3.1空间向量及其运算

精心整理3.1空间向量及其运算3.1空.间1向量的线性运算教学目标：㈠知识目标：1.空间向量；2.相等的向量；3.空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：1.理解空间向量的概念，掌握其表示方法；2会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律;3.能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题.㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物.教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律.教学难点：应用向量解决立体几何问题.教学方法：讨论式．教学过程：I复习引入精心整理［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB.［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下.［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量［师］学习了向量的有关概念以后我们学习了向量的加减以,平行四边形法则）=||当4〉时，^a与a同向；［师］学习了向量的有关概念以后我们学习了向量的加减以,平行四边形法则）=||当4〉时，^a与a同向；当4v时，4a与a反向；当4=时，4a=0其长度和方向规定如下： 三角形；则［师］关于向量的以上几种运算请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a+b=b十a加法结合律：（十b+c=a十（b+c）数乘分配律：4a+b=4a+4b［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用.请同学们阅读课本P26—P27.II新课讲授精心整理［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．起点与重点重合的向量叫做零向量。表示向量a的有向线段的长度叫做向量的长度或模。有向线段的方向表示向量的方向，有向线段所在的直线叫做向量的基线。如果空间中一些向量的基线相互平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的.空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示.因此我们说空间任意两个向量是共面的.［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？［生］空间向量的加法、 减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一 .小 样：OB=OA+AB=a+b, / 7/ /亡〜尸AB=OB-OA（指向被减/ “而〜/o向向向量），OP=2a（九£R）［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律．

精心整理指向末尾向量的终点的向量．即：因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量.即：AA+AA+AA+…+AA+AA=0.12 23 34 n-1nn1⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立.因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用行四边形法则.由向量加法的交换律和结合律可以推知：有限个向求和，交换相加向量的顺序其和不变。例1已知平行六面体ABCD-ABCD'（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：说明：平行四边形ABCD平移向量到^8‘。口’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体•记作ABCD—A‘B’C'D’.平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱.解：（见课本）说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广.III巩固练习课本练习IV教学反思平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法.V课后作业.课本精心整理.预习课本—6预习提纲：⑴怎样的向量叫做共线向量？⑵两个向量共线的充要条件是什么？⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？⑸怎样的向量叫做共面向量？⑹向量与不共线向量、共面的充要条件是什么？⑺空间一点在平面 内的充要条件是什么？板书设计：§9.5空间向量及其运算（一）一、平面向量复习二、空间向量 三、例11.定义及表示方法1.定义及表示2.加减与数乘运算2.加减与数乘向量 小结3.运算律3.运算律空间向量的基本定理教学目标：.理解共线向量定理和共面向量定理及空间向量分解定理；2掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式.教学重、难点：共线、共面定理、分解定理及其应用.教学过程：（一）复习：空间向量的概念及表示；（二）新课讲解：1．共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作：a平行于b，记作：a//b.精心整理2．共线向量定理：对空间任意两个向量a,b（b中0）,a//b的充要条件是存在实数3使a二九b（九唯一）.推论：如果l为经过已知点4，一且平行于已知向量a的直线，那么对任一点。，点P在直线1上的充要条件是存在实数t,满足等式OP=04+tAB①，其中向量a叫做直线l的方向向量。在l上取AB=a，则①式可化为0P=0A±tAl1或OP^0（1-1）OA+tOB②当/=2时，点P是线段AB的中点，此时g2^OfA+O）WB■■；/.一一①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段＞B起。后点公式.3向量与平面平行：已知平面a和向量a，作CA=a,如果直线OA平行于a或在a内，那么我们说向量a平行于平面a，记作：a//J —►—►通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量二7—► —►说明：空间任意的两向量都是共面的.4共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的充要条件是存在实数羽y使p=xa+yb- 一 ―一_一推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x,y，使MP=xMA+yMB或对空间任一点O，有OP=OM+xMA+yMB①一面①式叫做平面MAB的向量表达式（三）例题分析：例.已知A,B,C三点不共线，对平面外任一点，满足条件OP=1OA+2OB+2OC,55 5试判断：点P与A,B,C是否一定共面？ 一———解：由题意：5OP=OA+2OB+2OC,精心整理A(OP-OA)=2(OB-OP)+2(OC-OP),/.AP^2PB+2/^即PA=-2PB-2PC,所以，点P与A,B,C共亚 ——说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．【练习】：对空间任一点O和不共线的三点A,B,C,问满足向量式OP=xOA+yOB+zOC(其中%+y+z=1)的四点P,A,B,C是否共面？ 一一一_.角牟：:OP=(1-z-y)OA+yOB+zOC,AOP-OA=y(OB-OA)+z(OC-OA),TOC\o"1-5"\h\z••AP=yA^B+zAC,一••点P-与点^4,B,C共面* ,..例.已知口丽D，从平面AC外一点O引向量 /--UOE=kOAOF=KOBOG=kOC,OH=kOD, // \\(1•求证：四点£^,G,H共面；一 '()平面AC//平面EG.解：():四边形ABCD是平行四边形，AAC=AB+AD,;EG=OG-OE, —>— ,AE,F,GH共面；():EF=OF-OE=k(OB-OA)=k-AB，又:EG=k-AC,AEF//ABEG//AC——— —, —.所以，平面AC//平面EG.5.空间向量分解定理如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在一个惟一的有序实数组，，，使

