潮流不同排序方案的比较毕业论文文献翻译中英文对照

外文翻译（原文）PAGEPAGE23AComparisonofPowerFlowbyDifferentOrderingSchemesAbstract—Nodeorderingalgorithms,aimingatkeepingsparsityasfaraspossible,arewidelyusedtoday.Insuchalgorithms,theirinfluenceontheaccuracyofthesolutionisneglectedbecauseitwon’tmakesignificantdifferenceinnormalsystems.While,alongwiththedevelopmentofmodernpowersystems,theproblemwillbecomemoreill-conditionedanditisnecessarytotaketheaccuracyintocountduringnodeordering.Inthispaperweintendtolaygroundworkforthemorerationalityorderingalgorithmwhichcouldmakereasonablecompromisingbetweenmemoryandaccuracy.Threeschemesofnodeorderingfordifferentpurposeareproposedtocomparetheperformanceofthepowerflowcalculationandanexampleofsimplesix-nodenetworkisdiscusseddetailed.Keywords—powerflowcalculation;nodeordering;sparsity;accuracy;Newton-Raphsonmethod;linearequationsI.INTRODUCTIONPowerflowisthemostbasicandimportantconceptinpowersystemanalysisandpowerflowcalculationisthebasisofpowersystemplanning,operation,schedulingandcontrol[1].Mathematicallyspeaking,powerflowproblemistofindanumericalsolutionofnonlinearequations.Newtonmethodisthemostcommonlyusedtosolvetheproblemanditinvolvesrepeateddirectsolutionsofasystemoflinearequations.ThesolvingefficiencyandprecisionofthelinearequationsdirectlyinfluencestheperformanceofNewton-Raphsonpowerflowalgorithm.Basedonnumericalmathematicsandphysicalcharacteristicsofpowersysteminpowerflowcalculation,scholarsdedicatedtotheresearchtoimprovethecomputationalefficiencyoflinearequationsbyreorderingnodes’numberandreceivedalotofsuccesswhichlaidasolidfoundationforpowersystemanalysis.Jacobianmatrixinpowerflowcalculation,similarwiththeadmittancematrix,hassymmetricalstructureandahighdegreeofsparsity.Duringthefactorizationprocedure,nonzeroentriescanbegeneratedinmemorypositionsthatcorrespondtozeroentriesinthestartingJacobianmatrix.Thisactionisreferredtoasfill-in.Iftheprogrammingtermsisusedwhichprocessedandstoresonlynonzeroterms,thereductionoffill-inreflectsagreatreductionofmemoryrequirementandthenumberofoperationsneededtoperformthefactorization.Somanyextensivestudieshavebeenconcernedwiththeminimizationofthefill-ins.Whileitishardtofindefficientalgorithmfordeterminingtheabsoluteoptimalorder,severaleffectivestrategiesfordeterminingnear-optimalordershavebeendevisedforactualapplications[2,3].Eachofthestrategiesisatrade-offbetweenresultsandspeedofexecutionandtheyhavebeenadoptedbymuchofindustry.Thesparsity-programmedorderedeliminationmentionedabove,whichisabreakthroughinpowersystemnetworkcomputation,dramaticallyimprovingthecomputingspeedandstoragerequirementsofNewton’smethod[4].Aftersparsematrixmethods,sparsevectormethods[5],whichextendsparsityexploitationtovectors,areusefulforsolvinglinearequationswhentheright-hand-sidevectorissparseorasmallnumberofelementsintheunknownvectorarewanted.Tomakefulluseofsparsevectormethodsadvantage,itisnecessarytoenhancethesparsityofL-1byorderingnodes.Thisisequivalenttodecreasingthelengthofthepaths,butitmightcausemorefill-ins,greatercomplexityandexpense.Counteringthisproblem,severalnodeorderingalgorithms[6,7]wereproposedtoenhancesparsevectormethodsbyminimizingthelengthofthepathswhilepreservingthesparsityofthematrix.Uptonow,onthebasisoftheassumptionthatanarbitraryorderofnodesdoesnotadverselyaffectnumericalaccuracy,mostnodeorderingalgorithmstakesolvinglinearequationsinasingleiterationasresearchsubject,aimingatthereductionofmemoryrequirementsandcomputingoperations.Manymatriceswithastrongdiagonalinnetworkproblemsfulfilltheaboveassumption,andorderingtoconservesparsityincreasedtheaccuracyofthesolution.Nevertheless,iftherearejunctionsofveryhighandlowseriesimpedances,longEHVlines,seriesandshuntcompensationinthemodelofpowerflowproblem,diagonaldominancewillbeweaken[8]andtheassumptionmaynotbetenableinvariably.Furthermore,alongwiththedevelopmentofmodernpowersystems,variousnewmodelswithparametersundervariousordersofmagnitudeappearinthemodelofpowerflow.Thepromotionofdistributedgenerationalsoencourageustoregardthedistributionnetworksandtransmissionsystemsasawholeinpowerflowcalculation,anditwillcausemoreseriousnumericalproblem.Allthosethingsmentionedabovewillturntheproblemintoill-condition.Soitisnecessarytodiscusstheeffectofthenodenumberingtotheaccuracyofthesolution.Basedontheexistingnodeorderingalgorithmmentionedabove,thispaperfocusattentiononthecontradictionbetweenmemoryandaccuracyduringnodeordering,researchhowcouldnodeorderingalgorithmaffecttheperformanceofpowerflowcalculation,expectingtolaygroundworkforthemorerationalityorderingalgorithm.Thispaperisarrangedasfollows.ThecontradictionbetweenmemoryandaccuracyinnodeorderingalgorithmisintroducedinsectionII.NextasimpleDCpowerflowisshowedtoillustratethatnodeorderingcouldaffecttheaccuracyofthesolutioninsectionIII.Then,takinga6-nodenetworkasanexample,theeffectofnodeorderingontheperformanceofpowerflowisanalyzeddetailedinsectionIV.ConclusionisgiveninsectionVI.CONTRADICTIONBETWEENMEMORYANDACCURACYINNODEORDERINGALGORITHMAccordingtonumericalmathematics,completepivotingisnumericallypreferabletopartialpivotingforsystemsoflineralgebraicequationsbyGaussianEliminationMethod(GEM).Manymathematicalpapers[9-11]focustheirattentiononthediscriminationbetweencompletepivotingandpartialpivotingin(GEM).Reference[9]showshowpartialpivotingandcompletepivotingaffectthesensitivityoftheLUfactorization.Reference[10]proposesaneffectiveandinexpensivetesttorecognizenumericaldifficultiesduringpartialpivotingrequires.Oncetheassessmentcriterioncannotbemet,completepivotingwillbeadoptedtogetbetternumericalstability.Inpowerflowcalculations,partialpivotingisrealizedautomaticallywithoutanyrow-interchangesandcolumn-interchangesbecauseofthediagonallydominantfeaturesoftheJacobinmatrix,whichcouldguaranteenumericalstabilityinfloatingpointcomputationinmostcases.Whileduetoroundingerrors,thepartialpivotingdoesnotprovidethesolutionaccurateenoughinsomeill-conditionings.Ifcompletepivotingisperformed,ateachstepoftheprocess,theelementoflargestmoduleischosenasthepivotalelement.Itisequivalenttoadjustthenodeorderinginpowerflowcalculation.Sothenoderelatetotheelementoflargestmoduleistendtoarrangeinfrontforthepurposeofimprovingaccuracy.Thenodereorderingalgorithmsguidedbysparsematrixtechnologyhavewildlyusedinpowersystemcalculation,aimingatminimizingmemoryrequirement.Inthesealgorithms,thenodeswithfeweradjacentnodestendtobenumberedfirst.Theresultisthatdiagonalentriesinnodeadmittancematrixtendtobearrangedfromleasttolargestaccordingtotheirmodule.Analogously,everydiagonalsubmatricesrelatetoanodetendtobearrangedfromleasttolargestaccordingtotheirdeterminants.Sotheresultsobtainedformsuchalgorithmswilljustdeviateformtheprinciplefollowwhichtheaccuracyofthesolutionwillbeenhance.Thatiswhatwesaythereiscontradictionbetweennodeorderingguidedbymemoryandaccuracy.III.DIFFERENCEPRECISIONOFTHESOLUTIONUSINGPARTICALPIVOTINGANDCOMPLETEPIVOTINGItissaidthatcompletepivotingisnumericallypreferabletopartialpivotingforsolvingsystemsoflinearalgebraicequations.Whenthesystemcoefficientsarevaryingwidely,theaccuracyofthesolutionwouldbeaffectbyroundingerrorshardlyanditisnecessarytotaketheinfluenceoftheorderingontheaccuracyofthesolutionintoconsideration.Fig.1DCmodelofSample4-nodenetworkAsanexample,considertheDCmodelofsample4-nodesystemshowninFigure1.Node1istheswingnodehavingknownvoltageangle;nodes2-4areloadnodes.Followingtheoriginalnodenumber,theDCpowerflowequationis:Tosimulatecomputernumericalcalculationoperations,foursignificantfigureswillbeusedtosolvetheproblem.ExecutingGEMwithoutpivotingon(1)yieldsthesolution[θ2,θ3,θ4]T=[-0.3036,-0.3239,-0.3249]T,whosecomponentsdifferfromthatoftheexactsolution[θ2,θ3,θ4]T=[-0.3,-0.32,-0.321]T.Amoreexactsolutioncouldbeobtainedbycompletepivoting:[θ2,θ3,θ4]T=[-0.3007,-0.3207,-0.3217]T,andtheorderofthenodeafterrowandcolumninterchangesis3,2,4.Sothisisamorereasonableorderingschemeforthepurposeofgettingmorehighaccuracy.IV.THEINFLUENCEOFNODEREODERINGONTHEPERFORMANCEOFNEWTON-RAPHSONPOWERFLOWMETHODFig.2Sample6-nodenetworkOnthebasisoftheabove-mentionedanalysis,theschemefornodereorderingwillnotonlyaffectmemoryrequirementbutalsotheaccuracyofthesolutioninsolvinglinearsimultaneousequations.SoperformanceofNewton-Raphsonpowerflowmethodwillbedifferentwithvariousnodeordering.Inthissectionthreeschemesoforderingfordifferentpurposewillbeappliedtoasample6-nodenetworkshowninFig2tocomparetheinfluenceofthemontheaccuracyofthesolution,theconvergencerate,thecalculatedamountandthememoryneededinpowerflowcomputation.ThedetailoftheperformanceisshownintableIV.Puropse1SavingMemoryasfaraspossibleAtpresent,therearevariousschemeswidelyusedfornodenumberinginnear-optimalordertoreducefill-insandsavememory.Theonlyinformationneededbytheschemesisatabledescribingthenode-branchconnectionpatternofthenetworks.AnorderthatwouldbeoptimalforthereductionoftheadmittancematrixofthenetworkisalsooptimalforthetableoffactorsrelatedJacobianmatrix.Differentschemesreachdifferentcompromisebetweenprogrammingcomplexityandoptimality.Inthispaper,whatweconcernaboutishowtheresultofthenumberingaffectsthecomputationalperformance.Theprogrammingefficiencyisbeyondthescopeofthepresentwork.Tosavememory,adynamicnodeorderingschemesimilartothethirdschemepresentedin[2]isadoptedinthissection.Executionstepsofthealgorithmareasfollows.SchemeIa)Numberthenodedegreeofwhichisone.Ifmorethanonenodemeetthiscriterion,numberthenodewiththesmallestoriginalnumber.Iftherearenotsucnnodesanymore,startwithstepb);b)Numberthenodesothatnoequivalentbrancheswillbeintroducedwhenthisnodeiseliminated.Ifmorethanonenodemeetsthiscriterion,numbertheonewiththesmallestoriginalnumber.Ifwecannotstartwithstepa)orstepb),turntostepc);c)Numberthenodesothatthefewestbrancheswillbeintroducedwhenthisnodeiseliminated.Ifnotonlynodecouldintroducefewestbranches,numbertheonewiththelargestdegree.Oncecertainnodeisnumberedinthestepabove,updatethedegreeofrelevantnodesandtopologicalinformation.Untilallthenodesarenumbered,theprocessofnodenumberingendsup.TABLEI.REORDEREDNODESUSINGSCHEMEONEFollowingthestepsofschemeI,thesequenceofthenodenumberedforthe6-nodenetworkisgivenintableI.Nofill-inwillbeintroducedduringtheprocedureofsolvingthelinearequation,sothetableoffactorsandtheJacobianmatrixwillhavecompletelyidenticalstructure.Sothememoryrequirementforthetableoffactorsis0.256Kb,whichisthesamewiththatfortheJacobianmatrix.Normally,anacceptablesolutioncanbeobtainedinfourorfiveiterationsbyNewton-Raphsonmethod.While,thenumberofiterationsrequiredforthisexampleisthirty-threebecauseoftheill-conditionedcausedbythesmallimpedancebranch.123multiplyoperationswillbeperformedduringforwardsubstitutionandbackwardsubstitutionforeachiteration,and7456multiplyoperationswillbeperformedthroughoutthewholeprocessofsolving.B.Puropse2:ImprovingAccuracyUsingCompletePivotingConsideringthatcompletepivotingisnumericallypreferabletopartialpivoting,inthissectioncompletepivotingisadoptedtoimproveaccuracyofthesolutionofthelinearequations,aimingatreducingthenumberofiterations.Herenodesrelatetolargedeterminantofthediagonalsubmatricesintendtobearrangeinfront.Tosomeextern,themodulusoftheentriesonthemaindiagonaloftheadmittancematrixcouldindicatethemagnitudeofthedeterminantofthesubmatricesonthemaindiagonaloftheJacobianmatrix.Forconvenience,wemakeuseofadmittancematrixtodeterminetheorderofnumbers.SchemeIIa)Formthenodaladmittancematrix;b)Factorizethenodaladmittancematrixwithcompletepivoting.Recordthechangesonthepositionofthenodes;c)Determinethenewnumberofthenodeaccordingtothepositongofnodeintheendofthefactorization;TABLEII.REORDEREDNODESUSINGSCHEMETWOExecutingschemeII,completepivotingmightautomaticperformedwithoutrowandcolumnexchanges.Themoduleofentriesonmaindiagonalcorrespondingtosuchnodemaybecomelargerbysummingmorebranchparameter,asaresult,thenodes,degreeofwhichislarger,tendtobenumberedfirst.Sotheresultsofsuchschememaydepartformtheprincipleofnodenumberingguidedbysparsematrixmethodsandmanyfill-insmightbeintroduced.Thesequenceofthenodenumberedfor6-nodenetworkislistintableII.Sixfill-inswillbeproduced,somorememory(0.488Kb)andmoreoperations(321multiplyoperations)arespentintheprocedureofforwardandbackwardsubstitutionduringonceiteration.Thetotalnumberofiterationsrequiredreducestothirteen,whichsuggeststhatthecalculationaccuracyforlinearequationscouldberaisedbycompletepivoting.Finally,thenumberofmultiplyoperationsreducesto5573thankstosmallernumberofiterations.C.Puropse3:ImprovingAccuracywhilepreservingthesparsityOnlyonesmallimpedancebranchexistsinthesystem,soonlyfourentries(submatrices)correspondingtonode4andnode6areverylargeinadmittancematrix(Jacobinmatrix).Duringtheprocessofforwardsubstitution,oncenode4ornode6iselimination,thesubmatrixcomprisedofrestelementscouldkeepgoodnumericalstabilityandnumberingofrestnodeswouldnotmakeadifferencetotheaccuracyofthesolution.Totakebothaccuracyandsparsityintoaccount,wenumberednode4first,thennumberedothernodesfollowingthemethodusedforpurpose1.ThatiswhatwecalledschemeIIIforthe6-nodenetwork.Thesequenceofthenodenumberedforthe6-nodenetworkisgivenintableIII.Sinceonlyonesmallimpedancebranchexistsinthesystemanditconnectstonode4,thedegreeofwhichisone.SchemeIIIwillmeettherequestofpurpose1.Sothenumberoffill-ins,memoryrequirementsandoperationsneededforfactorizationareallthesamewithschemeI.Onlynineiterationswillbeneededtoinsuretheconvergence,resultinalargesaveofcalculation(only2107multiplyoperations).ThereductiononthenumberofiterationsindicatesthatmoreexactsolutionsforthelinearequationscouldbegotusingschemeIII.Afteranalysisandcomparison,thereasonsareasfollows:•Thediagonalelementrelatedtonode4isjustalittlesmallerthantheonerelatedtonode6,soeliminatenode4firstwillnotdecreaseaccuracy.Theschemecouldmeetcompletepivotingapproximately.•FeweroperationsinschemeIIIreducetheroundingerrorofcalculatorfloating-pointnumbers.Especially,ifeliminatenode6first,verysmallvaluemightbeaddedtodiagonalelementofnode2andnode5,whichwouldcauseseriousroundingerror.While,ifeliminatenode4first,asizablevaluewillbeaddedtodiagonalelementofnode6,producingavalueinthenormalrange.TABLEIII.REORDEREDNODESUSINGSCHEMETHREETABLEIV.PERFORMACNEOFNEWTONPOWERFLOWUSINGDIFFERENTSCHMEMSOFNODEORDERINGV.CONCLUSIONTheoreticalanalysisandtheresultofnumericalcalculatingsuggestthatitisnecessarytoconsidertheinfluenceofnodeorderingontheaccuracyofthepowerflowcalculation.Ifthenodeorderingalgorithmtakesbothmemoryandaccuracyintoaccountreasonably,theperformanceofpowerflowcalculationcouldbefurtherimproved.Elementaryconclusionsofthispaperareasfollows:Forthewell-conditioningpowersystem,theinfluenceofnodeorderingontheaccuracyofpowerflowcalculationcouldbeneglect.Itismoreimportanttofocusourattentiononkeepingthesparsitytosavememoryrequirementandcomputeoperations.Fortheill-conditioningpowersystem,theaccuracymustbeconsideredinnodeorderingalgorithmtospeeduptheconvergencerate.Onthisbasis,ifthesparsityisconsideredmeanwhile,moreaccuracymightbeobtainedbecauseofthereductionoffloatpointcomputation.VI.REFERENCES[1]AllenJ.WoodandBruceF.Wollenberg,“PowerGeneration,OperationandCotrol(SecondEdition),”Tsinghuo[2]W.F.TinneyandJ.W.Walker.“Directsolutionsofsparsenetworkequationsbyoptimallyorderedtriangularfactorization,”ProceedingsoftheIEEE,vol.55,No.11,pp.1801-1809,November1967.[3]K.M.SambarapuandS.M.Halpin,“Sparsematrixtechniquesinpowersystems,”Thirty-NinthSoutheasternSymposiumonSystemTheory,March2007.[4]W.F.TinneyandC.E.Hart,“PowerflowsolutionbyNewton'sMethod,”IEEETransactionsonPowerApparatusandSystems,Vol.PAS-86,No.11,pp.1449-1460,November1967.[5]W.F.Tinney,V.Brandwajn,andS.M.Chan,“Sparsevectormethods,”IEEETransactionsonPowerApparatusandSystems,Vol.PAS-104,No.2,pp.295-301,February1985.[6]R.Betancourt,“Anefficientheuristicorderingalgorithmforpartialmatrixrefactorization,”IEEETransactionsonPowerSystems,Vol.3,No.3,pp.1181-1187,August1988.[7]A.GomezandL.G.Franquelo.“Anefficientorderingalgorithmtoimprovesparsevectormethods,”IEEETransactionsonPowerSystems,Vol.3,No.4,pp.1538-1544,November1988.[8]B.Stott,“Reviewofload-flowcalculationmethods,”ProceedingsoftheIEEE,Vol.62,No.7,pp.916-929,July1974.[9]X.W.ChangandC.C.Paige,“OnthesensitivityoftheLUfactorization,”BIT,Vol.38,No.3,pp.486-501,1998.[10]P.A.Businger,“MonitoringthenumericalstabilityofGaussianelimination,”Numer.Math,Vol.16,pp.360-361,1971.[11]PaolaFavati,MauroLeoncini,andAngelesMartinez,“Ontherobustnessofgaussianeliminationwithpartialpivoting,”BIT,Vol.40,No.1,pp.062-073,2000外文翻译（译文）潮流不同排序方案的比较摘要：今天被广泛应用的节点排序算法，旨在尽可能地保证电力系统的稀疏性。在这些算法中，因为在正常的系统中算法对每种解决方案的精确度不会有显著的差异，所以它的影响通常被忽略。然而随着现代电力系统的发展，这个问题会变得更加严重，并且在节点排序过程中必须要把计数精度考虑在内。在本文中，我们试图为更多合理性排序算法奠定了基础，这样可以使内存和准确性之间进行合理的比较。本文列举出了三种不同目的的排序方案，旨在比较潮流计算的形式，并且以一个六节点网络为例进行具体讨论。关键词：潮流计算，节点排序，稀疏性，精确度，牛顿—拉夫逊算法，线性方程组1引言潮流是在电力系统的分析中最基本和最重要的概念，而潮流计算则是进行电力系统规划，运行，调度和控制的基础。从数学上来讲，潮流问题是要找到一个非线性方程组的数值解。牛顿—拉夫逊算法是解决这个问题最常用的方法，它涉及到一系列线性方程组重复的直接求解。线性方程组求解的效率和精度直接影响了牛顿-拉夫逊潮流算法的性能。在潮流计算中，电力系统的数值和物理特性，学者们通过重新安排节点的数目，致力于研究以便改善线性方程组的计算效率，并获得了很大的成功从而为电力系统的分析奠定了坚实的基础。在潮流计算中的雅可比矩阵，类似于导纳矩阵，有着对称的结构和高度的稀疏性。在分解过程中，内存中的位置可以产生非零输入，从而在原始的雅可比矩阵中产生零输入。这一行动被称为最小填充。如果用只能处理和存储非零输入的编程术语，最小填充的减少反映了内存需求和执行分解所需的操作数量的大大减小。所以广泛的研究与最小填充的极小值有关。虽然很难找到为确定绝对的最佳排序的有效的算法，但是有着接近最好效果的一些有效算法已经得到了实际应用。每种策略是在结果和执行速度两者之间的折中，并且它们都被大部分工业所采纳。上面提到的稀疏性的编程排序消除，在电力系统网络计算中这是一个突破，这使得牛顿法的计算速度和存储需求显著提高。在稀疏矩阵的方法之后，稀疏向量扩展到向量的稀疏性探索的方法，当右手边的向量是稀疏的或在未知向量元素少数想用于求解线性方程组时，这种方法对求解线性方程是有用的。为了充分利用稀疏向量方法的优点，通过节点排序加强L-1的稀疏性是十分必要的。这相当于减少路径的长度，但它可能会导致更多的最小填充，更大的复杂性和费用。为了解决这个问题，提出了一些节点排序算法，这种算法试图通过减少路径的长度，同时保持矩阵的稀疏性来增强稀疏向量方法。