2023名校冀教版数学八年级上册 16.3 角的平分线VIP

16.3角的平分线基础闯关全练知识点一角平分线的性质定理1．如图16-3-1，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10，BD=6．则点D到AB的距离是()A.4B.5C.6D.72．如图16-3-2，△ABC的三边AB、AC、BC的长分别为4、6、8，三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则=()A:2:3:4B.1:1:1C.1:2:3D.4:3:23．如图16-3-3所示，BD平分∠ABC，AB=BC，点P在射线BD上，PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N．求证：PM=PN．知识点二角平分线性质定理的逆定理4．如图16-3-4，已知点P到AE，AD，BC的距离相等，有下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P是∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点.其中正确的是()①②③④B．①②③C．④D．②③5．如图16-3-5，已知射线OC上的任意一点到∠AOB两边的距离都相等，点D、E、F分别在OC、OA、OB上，要想证得OE=OF，只需要添加以下四个条件中的一个即可，请写出所有可能的条件的序号：.①∠ODE=∠ODF;②∠OED=∠OFD;③ED=FD;④EF⊥OC.6．如图16-3-6，点P为∠AOB内部一点，∠AOB=70°，PD⊥AO于点D，PE⊥BO于点E，且PD=PE，则∠AOP的度数是.7．如图16-3-7，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB=AC，DE=DF.求证：BD=CD.知识点三用尺规作已知甬的平分线8．如图16-3-8，现要在三角形土地ABC内建一所中心医院，使医院到A、B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请确定这所中心医院的位置．能力提升全练1．如图16-3-9所示，已知△ABC的周长是20，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是．2．如图16-3-10，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC.求证：(1)AM⊥DM；(2)M为BC的中点．三年模拟全练一、选择题1．如图16-3-11，已知∠AOB和线段CD，如果P点到OA，OB的距离相等，且PC=PD，则P点是()A.∠AOB的平分线与CD的交点B.CD的垂直平分线与OA的交点C.∠AOB的平分线与CD的垂直平分线的交点D.CD的中点二、解答题2．近年来，国家实施“村村通”工程和农村医疗卫生改革，某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站P，张、李两村坐落在两相交公路内（如图16-3-12所示）．医疗站必须满足下列条件：①到两公路的距离相等；②到张、李两村的距离相等，请你通过作图确定医疗站P的位置．五年中考全练一、选择题1．如图16-3-13，已知BG是∠ABC的平分绒，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE=6，则DF的长度是()A.2B.3C.4D.62．如图16-3-14，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=()A.30°B.35°C.45°D.60°二、解答题3．证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．已知：如图16-3-15，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，．求证：.请你补全已知和求证，并写出证明过程．核心素养全练如图16-3-16，∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D，则PC和PD有怎样的数量关系？请说明理由，16.3角的平分线基础闯关全练1.A∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴点D到AB的距离等于CD的长，∵BC=10，BD=6，∴CD=BC-BD=10-6=4，∴点D到AB的距离是4．故选A．2.A如图，过点O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F．∵O是三角形三条角平分线的交点，∴OD=OE=OF，∵AB=4,AC=6,BC=8,∴=2:3:4．故选A.3．证明因为BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠CBD．又因为AB=BC，BD=BD．所以△ABD≌△CBD，所以∠ADB=∠CDB，所以∠ADP=∠CDP，所以DP平分∠ADC.因为PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N，所以PM=PN（角平分线上的点到角两边的距离相等）．4．A∵点P到AE，AD的距离相等，∴点P在∠BAC的平分线上，①正确；∵点P到AE，BC的距离相等．∴点P在∠CBE的平分线上，②正确；∵点P到AD，BC的距离相等，∴点P在∠BCD的平分线上，③正确；点P是∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点，④正确，故选A．5．答案①②④解析∵射线OC上的任意一点到∠AOB两边的距离都相等，∴OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC.①添加∠ODE=∠ODF，因为OD为公共边，所以根据ASA可证得△ODE≌△ODF．由三角形全等的性质可知OE=OF;②添加∠OED=∠OFD，因为OD为公共边，所以根据AAS可证得△ODE≌△ODF，由三角形全等的性质可知OE=OF;④添加EF⊥OC，根据ASA可证得三角形全等，进而证得OE=OF.故答案为①②④．6．答案35°解析∵PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，∴OP平分∠AOB，∴∠ADP=∠AOB=×70°=35°．7.证明如图，连接AD，∵DE⊥AB,DF⊥AC,DE=DF,∴∠BAD=∠CAD,在△ABD和△ACD中．∴△ABD≌△ACD(SAS)，∴BD=CD．解析作AB的垂直平分线EF，作∠BAC的平分线AM．两线交于点P，则点P的位置为这所中心医院的位置．图略．能力提升全练1．答案30解析如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC于D,且OD=3，∴OE=OF=OD=3.∵△ABC的周长是20，∴=AB·OE+BC·OD+AC·OF=(AB+BC+AC)×3=×20×3=30.2．证明(1)∵AB∥CD,∴∠BAD+∠ADC=180°,∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,∴2∠MAD+2∠ADM=180°,∴∠MAD+∠ADM=90°,∴∠AMD=90°．即AM⊥DM.(2)如图，过M作MN⊥AD于N,∵∠B=90°,AB∥CD,∴BM⊥AB,CM⊥CD,∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,∴BM=MN,MN=CM,∴BM=CM．即M为BC的中点.三年模拟全练一、选择题1．C∵P点到OA，OB的距离相等，∴P点在∠AOB的平分线上，∵PC=PD，∴P点在线段CD的垂直平分线上，∴P点为∠AOB的平分线和线段CD的垂直平分线的交点，故选C．二、解答题2．解析如图.(1)画出两条相交公路所成夹角的平分线；(2)作出张村，李村连线的垂直平分线．两直线的交点P即为医疗站的位置.五年中考全练一、选择题1．D∵BG平分∠ABC,DE⊥AB,DF⊥BC,∴DF=DE=6（角平分线的性质），故选D．2.B作MN⊥AD于N，如图．∵∠B=∠C=90°,∴AB∥CD,∴∠DAB=180°-∠ADC=180°-110°=70°,∵DM平分∠ADC,MN⊥AD,MC⊥CD,∴MN=MC．∵M是BC的中点．∴MC=MB，∴MN=MB，又MN⊥AD,MB⊥AB,∴AM平分∠DAB,∴∠MAB=∠DAB=35°,故选B．二、解答题3．解析补全已知和求证：已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．求证：PD=PE.证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°．在△PDO和△PEO中，．∴△PDO≌△