精心整理五、课堂练习：课本第96页练习第1、2、3题．六、课堂小结：．共线向量定理和共面向量定理及其推论；．空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式．ACAC=2e+8e,AD=3e—3e,已知两个非零向量e,e不共线，如果AB=e+e，1 2 1 2求证：A,B,C,D共面一 一一一・已知a=3m_2n_4p,b=(x+1)m+8n+2yp，a丰0，若a//b，求实数x,y的值。.如图，E,F,G,H分别为正方体AC的棱AB,AD,BC,DC的中点，一一 一 - -1一L1 11 11 11求证：()E,F,D,B四点共面；()平面AEF//平面BDHG.GH!DD.已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD边AB,BC,CD,DA的中点，GH!DD()用向量法证明：E,F,G,H四1A」1,两个向量的数量积()用向量法证明：BD//平面,两个向量的数量积教学目标：1掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2掌握两j向量的数量积的计算方法，并能利用两j向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题，利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角。教学重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。教具准备：与教材内容相关的资料。教学设想：精心整理激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神.教学过程(-)复习：空间向量基本定理及其推论;(-)新课讲解：.两个向量的夹角及其表示：已知两非零向量a力，在空间任取一点。，作例律b=，则ZAB叫做向量q与b的夹角，记作<a]>；且规定0。力>v兀，显然有<a,b>=<b,a>；若<a,b>=上,则称a与b互相垂直，记作：q_L》7 -两个向量一定共面，但是做有向线段分别表示向叠时，它们的基线可能不在同一平面内:一我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。把异面直线平移到一个平面内，这是两条直线的夹角叫做两条异面直线所成的角。如果所成角都是直角，则称两条异面直线相互垂直。.向量的模：设04=。，则有向线段04的长度叫做向量a的长度或模，记作：lai；.向量的数量积：TOC\o"1-5"\h\z一E知向量a/，贝小arH <就> 叫做“力的 -数量积，记作 a-Z?=\a\-\b\-cos<a,b>> V \已知向量力巨=a和轴e是/士与/同方向的 \— \单位向量，作点人在/上的射影)，作点B在/上 / 17\?/的射影B',则力的叫做向量AB在轴,上或在e上的正射影；可以证明Aa的长度I1=1ABIcos<rarS>=la-e\• , 一.空间向量数量积的性质：~~)dTe=1aIcos<a,e>・一()aLboa・b=0.()kzh=a^-a.()|a?b|<|a||b|.空间向量数量积运算律：()(ka)・b=X(a・b)=Q・(kb).()a-b=b-a(父换律).()a-tb+c)-cr-5^+a^c 配律).(三)懈题技巧> —►考点二向量雨数量只运算