到目前为止，在任意一个节点的次序不会对数值精度产生负面影响的假设的基础上，大多数节点排序算法通常会采取单一迭代解决线性方程组作为研究对象的方法，旨在减少内存需求和计算操作。许多在网络问题中的强大对角线矩阵满足上述假设，并且为了保证稀疏性的排序方法增加了解决方案的准确性。然而，如果在潮流系统模型中存在一系列非常高或低的阻抗，长的超高压线路，串联和并联补偿等问题，对角占优将被削弱和假设可能并不总是站不住脚的。此外，随着现代电力系统的发展，不同数量级参数下的新模型出现在潮流模型中。分布式发电的推广也使我们坚定地把分布网络和传输系统融入到整个电力系统潮流计算中，当然它会造成更严重的数值问题。上面提到的所有这些事情会使问题变得更加糟糕。因此，有必要讨论节点编号对计算精度的影响。基于上述提出的节点排序算法，本文重点关注这种节点排序在内存和准确性之间的矛盾，研究节点排序算法如何能影响的电力系统潮流计算的性能，从而为更理性的排序算法奠定基础。本文安排如下：在第二部分介绍了节点排序算法的内存和准确性之间的矛盾。接下来的第三部分通过一个简单的直流潮流来说明节点的顺序可能会影响算法的精度。然后在第四部分以6个节点的网络作为一个例子，对于节点排序对潮流性能的影响进行了详细分析。在第六部分给出了结论。2节点排序算法中内存和精确度之间的矛盾根据计算数学，对于用高斯消元法求解的系统的线性代数方程组，完全消元法在数值上比部分消元法更可取。许多数学论文[9-11]都会关注高斯消元法的完全消元法与部分消元法的区别。参考文献[9]表明部分消元法和完全消元法是如何影响LU分解的灵敏度。参考文献[10]提出了一种有效而廉价的测试，从而找到在部分消元法在使用时的数学难题。一旦不能满足评估标准，就会采用完全消元法，以获得更好的数值稳定性。在潮流计算中，部分消元法可以再没有任何行交汇的情况下自动实现，因为在大多数情况下，雅可比矩阵的对角占优的功能可以保证在浮点运算的数值稳定性的。虽然由于舍入误差，部分消元法在有些极限点附近不能提供准确的解决方法。如果采用完全消元法，上面执行过程中的每一步，关键因素通常选择最大的模块元素。这相当于调整潮流计算的节点排序。因此，与最大的模块元素有关的节点往往安排在前面以达到提高精度的目的。以稀疏矩阵技术为导向的节点重新排序算法已广泛应用于电力系统计算中，旨在最大限度地减少内存需求。在这些算法中，有着较少相邻节点的节点往往首先被编号。其结果是在节点导纳矩阵的对角线项往往根据自己的模块被安排从最小到最大排列。类似地，每一个涉及到一个节点的对角线子矩阵，往往根据他们的行列式按照从最小到最大的顺序进行排列。这样从这些算法形式中的获得的结果只会偏离形成的原则，但是后续的解决方案的精度将提高。这是我们所说的按照内存原则进行节点排序和精确度之间是有矛盾的。3使用部分消元法和完全消元法所产生的精确度差异对于解决系统的线性代数方程组，完全消元法在数值上比部分消元法更可取。当系统系数变广时，解的精度几乎不可能受舍入误差的影响，因此把排序对于解决方案的准确性的顺序考虑在内是必要的。图1有着四个节点的网络样本的直流模型以图1所示的有着四个节点的网络样本的直流模型为例。节点1是已知电压相角摆动节点;节点2-4负荷节点。按照原来的节点数量，直流潮流方程是：为了模拟计算机数值计算操作，我们用四个有效数字来解决这个问题。没有消元地对公式（1）执行高斯消元得到的解为[θ2,θ3,θ4]T=[-0.3036,-0.3239,-0.3249]T，其与精确解[θ2,θ3,θ4]T=[-0.3,-0.32,-0.321]的部分元素不同，通过完全消元法可以得到一个更加精确的解：[θ2,θ3,θ4]T=[-0.3007,-0.3207,-0.3217]，并且行和列的交汇处的节点的排序是3,2,4。所以这是一个为了获得更高精确度的一个更加合理的方案。4节点排序对牛顿-拉夫逊潮流计算方法的表现形式的影响图2有着六个节点的网络样本的直流模型在上述分析的基础上，对节点重新排序的方案将不仅影响到内存的要求，而且影响到求解线性方程组时解的精度。因此，牛顿–拉夫逊潮流方法的性能将随着节点排序的变化而不同。在本节中将把三种不同的排序方案应用到如图2所示的6个节点的网络，以便对它们对潮流计算中解的精度、收敛速度、计算量和内存需求量进行比较。表四所示的是性能的细节。A目的一：尽可能地节省内存目前，以减少最小优化和节省内存节点，有各种各样的方案应用于近优化的节点排序。这种方案所需要的唯一信息是描述网络节点分支连接模式的一个表。对减少网络的导纳矩阵有着最佳效果的排序也是相关的雅可比矩阵表的最优的因素。在编程的复杂性和最优性之间不同的方案可以达成不同的妥协。在本文中，我们关注的编号的结果是如何影响计算性能。编程效率是超出了目前的工作范围。为了节省内存，在这一部分中，提出了与[2]中提出的第三种方案类似一个动态节点排序方案。该算法的执行步骤如下。方案一a定义其中一个节点度为一。如果一个以上的节点符合这个标准，选择最原始的节点。如果没有任何节点符合要求，启动步骤b；b当这个节点被淘汰，编号那些没有等效的分支节点可以被引入的节点。如果一个以上的节点符合这个标准，选择最原始的节点。如果我们不能启动步骤a和步骤b，打开步骤c；c当这个节点被淘汰，编号那些有最少分支的节点。如果不止一个节点可以引入最少的分支节点，给那个最大节点度的节点编号。一旦在上述步骤中某个节点被编号，更新相关节点度和拓扑信息。直到所有的节点都编上号，节点编号就完成了。表1用方案一给节点再排序新节点号码旧节点号码112332445665紧跟着方案一之后，6节点网络的节点编号次序如表1所示。在求解线性方程组的过程中，没有引进最小填充，所以表格的因素和雅可比矩阵将有完全一致的结构。所以表格的因素的内存需求是0.256Kb的，这个与该雅可比矩阵相同。通常情况下，通过四五次牛顿-拉夫逊迭代方法就可以得到解。可是这个例子所需的迭代次数是三十三次，因为小阻抗分支所造成的病态性。在每次迭代期间前后替代的过程中需要123次乘法运算，整个解答过程需要7456次乘法运算。B目的二：用完全迭代法改善精确度考虑到完全消元法在数值上比部分消元法更可取，在本节中，为了提高解决线性方程组的准确性而采用完全消元法，旨在减少迭代次数。这里涉及到大量的对角线子矩阵行列式的节点以便安排在前面。在某种程度上，导纳矩阵的主对角线上的入口模数可以表明雅可比矩阵的主对角线上的子矩阵的行列式的幅度。为方便起见，我们利用导纳矩阵确定数字的顺序。方案二a形成节点导纳矩阵；b用完全消元法因式分解节点导纳矩阵。记录节点的当前位置上的变化；c根据因式分解的节点的最终位置确定节点的新编号；表1用方案二给节点再排序新节点号码旧节点号码162432455361执行方案二，完整消元法可以再没有行和列交汇的情况下自动进行。