第四节 合情推理与演绎推理

第四节合情推理与演绎推理了解演绎推理的重三段论进行一些简了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．类型

[知识梳理]定义 特点理理

根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的全部对象都具有这种性质的推理一致或相同的性质的推理

由部分到整一般由特殊到特殊演绎推理定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，推理．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．[辨识巧记]类比推理的注意点在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷机械类比的错误．合情推理的关注点合情推理是合乎情理的推理．3．演绎推理的特征演绎推理是由一般到特殊的推理．它常用来证明和推理数学问题，解题时应注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．[双基自测]1(1)正确．( )由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合推理．( )在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类对象较为合适．( )在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定确．( )[答案] (1)×(2)√(3)×(4)×2．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等( )A．28 B．32 C．33 D．27[解析] 从第2项起每一项与前一项的差构成公差为3的等差列，所以x＝20＋12＝32.故选B.[答案] Ba a 选修2－2P 练习T改编已知数{ }中，＝1，≥2a a 77 1 n 11 2 3 a＝a ＋2n－1，依次计算a后，猜想a的表达式1 2 3 n n－ nA．a＝3n－2nC．a＝n2n

B．a＝4n－3nD．a＝3n－1n[解析] 由a1＝1，an＝an－1＋2n－1，得a2＝4，a3＝9，a4＝16.猜得an＝n2.故选[答案] Cy＝logx(a>0a≠1)a函数y＝ 1 1log2xy＝log2x是增函数”所得结论错误的原因是( )大前提错误C

小前提错误D[解析] 因为当a>1时x在定义域内单调递增当0<a<1a时，y＝logx在定义域内单调递减，所以大前提错误．故选A.a[答案] A5．(选修2－2P84A组T5改)在等差数{an}中，若a 则101 2 1 2 有a＋a＋…＋a＝a＋a＋…＋a (n<19，且n∈N*)1 2 1 2 n －n9述性质，在等比数列中，若b＝1，则存在的等式为9n ．[解析] 由等比数列的性质b ·b

＝b ·b

＝＝2＝n＋1

17－n

n＋2

16－n 91 2 1 2 3 4 bb…b＝bbbb…b (n<17，n∈N*)1 2 1 2 3 4 n －n1 2 1 2 [答案] bb…b＝bb…b (n<17，n∈N*1 2 1 2 n －n考点一归纳推理归纳推理是每年高考的常考内容，题型多为选择、填空题，难度稍大，属中高档题．常见的命题角度有：(2)(3)【例1－1】观察下列各式：71＝7,72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16807，…，则72018的末两位数字( A．49 B．43 C．07 D．01观察幂的末2位数字的规律→观察幂的末2位数字的规律→得出结果[解析] 的末两位数字分别为周期性出周期为4)，而2018＝4×504＋2，所以72018的末两位数字必定和72的末两位数字相同．故选A.[答案] A角度2：式子的归纳1－2】已知

x，f1

(x)＝f′(x)，f

2(x)＝[f2

()]′，…，x1xex11－x x－21ffn＋1f

(x)＝[fn

(x)]′，n∈N*，经计算：f(x)＝ex ，f2(x)＝

，3(x)＝3－xe，…，照此规律，则fex

.[思路引导] 观察分式中分子的规律→得出结果3－1x－1 －12x－23[解析] 因为f1(x)＝ ex ，f2(x)＝

，f(x)＝－13x－3 －1nx－nex[答案]

，…，所以fn－1nx－nex

＝ .exe角度3：图形的归纳1－31如第(1)6(2)个几何体的表面积为18个平方单位，(3)个几何体的表面积是36个平方单位．以规律，则第n个几何体的表面积个平方单位．[思路引导] 用式子表达几何体的表面积→分析式子的规律→归纳第n个几何体的表面积[解析] 从前面看这些正方体叠成的几何体，看到边长为1的方形的面的个数依次为1,1＋2,1＋2＋3,1＋2＋3＋4，….而每一个这样叠成的几何体，从其前面、后面、左面、右面、面下面看到的边长为1的正方形的面数是一样多的所以由这些正方体叠成的几何体的表面积依次为 6×1,6×(1＋2)，6×(1＋2＋3)，…，所以第n个几何体的表面积为6×(1＋2＋3＋…＋n)＝3n(n＋1)．[答案] 3n(n＋1)归纳推理问题的常见类型及解题策略左右两侧的规律及符号可解．与式子有关的归纳推理：找到规律后可解．归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．论，采用赋值检验法验证其真伪性．[对点训练]1．(2019·ft)x，[x]x数，观察下列等式：2[ 1]＋[25[ 4]＋[5