精心整理、知识要点：）定义：①设a力=则a.b=IaI.IbI•cos<a,b>②设a=（7”,b—（x2,y2）则a迷- 。— f f注：①a的不能写成ab，或axb ②a仲的结果为一个数值。）投影：b在a方向上的投影为）向量数量积运算律：~一~~①a^）=”一②（九a甘二九（。0=。产切③（a+b）注：①没有结合律（a巴尸吧限L_ __、例题讲练、下列命题：①若。,40:则a；b中至少一个为0②若a丰0且a/-a#，则b=c®>(ab)rf—arfbp④中正确有个数为-► —>yv->► —> ―► ―►个2已知AABC中，个所对的边为、若a®>(ab)rf—arfbp④中正确有个数为-► —>yv->► —> ―► ―►个2已知AABC中，个所对的边为、若a，b，c满足a+b+c—0，且a=3b：=1，则ab怏半+□兀，-且a与此勺夹角为I，则a+b在a上的投影为考点二：向量数量积性质应用、知识要点： --①a±boa^—0（用于判定垂直问题）°：（用于求模运算问题）例题讲练（用于求角运算问题）例题讲练（用于求角运算问题）、已知H、已知H=2、已知M=1=3，且a与b的夹角为2，c—3a+2b，d=ma-b，求当为何值时c±d、已知a、已知a和b是非零向量，目ba-bI求a与a+b的夹角、已知、已知H=4b=2,且a和b不共线，求使a+九b与a-九b的夹角是锐角时九的取值范围―► ―►（四）例题分析： -一 一一一例1用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。

精心整理已知：m,n是平面a内的两条相交直线，直线/与平面a的交点为B，国1m,l1n求证：11a.证明：在a内作不与m,n重合的任一直线g,在1,m,n,g上取非零向量1,m,n,g，丁m,n相交，二向量m,n不平行，由共面定理可知，存在唯一有序实数对(x,j)，使用-xm+yn,•二1•g-X-m+yl•n，又丁1•m-0,1•n-0，•\1•g-0，•二11g，•'11g，- -所以；直线1垂直于平面内的任意一条直线，即得11a.例一・一已知空间四边形ABCD中，AB1CD,AC1BD，求证：AD1BC.证明：(法一)AD•BC=(AB+BD).(AC-AB)-AB•(AC—AB—BD)-AB•DC=0.(法二)选取一组基底，技AB=a,AC=KAD=c,AB1CD，；・a•(c^b)=0,即a•c=b•a,同理：a•b=b•c一 一--一-一___—— —►―►—►—►•a•c-b•c,•c•(b-a厂=0，一••AD•BC=0，即AD1BC.说明:用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明。例3.如图，在空间四边形OABC中，OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,/OAC=45,/OAB=60,求OA与BC的夹角的余弦值。 0解：:BC=AC-AB,,OA•BC-OA•,OA•BC-OA•AC—OA•AB•cos而A,最>=-0A.BC

———OAI；lBCI24-16<2_3-2V2 - ,所以OA与BC的夹角的余弦值为三2.一-—— 5说明：由图形知向量的夹角时易出错，如<OA,AC记！>=135易错写成<OA,AC>=45，切五、巩固练习TOC\o"1-5"\h\z、已知e和e是两个单位向量，夹角为三，贝U(e-e)n(-3e+2e)等于()1 2 3 12 12—一 Q :一一 _ _>_ -52 2、已知e和e是两个单位向量，、已知e和e是两个单位向量，12夹角为三，则下面向量中与2e，-e垂直的是()21eA+e12e-e e12 1精心整理3在AABC中，设AB=a,BC=b,CA=c,若a(a+b)<0,贝UAABC()(A)直角三角形 (B)锐角三角形 (C)钝角三角形(。)无法判定4已知a和b是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角。一一 一一一一一一一一 一一。5已知QA、OB、OC是非零的单位向量，且OAOBOC0,求证：AABC』正三角形 六.教学反思：空间向量数量积的概念和性质。七,作业：课本第 页第3题补充：i已知向量a1b，向量c与a,b的夹角都是60,且1aI=1,1bI=2,1cI=3,0试求：()(a+b)2；()(a+2b-c)2；()(3a-2b)・(b-3c).一 f — —f , 一空间向量的直角坐标运算. 一.一一教学目的：.掌握空间向量的模长公式、夹角公式、两点间的距离公式，会用这些公式解决有关问题；.会根据向量的坐标判断两个向量共线或垂直教学重点：夹角公式、距离公式教学难点：模长公式、夹角公式、两点间的距离公式及其运用授课类型：新授课课时安排：课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1空.间直角坐标系：(1)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用亿j,k｝表示；

