11初三预习+相似应用、性质、位似+

知识导入（户龄一进入美妙的世界啦）（一）相似应用知识梳理本节知识要点，列举、思维导图、流程图、框图等均可。例题精讲【题型一、利用影子进行测量】【例1】如图，有一路灯杆底部不能直接到达）在灯光下，小明在点处测得自己的影长=,沿方向到达点处再测得自己得影长=m如果小明得身高为，求路灯杆的高度。【方法技巧】抽象出数学模型，利用相似基本图形的性质进行解题。【题型二、利用反射光线进行测量】【例2】小强用这样的方法来测量学校教学楼的高度：如图，在地面上放一面镜子（镜子高度忽略不计），他刚好能从镜子中看到教学楼的顶端，他请同学协助量了镜子与教学楼的距离 米，以及他与镜子的距离米，已知他的眼睛距离地面的高度 米，请你帮助小强计算出教学楼的高度。（根据光的反射定律：反射角等于入射角）【方法技巧】抽象出数学模型，利用相似基本图形的性质进行解题。

【题型三、河塘测量问题】分别取其三等分点、量得=【例3】如图，、两点被池塘隔开，在外任选一点，连结分别取其三等分点、量得=求的长。【方法技巧】抽象出数学模型，利用相似基本图形的性质进行解题。【题型四、利用目光进行测量】【例】如图，某测量工作人员与标杆顶端、电视塔顶端在同一直线上，已知此人眼睛距地面 米，标杆为米，且米，米，求电视塔的高D【方法技巧】抽象出数学模型，利用相似基本图形的性质进行解题。巩固训练、选择题1.已知一棵树的影长是30m,同一时刻一根长1.5m的标杆的影长为3m,则这棵树的高度是（）15m60m20m10V.3m2.一斜坡长70m,1115m60m20m10V.3m2.一斜坡长70m,11ym它的高为5m10—m7将某物从斜坡起点推到坡上20m处停止下，停下地点的高度为（9-m

73-m2.如图所示阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影长DE=1.8m,窗户下檐距地面的距离BC=1m,EC=1.2m,那么窗户的高AB为（ ）1.5m1.6m第3题图1.5m1.6m第3题图1.86mD.2.16m.如图所示，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距离墙角1.6m,梯上点D距离墙1.4m,BD长0.55m,则梯子长为()第4题图A.3.85m B.4.00m C.4.40m D.4.50m、填空题.如图所示，为了测量一棵树AB的高度，测量者在D点立一高CD=2m的标杆，现测量者从E处可以看到杆顶C与树顶A在同一条直线上，如果测得BD=20m,FD=4m,EF=1.8m,则树AB的高度为m.A第5题图.如图所示，有点光源S在平面镜上面，若在P点看到点光源的反射光线，并测得AB=10m,BC=20cm,PC±AC,且PC=24cm,则点光源S到平面镜的距离即SA的长度为cm.第6题图三、解答题.如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部(点O)20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度变长了多少米？(二)相似性质知识梳理相似三角形的性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例。相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比等于相似比。相似三角形周长的比等于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平方。

例题精讲【例□△ABCs^DEF,若4ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm,而4cm是^DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.【方法技巧】因没有说明长4cm的线段是^DEF的最大边或最小边，因此需分三种情况进行讨论.(1)若AEEC【例2】已知：如图，4ABC中，DE〃(1)若AEEC一AE _S .①求的值；②求3^的值；③若S =5，求4ADE的面积;AC S AABCAABC.. AE2(2)若S =S, =，过点E作EF〃AB父BC于F,求^BFED的面积;AABC EC3 AE一⑶若诙二k，Saabc=5,过点E作EF〃AB父BC于F，求DBFED的面积•【例3】已知：如图，△ABC中，/A=36°,AB=AC,BD是角平分线.(1)求证：AD2=CD•AC；(2)若AC=a，求AD.【方法技巧】将乘积式转化为比例式后再去找条件证明三角形相似巩固训练

一.填空题：(1)如果两个相似三角形对应边的比为3：5，那么它们的相似比为，周长的比为，面积的比为(2)如果两个相似三角形面积的比为3：5，那么它们的相似比为，周长的比为.(3)连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于,面积比等于(4)两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm,若较大三角形的周长是42cm，面积是12cm2,则较小三角形的周长为cm,面积为cm2.二.选择题：.已知相似三角形面积的比为9：4,那么这两个三角形的周长之比为()A.9：4 B.4：9 C.3：2 D.81：16.如图所示，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，AE交BD于点Q,若^DQE的面积为9,则△AQB的面积为()A.18 B.27 C.36 D.45.如图所示，把△ABC沿AB平移到△A‘B'C’的位置，它们的重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若AB=22，则此三角形移动的距离AA是()A.22-A.22-1B.当C.1三、解答题.已知：如图，E、M是AB边的三等分点，EF//MN〃BC.求：△AEF的面积：四边形EMNF的面积：四边形MBCN的面积..如图，在正方形网格上有△人方卜］和AA#2c2,这两个三角形相似吗?如果相似，求出△ARF］和AA/2c2的面积比.