3636

7]＋[7

88

]＝10；109[10921；…

]＋[ ]＝1112131415按照此规律第n个等式的等号右边的结果11121314152[解析] 因为表示不超过x的最大整数所以[1]＝[2＝1，[4]＝[ 5]＝…＝[ 8]＝2，…，

]＝[ ]32因为等式：[ 132

]＝3，35[ 4]＋[35

]＝10，6789[ ]＋[6789

]＋[ ]＝10111213141521，…131＋1＋1＝1×3＝3，252＋2＋2＋2＋2＝2×5＝10373×7＝21，…n(2n101112131415＋1)项、右边＝n(2n＋1)＝2n2＋n，故答案为2n2＋n.[答案]2n2＋nn为正整数

1 1 1

(2)

3 (4)>2，＋2＋3＋…＋计算得f ＝n 25f(8)>2，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论．3 4 5 6[解析] ∵f(21)＝2，f(22)>2＝2，f(23)>2，f(24)>2，∴归纳得n＋2f(2n)≥2 (n∈N*)．n＋2[答案] f(2n)≥2 (n∈N*)分形几何学是数学家伯努·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科它的创立为解决传统科学众多领域的难题供了全新的思路．按照如图(1)所示的分形规律可得如图(2)所示的一个树形图．若记(2)中第n行黑圈的个数为an，则a2018＝ .[解析](1)12个112(2)中的树1(1,0)2(2,1)3行记为(5,4)4行的白圈数为12＝134行的坐标为(14,13)，同理可得第5行的坐标为(41,40)，第6行的坐标为(122,121)，….0,2,8,26,80，…n－1,3－1,9－1,27－1,81－1，…nan32017－1＝ (n∈N所以a ＝ . 232017－1

2018 2[答案] 2考点二类比推理【例2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.猜想．[解] 如题图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°.3条边的长度，由勾股定理，得PDEF中，∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°.设S，S，SS分别表示△PDF，△PDE，△EDF和△PEF的面积，1 2 32a，b1c，图中的四面体3个直角面”S，S，S1个斜面于是，类比勾股定理1 2 3的结构，我们猜想S2＝S2＋S2＋S2成立．1 2 3[拓展探究] 若本例条件“由勾股定理，得c2＝a2＋b2”换“cos2A＋cos2B＝1”，则在空间中，给出四面体性质的猜想．[解] 如图，在Rt△ABC中，b a

a2＋b2cos2A＋cos2B＝2＋2＝

＝1.c c c2P－A′B′C′两两互相α，β，γcos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.类比推理的分类类比定义在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解类比定义在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键类比性质从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键类比性质有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移类比方法有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移类比方法[对点训练](2019·{an}an>0，aaaa…a1 2n＝bn 也是等比数列”．类比这一性质，＝你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．[解] 类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是若数列{an}是等差数列，a＋a＋…＋abn＝1 2

n(n∈N*)，则数列{bn}也是等差数列．n证明如下：设等差数列{a}的公差为d，nnn－1dna＋a＋a＋…＋a 1 2则bn＝1d

2n n＝ n＝a＋(n－1)，1 2d所以数列{bn}是以a为首项，为公差的等差数列．1 2考点三演绎推理

n＋2【例3】数列a的前n项和记为S11n1＝nSn(n∈N*)．证明：(1)