精心整理(2)在空间选定一点O和一个单位正交基底限j,k｝，以点O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴.我们称建立了一个空间直角坐标系O-xyz，点O叫原点，向量i,j,k都叫坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面；2.空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O-xyz中，对空间任一点A,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使OA=xi+yj+zk，有序实数组(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，记作A(x,y,z),x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标.若A(\片zi),B(x2,y2,z2)，则AB=(x—x,y—y,z—z).2 1 2 1 2 1一一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标3.空间向量的直角坐标运算律:⑴若a=(a,a,a),b=(b,b,b),TOC\o"1-5"\h\z1 2 3 1 2 3x则Ua+b=(a+b,a+b,a+b),1 1 2 2 3- 3xa—b=(a—b,a—b,a—b),--1 1 2 2 3 3九a=(九a,九a,九a)(九eR),-- 1 2 3a•b=ab+ab+ab,― 11 22 33a//b今a二九b,a二九b,a二九b(九eR),f- 1 1 2 2 3 3a±b今ab+ab+ab=0.-- 11 22 33(2)若A(x,y,z),B(x,y,z)，则AB=(x—x,y—y,z—z).1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1

精心整理4.空间向量平行和垂直的条件若孙再㈤，*二%,乃"》，贝8-I- -I- -I- - - ①力行O口"助Q近二兄电巧二凡乃，与二兄与伊£的=向为与"夕0)—I- —I-—I-②以上石=厘出=0=々/+^^+次马二0二、讲解新课：模长公式:TOC\o"1-5"\h\z，贝UIaI-aa•a-Ja2+a2+a2,IbI-bb•b-b:b2+b2+b2・1 2 3 .12 32.一夹角公式:Ha•b ab+ab+2.一夹角公式:- -一, -11 22,_ 33 ・IaI•IbI；a2+a2+a2y:b2+b2+b2、1 2 3、1 2 33.两点间的距离公式：若A(x,y,z),B(x,y,z),111 222贝LlIABI二、AB2='(x-x)2+(y-y)2+(z-z)2,2 1 2 1 2 1或/二&-xi)2+(y2-yi)2+(z2-zi)2・讲解范例:已知A(3,3,1),B(1,0,5),求：(1)线段AB的中点坐标和长度;解：(2)到A求：(1)线段AB的中点坐标和长度;解：(2)到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标x,y,z满足的条件(1)设M是线段AB的中点，则OM=1(OA+OB)=(2,3,3).2 2二AB的中点坐标是(2,2,3),d^B=7(1-3)2+(0-3)2+(5-1)2-回.(2),••点P(x,y,z)到A,B两点的距离相等，贝U\；,(x-3)2+(y-3)2+(z-1)2=(Xx-1)2+(y-0)2+(z-5)2,化间得：4x+6y-8z+7=0,所以，到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标x,y,z满足的条件是4x+6y-8z+7-0.精心整理点评：到aB两点的距离相等的点P(x,y,z)构成的集合就是线段的中垂面，若将点P的坐标x,y,z满足的条件4x+6y-8z+7=0的系数构成一个向量a=(4,6-8),发现与AB=(-2,-3,4)共线例2.如图正方体ABCD-ABCD中，BE=DF=1AB，求BE与DF所成角的余弦1111 11 11411 1 1解：不妨设正方体棱长为1,建立空间直角坐标系O-xyz,勺吟1勺吟1),则B(1,1,0), 々(1,4」)，D(0,0,0),・・・兆二(0,-；』)，。勺二吟D，m15TOC\o"1-5"\h\zBE-DF=0义0+(-义-)+1x1=-1 1 44 16—>—, "cos『BE,DF''二二6—二—.■-1 1 17<17 17_,_, 4 4例3二知三角形的顶点是A(1,-1,1), B(2,1,-1), C(-1,-1,-2)，试求这个三角形的面积分析：可用公式S=11ABI-IACI-sinA来求面积2解：:AB=(1,2,-2),AC=(-20,-3),；•IAB72+22+(-2)2=3,IACI=J(-2)2+0+(-3)2=<13,AB-_AC=(1,2,-2)•(-2,0,