3・已知：如图，△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B，C点重合)，ZADE=45°BDBD⑴求证：△ABDs&dce；(2)当4ADE是等腰三角形时，求AE的长.(三)图形的位似知识梳理位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.注意：()判断两个图形是不是位似图形，除了要看它们是否相似，还要看它们的对应点的连线是否交于同一点；()两个位似图形一定是相似图形，但两个相似图形不一定是位似图形；()两个位似图形的对应顶点的连线一定交于同一点，但对应顶点的连线交于同一点的两图形未必就是位似图形。位似图形的性质：位似图形的对应边的比相等，这个比称为位似比；位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于位似比(相似比).两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行.利用位似，可以将一个图形放大或缩小5以原点为位似中心的位似变换，其对应点的坐标关系可表示为(位似比为) 对应点位于位似中心的同侧——> ( )对应点位于位似中心异侧»(—-)

对应点位于位似中心异侧例题精讲【题型一、位似图形的概念】【例1】判断下图中的两个图形是否是位似图形？若是，指出位似中心.（1）(2)（1）(2)（3） （4）【方法技巧】要判断两个图形是否是位似图形，首先要看这两个图形是否相似，其次要画出各组对应点所在的直线，并且观察这些直线是否经过同一个点，满足这两个条件则是位似图形，否则不是位似图形.【题型二、位似作图】【例2】已知：四边形ABCD及点0,试以O点为位似中心，将四边形放大为原来的两倍.⑴DBC\(4)B、、⑴DBC\(4)B、、【方法技巧】作图时要注意:①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；④符合要求的图形有可能不唯一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心

的两侧各有一个符合要求的图形【题型三、位似与坐标】【例3】已知：如下图，是由一个等边^ABE和一个矩形BCDE拼成的一个图形，其B，C，D点的坐标分别为(1,2)，(1(3,1).(1)求E点和A点的坐标；(2)试以点P(0,2)为位似中心，作出相似比为3的位似图形A1B1C1D1E1,并写出各对应点的坐标；(3)将图形A1B1C1D1E1向右平移4个单位长度后，再作关于％轴的对称图形，得到图形A2B2c2D2E2,这时它的各顶点坐标分别是多少？1），【方法技巧】掌握平移、对称、位似的作图方法1），如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心.画出所给图中的位似中心.巩固训练如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心.画出所给图中的位似中心.3.探究：(1)如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6,3),B(6,0).以原点O为位似中心，相似比为3，把线段AB缩小.观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现?(2)如图，4ABC三个顶点坐标分别为A(2,3),B(2,1),C(6,2),以点O为位似中心，相似比为2,将4ABC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？ 回顾小结一、方法小结一日悟一理，日久而成学)、本节课我做的比较好的地方是:三、我需要努力的地方是:回顾小结一、方法小结一日悟一理，日久而成学)、本节课我做的比较好的地方是:三、我需要努力的地方是:课后作业【基础巩固】.在相同时刻的物高与影长成比例，如果高为 的测杆的影长为 ，那么影长为 的旗杆的高是(.如图，在△中，〃等于.如图，在△ 中，点分别在边，，上，且〃，〃.若CFBF的值为（.如图，路灯距地面米中，身高.如图，路灯距地面米中，身高米的小明从距离灯的底部（点）米的点处，沿所在的直线行走米到点处时，人影的长度（）、变长了米、变短了米、变长了米、变短了米），以原点O为位似中心，将线段AB缩小后.如图，线段AB的两个端点坐标分别为A（2）、B（得到线段DE,若DE=），以原点O为位似中心，将线段AB缩小后、（1 ） 、（1 ） 、（2 ） 、（2 ）F列四图中的两个三角形是位似三角形的是（图①.图③、图④ .图②、图③、图④.在平行四边形 中，点在上，且.图②、图③ .图①、图②的延长线与的延长线交于点F四边形为（）FF二、填空题i如图，小明用长为 的竹竿做测量工具，测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时点与竹竿的距离 ，竹竿与旗杆的距离 ，则旗杆的高为.2如图是小明设计的用激光笔测量城墙高度的示意图，在点处水平放置一面平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到城墙的顶端处，已知图，XD米，米，米，那么该城墙高度米..两个相似三角形的面积比为4，那么它们对应中线的比为..如图，在△中，如果E, , , ,那么三、解答题如图，九年级（）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD=3m，标杆与旗杆的水平距离BD=15m，人的眼睛与地面的高度EF=1.6m，人与标杆CD的水平距离DF=2m,人的眼睛、标杆顶点和旗杆顶点在同一直线，求旗杆AB的高度..小明同学用自制的直角三角形纸板 测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条直角边= ,= ,测得边离地面的高度= 5D，则树高长是多少。(分)3.如图，在△中，平分/交于点、过点作〃交于点.()求证：• •；()如果△ ，△ ， ，求的长.【能力提升】.如图，正五边形 是由正五边形 经过位似变换得到的，若： ：3则下列结论正确的是、3/A=2/F 、2/A=3/FA、B'均在图中格点上，若线段.如图，△ 缩小后变为△A'B'。，其中、的对应点分别为A、B'均在图中格点上，若线段上有一点P(m,n)，则点P在AB'上的对应点P的坐标为( ).m n mn、m n mn、(,，n) 、(m,n) 、(m,2) 、(—,-).如图，边长为的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为，，则的值为().如图，将矩形纸片点若 ，则.如图，将矩形纸片点若 ，则的一角沿着过点的直线折叠，使点与边上的点重合，折痕交于.已知：.已知：△ 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为个小正方形的边长是一个单位长度).)、(3 )、 (2 )(正方形网格中每()画出4向下平移个单位长度得到的△，点的坐标是 _()以点为位似中心，在网格内画出^ ，使△与^ 位似，且位似比为2，点的坐标是()△ 的