对应这些节点的主对角线的入口模数通过总结更多的分支参数而变得更大，因此，节点度越大的往往首先被编号。因此，该方案的的结果可能与稀疏矩阵方法和许多引入的最小填充下形成的节点编号的原则相异。6节点网络的节点编号次序如表2所示。将产生6个最小填充，所以在一次迭代中前后替代过程中将花费更多的内存（0.488Kb）和更多的操作（321个乘法运算），所需的迭代总数减少到十三次，这表明线性方程组的计算精度通过完全消元法得以提高。最后，由于迭代次数的减少乘法运算的次数减少到5573次。C目的三：保持稀疏性的同时提高精确度在系统中只存在一个小的阻抗分支，所以相应于节点4和节点6的只有四个条目（子矩阵）是非常大的导纳矩阵（雅可比矩阵）。在提出替代的过程中，一旦节点4和节点6被消除，其余元素组成的子矩阵能保持良好的数值稳定性，并且其余节点的编号不会对解决方案的精确度产生影响。把准确性和稀疏性都考虑在内，我们把4节点编为1号，然后按照目的一的方法给其他节点编号。这就是我们所说的6个节点网络的方案三。6节点网络的节点编号次序如表3所示。由于在系统中只存在一个小的阻抗分支，并且它连接到节点度为1的节点4。方案三将符合目的一的要求。因此，最小填充的数目，内存需求和分解所需的操作次数与方案一相同。为了保证收敛性，只需要9次迭代，导致计算量大大减少（仅2107次乘法运算）。迭代次数的减少表明，使用方案三可以使线性方程组得到更加精确的求解。经过分析和比较，原因如下：与节点4有关的对角线元素比节点6小一点，因此首先消除节点4不会降低精确度。该方案能够满足完全消元法。方案三的更少的操作次数减少计算器浮点数的舍入误差。尤其注意的是，如果首先消除节点6，非常小的值可能被添加到节点2和节点5的节点元素，这将导致严重的舍入误差。然而，如果首先消除节点4，一个相当大的值将被添加到节点6的对角线元素上，产生的新值在正常范围内。表3用方案二给节点再排序新节点号码旧节点号码142133455662表4用不同节点排序方案的进行牛顿潮流计算的性能比较方案一方案二方案三内存（Kb）0.2560.4880.256最小填充数060迭代次数33139分解计算数目123321123总的计算次数745955732107a这里“操作次数”只代表乘法次数因为乘法最耗时。5结论理论分析和数值计算结果表明：在潮流计算中考虑节点排序是十分必要的。如果节点排序算法合理地考虑内存和精确度，潮流计算性能可以进一步改善。本文的基本结论如下：对于良好的电力系统，节点排序对潮流计算精确度的影响是可以忽略的。更重要的是，我们的注意力应该集中在保持稀疏性以以节省内存需求和计算操作上。对于病态的电力系统，为了加快收敛速度，在节点排序算法中必须考虑精确度。在此基础上，如果同时要保证稀疏性，为了减少浮点计算精度的需求，我们应该获得更多的精确度。6参考文献[1]AllenJ.WoodandBruceF.Wollenberg,“PowerGeneration,OperationandCotrol(SecondEdition),”Tsinghuo[2]W.F.TinneyandJ.W.Walker.“Directsolutionsofsparsenetworkequationsbyoptimallyorderedtriangularfactorization,”ProceedingsoftheIEEE,vol.55,No.11,pp.1801-1809,November1967.[3]K.M.SambarapuandS.M.Halpin,“Sparsematrixtechniquesinpowersystems,”Thirty-NinthSoutheasternSymposiumonSystemTheory,March2007.[4]W.F.TinneyandC.E.Hart,“PowerflowsolutionbyNewton'sMethod,”IEEETransactionsonPowerApparatusandSystems,Vol.PAS-86,No.11,pp.1449-1460,November1967.[5]W.F.Tinney,V.Brandwajn,andS.M.Chan,“Sparsevectormethods,”IEEETransactionsonPowerApparatusandSystems,Vol.PAS-104,No.2,pp.295-301,February1985.[6]R.Betancourt,“Anefficientheuristicorderingalgorithmforpartialmatrixrefactorization,”IEEETransactionsonPowerSystems,Vol.3,No.3,pp.1181-1187,August1988.[7]A.GomezandL.G.Franquelo.“Anefficientorderingalgorithmtoimprovesparsevectormethods,”IEEETransactionsonPowerSystems,Vol.3,No.4,pp.1538-1544,November1988.[8]B.Stott,“Reviewofload-flowcalculationmethods,”ProceedingsoftheIEEE,Vol.62,No.7,pp.916-929,July1974.[9]X.W.ChangandC.C.Paige,“OnthesensitivityoftheLUfactorization,”BIT,Vol.38,No.3,pp.486-501,1998.[10]P.A.Businger,“MonitoringthenumericalstabilityofGaussianelimination,”Numer.Math,Vol.16,pp.360-361,1971.[11]PaolaFavati,MauroLeoncini,andAngelesMartinez,“Ontherobustnessofgaussianeliminationwithpartialpivoting,”BIT,Vol.40,No.1,pp.062-073,2000基于C8051F单片机直流电动机反馈控制系统的设计与研究基于单片机的嵌入式Web服务器的研究MOTOROLA单片机MC68HC（8）05PV8/A内嵌EEPROM的工艺和制程方法及对良率的影响研究基于模糊控制的电阻钎焊单片机温度控制系统的研制基于MCS-51系列单片机的通用控制模块的研究基于单片机实现的供暖系统最佳启停自校正（STR）调节器单片机控制的二级倒立摆系统的研究基于增强型51系列单片机的TCP/IP协议栈的实现基于单片机的蓄电池自动监测系统基于32位嵌入式单片机系统的图像采集与处理技术的研究基于单片机的作物营养诊断专家系统的研究\t