Snn数 是等比数列；nn (2)S ＝4a.n＋1 n[证明] (1)因为

＝S －S

n＋2＝ S，n＋1

n＋1

n n＋1 n n所以(n＋2)S＝n(S －S)，即nS ＝2(n＋1)S.n n＋1 n n＋1 nS故n＋1

Sn，(小前提)n＋1 nSnn故 是以1为首项，2为公比的等比数列结论)n (大前提是等比数列的定义)(2)由(1)可知

Sn＋1＝4·

Sn－1(n≥2)，n＋1 n－1所以S

S n－1＋2n－1＝4·

＝4a

(n≥2)．(大前提)n＋1

n－1

·n－1 n又因为a＝3S＝3，S＝a＋a＝1＋3＝4＝4a，(小前提)2 1 2 1 2 1所以对于任意正整数n，都有S ＝4a结论)n＋1 n演绎推理的推证规则演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应提是显然的，则可以省略；三段论才能完成．[对点训练]y＝f(x)a，b∈R，a≠baf(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)R上的单调增函数．x x x [证明] 设，∈R，取< x x x 1 2 1 211 2 x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x)，所以x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，[f(x2)－f(x)](x－x)>011 2 2 2 1 2 x1<xf(x)－f(x)>0，f(x)>f(x)．y＝f(x)R上的单调增函数．2 2 1 2 创新交汇系列⑤——合情推理在高考中的创新应用展的依据．【典例】(1)(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可知知道对方的成绩D(2)(2017·北京卷)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(ⅰ)男学生人数多于女学生人数；(ⅱ)女学生人数多于教师人数；(ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值．②该小组人数的最小值．[切入点] (1)对每个人是否知道自己的成绩逐一进行推理；(2)设出男生、女生及教师人数，列关系式进行推理．[关键点] 系．[规范解答] (1)根据已知信息，推断如下表：因此，由以上推理可知，乙、丁可以知道自己的成绩．故选D.(2)x，y，z4<y<x<8x＝7时，y6.z＝1，不满足条件；当z＝2z＝3时，3＝z<y<x<6，y＝4，x＝5，满足条件．所以该小3＋4＋5＝12.[答案] (1)D (2)①6 ②12合情推理是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想，要合乎情理地进行推理，充分挖掘不能盲目进行类比．[感悟体验]1．(2019·南宁市联考)甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是( )A．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人[解析]由“”和“”子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人．故选C.[答案]C2．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人取走一张卡片甲看了乙的卡片后说我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ．[解析] 由丙说的话可知，丙的卡片上的数字可能“1和2”“1和3”若丙的卡片上的数字“1和2则由乙说的话可知乙的卡片上的数字“2和甲的卡片上的数字“1和此时与甲说的话一致；若丙的卡片上的数字“1和则由乙说的话可知，乙的卡片上的数字是“2和3”，甲的卡片上的数字是“1和2”，此时与甲说的话矛盾．“13”．[答案] 1和3课后跟踪训练(四十二)基础巩固练一、选择题1

3 1

· 182 · · · 352 ·

1 59

＝9959＝1000×99＝99000，据此推测循环小数可化成分( )23 99 8 7A.90 B.23 C.15 D.30[解析]

1 1 3

.故选D.[答案]

＝5＋10×9＝302．(2019·1,3,6,10,15,21()A．27 B．28 C．29 D．30[解析] a＝1，a＝a＋2，a＝a＋3，a＝a＋4，1 2 1 3 2 4 3∴a－a ＝n，n ∴a＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1

nn＋1n7×8

＝ 2 ，∴a＝7 2

＝28，故选B.[答案] B3．(2019·惠州市高三二调)《周易》历来被人们视作儒家群经之卦名符号表示的二进表示的十进用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“数字卦名符号表示的二进表示的十进

”当作制数制数坤0000艮0011坎0102巽0113依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示[解析]卦的符号“”[解析]卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B.[答案] B4．(2019·安徽省知名示范高中高三联考)某参观团根据下列约束条件从A，B，C，D，E五个镇选择参观地点：A镇，也必须去BED两镇也必须去．则该参观团至多去( )A．B，D两镇B．A，B两镇C．C，D两镇D．A，C两[解析] 若去A镇，根据①可知一定去B镇，根据③可知不去C镇，根据④可知不去D镇，根据②可知去E镇，与⑤矛盾，故不能去A镇；若不去A镇，根据⑤可知也不去E镇，根据②知去D镇，根据④知去C镇，根据③可知不去B镇，然后检验每个条件都成立所以该参观团至多去了C，D两镇．故选C.[答案] 5.iSia(iii1,2,3,4P到第i条边的距离记为h＝1,2,3,4，ia a a a 2S若1＝2＝3＝4＝k1×h＋2×h＋3×h＋4×h＝.类比以上1 2 3

1 2 3 4 k性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为S(i＝1,2,3,4)，此三iQiH

S1 S2 S3S4＝kH＋2H＋3H

i值为(

1

2＝3＝4 1 2 3 44V 3V 2V VA.k B.k C.k D.k[解析]

