d)dx类型作。x 12 , 2tdtTOC\o"1-5"\h\z-t，贝Ux- ,dx- ，于t+Jdt1+12 1+121-xt+Jdt1+12 1+12x 212dt 1dx-J -—Jtd 1-x (1+12)2 1+12,,t x .一-arctant +C-arctan,, ,x-x2+C.1+12 1-x方法二：分子、分母同乘x，转化为JR(x,aax2+bx+c)dx型x xdx1dx 1一2x7iTOC\o"1-5"\h\z人Ldx'J =2[J: 一J dx]'1一x 弋x一x2 2 vx一x2 vx一x2:£[J d(x-1/2) 一Jd(x-x2)]=£arcsin(2x一1)一%:x-x2+C.2 (1/2)2一(x—1/2)2 Vx—x2 2（注：转化为Jxx-后，也可以用代换x-1=：sint求解）x一x2 22方法三：令x=sin21，则dx=2sintcostdt，于是x2sin21cost sin21-J■ dx=J dt=J(1一cos21)dt=t- +C11一x cost 2=arcsin<x一<x-x2+C.（4）本题不是常见的典型题，这里出现了复合函数，当一时看不到解法时，可以考虑用中间变量作代换进行试解。如该题可考虑的换元有：t=至、t=£、t=1+3心或t=3+品，通过试解，发现第二和第四种换元更好一些。方法一：不妨设x>0（x<0时也类似）令t=3x，则x=13,dx=3t2dt，于是+t2)+1= d(1+1+t2)+1= d(1+12)2 V1+123,一、 一、一 一二—(1+12)5/2—2(1+12)3/2+3七11+12+C3〜 ,——、 … ,——、 一二『一=_(1+3x2)5/2-2(1+3x2)3/2+3V1+3x2+C.(注：转化为3J1d—后，也可以再作代换t=tanu求解)方法二：令t=、1+飞x2，则x=%(t2—1)3，dx=3tvt2-1・dt，于是J" =3J(12—1)2dt=3(土一丝+1)+CTOC\o"1-5"\h\z11+3屋 5 33z_.、 〜_ :、 _ :C=5(1+3x2)5/2一2(1+3x2)3/2+3X1+3x2+C.10.求下列不定积分(本例都属于分部积分类型)「xcosx xlnx arcsin%x,(1)J dx； (2)J dx； (3)J— dx；sin3x (1+x2)3/2 V1一x

arctanx xexdx 「ln（1+ex）,TOC\o"1-5"\h\z（4）J dx； （5）1 , （6）J dx。x2（1+x2） .ex—1 ex解：（1）本题属于黑函数（正整数次幕）x三角函数类型的积分，要试图先将三角函数凑到微分号后面，即先求出三角函数部分的积分。xcosxxdsinx1 1J———~dx=J =-xd sin3xsin3x2 sin2xxdx1x=——( —J )=——( +cotx)+C.sin2xsin2x2sin2x（2）本题属于黑函数（非正整数次幕）x对数函数类型的积分，要试图先将黑函数凑到微分号后面，微分号外面只留对数函数。xInx 1 1InxdxInx 1 1Inxd(1+x2)J dx=—J =—JInxd(1+x2)3/2 2 (1+x2)3/2lnxdx\1+x2 <1+x2x%1+x2TOC\o"1-5"\h\zInx d(1/x) Inx,,1 1、「 -J. =—. -ln(-+i，1+——)+C\：1+x2 "+(1/x)2 、.：1+x2 xVx2Inx11+11+x2 -―「 ,—In +C.•J+x2 x（3）本题属于黑函数（非正整数次幕）x反三角函数类型的积分，要试图先将黑函数凑尸/尸/x1—(%x)2•v'xJarcsin、x_dx,=—2Jarcsin、：xdx.-1—x=—2<1—xarcsin弋x+J—'1-x=—2%，1—xarcsin、x+J-i=—2%1—xarcsinvx+2vx+Cx（4）本题也属于黑函数（非正整数次幕）x反三角函数类型的积分，直接将黑函数凑到微分号后面有一定困难，可以先单独进行这部分的积分。因为dxx2(1+dxx2(1+x2)二J(匚x21)dx=———arctanx+C,x所以arctanx,

J dx=arctanx,

J dx=x2(1+x2)Jarctanxd(1+arctanx)

xarctanx=-( +arctan2xx)+J(—+arctanx)xdx1+x2=-( +arctan2xx )dx+1+x2Jarctanxdarctanx )dx+1+x2Jarctanxdarctanx +-ln +C.x 2 2 1+x2(5)本题属于黑函数(正整数次幕)x指数函数类型的积分，要试图先将指数函数凑到微分号后面。J老空=J空山=2JxdE=2(x尸-J、力dx)对积分Jiex-1dx，令，:ex-1=对积分Jiex-1dx，令，:ex-1=t 2tdt则x=ln(1+12),dx= ，于是1+12TOC\o"1-5"\h\z12dt 1 CJee--1dx=2J =2J(1 )dt=2(t-arctant)-一1+12 1+12 2=2(x•:ex-1-arctan、：ex-1)-C/2.xexdx〜c、 7彳 7、-J=2(x-2)vex-1+4arctaneex-1)+C.yex—1(6)本题比较特殊，困难在于含有对数函数，这时可以先将对数以外的东西凑到微分号内，微分号外只留对数函数，通过分部积分进行试解。J吐乜x=-Jln(1+ex)de-x=-1nH+Jedex ex ex(1+ex)_1n(1+ex)J,1 1 _ 1n(1+ex)=- +J(—— )dex=x- -1n(1+ex)+C.ex ex1+ex ex11.求下列不定积分(本例又是一种积分类型。在这种积分中，其中有一部分是不能进行积分的(即原函数不能用初等函数表示)，这一部分暂时不要管它，先对其它部分进行积分，在积分过程中会产生出不能进行积分的部分的相反的值从而将那部分抵消掉)J电x_ddx； (2)Je2x(1+tanx)2dx.1n2xInx-1dxdxx 1.1dx解：(1)J dx=J———J =——-Jx(- )-dx-J 1n2xInx1n2xInx 1n2xx 1n2x

xdxdx--+J -J Inxln2x ln2x—+C.lnxJe2x(1+tanx)2dx=Je2x(1+2tanx+tan2x)dx=Je2x(sec2x+2tanx)dx=Je2xdtanx+2Je2xtanxdx=e2xtanx-2Je2xtanxdx+2Je