1 1 1 1∵V＝S1H＋SH＋SH＋SH3 1 32 2 33 3 34 41＝(kH＋2kH＋3kH＋4kH)3 1 2 3 4H＝.∴H＋2H＋3H＋4 3VB.H＝.1 2 3 4 k[答案] B二、填空题6．(2019·长春市高三质量监)将1,2,3,4…这样的正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数[解析]n2n－1个数，且最n21019个数，最后一个数为1001091.[答案] 917．(2019·兰州市高考实战模拟)1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n∈N*,1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝ .[解析] 因为1＝12,1＋2＋1＝22,1＋2＋3＋2＋1＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42，…，所以归纳可得1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2.[答案] n28．(2019·河北卓越联盟月考)在平面内，三角形的面积为S，周2SCr＝C.V，表面积为利用类比推理的方法可得三棱锥的内切球面与三锥的各个面均相的半径.3V[解析] 若三棱锥表面积为体积为则其内切球半径＝S.理由如下：设三棱锥的四个面的面积分别为S，S，S，S，1 2 3 4由于内切球的球心到各面的距离等于内切球的半径，1 1 1 1 1所以V＝SR＋SR＋SR＋SR＝SR，31 32 33 34 33VR＝S.3V[答案] S三、解答题{a}

2 1

(n≥2)，na＝－＋＋n n 1 na＝－＋＋S，S，S，SS的表达式．1 2 3 4 n[解] n≥2时，a＝S－S ，n n n－11 1n∴S＋＋2＝Sn－S ，∴＋S ＋2＝0.nS n－1 S n－1n n时，S＝a＝－；当n＝1时，S＝a＝－；n＝2

1 1 3时，＝－－S＝－，1 2 时，＝－－S＝－，S 1 323∴S＝－；2 4时，＝－－S当n＝3 1 2时，＝－－S

5 S 4＝－，∴＝－；S 2 4 3 5＝－，∴＝－；3时，＝－－S当n＝4 1 2时，＝－－S

6 S 5＝－，∴＝－.S 3 5 4 6＝－，∴＝－.4猜想：S

n＋1＝－ ，n∈Nn n＋2△ABCA，B，Ca，b，c.(1)a，b，c(2)a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．[解] (1)证明：∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.由正弦定理得sinA＋sinC＝2sinB.∵sin＝sin[－＋)＝sin＋，∴sinA＋sinC＝2sin(A＋C)．(2)∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.由余弦定理得cos

a2＋c2－b2 a2＋c2－ac 2ac－ac 12ac

2ac

≥2ac ＝2，当且仅当a＝c时等号成立．1∴cosB的最小值为2.能力提升练贵州省高三适应性考)我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原(祖暅原幂势既同则积不容异幂”是截面积，“势”是立体的高．意思是：如果两个等高的几何体在高处截得两个几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底长为1，下底长为2的梯形，且当实数t取[0,3]上的任意值时直线y＝t被图1和图2所截得的两线段长总相等，则图1的面积( )2A．4 2

11D.2＝×＝.[解析] 由题意可知＝S 1 (1＋2)×3 9故选B.＝×＝.图1 图2 2 2[答案] Bnn若数列}mam<nm(annn n 得到一个新数列{(a)*}．例如，若数列}1,2,3，…，n，…，则数列{(a0,1,2，…，n－1，….n∈N*，a＝nn n ((an)*)*＝( )A．2n B．2n2 C．n D．n21 n 3 4[解析] 对任意的(a)*＝(a)*＝(a1 n 3 4)*＝(a)*＝…＝(a)*＝(a

)*＝3，……，5 6 9 10 11 16n所以((a)*)*＝1，((a)*)*＝4，((a)*)*＝9，……，由此猜想((a)*)*＝n2.n1 2 3故选D.[答案] D) ．[解析] 若负主要责任的人是甲，则甲、乙、丙说的都是假话，只有丁说的是真话，符合题意；若负主要责任的人是乙，则甲、丙丁说的都是真话，不合题意；若负主要责任的人是丙，则乙、丁说都是真话，不合题意；若负主要责任的人是丁，则甲、乙、丙、丁的都是假话，不合题意．故该事故中需要负主要责任的人是甲．[答案] 甲n2S＋1nn14n{an}的通项公式．