第十七单元 §17.1 合情推理与演绎推理

一 合情推理类型 定义由某类事物的 对归纳推理象具有某些特推出该事物的 对象都具有这些特征的推理和其中一类对象的某些已类比推理知 ,推出另一对象也具有这些 的推理

特点由部分到 由 到一般由特殊到§17.1合情推理与演绎推理合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事,经过观察、分析、比较、联,再进行归纳、 然后§17.1合情推理与演绎推理二 演绎推理.简言之演绎推理是由一般到 的推.“三段论”是演绎推理的一般模包括(1)大前提——已知的 ;小前提——所研究的 ;在线反馈结论——根据 ,对特殊情况做出的判.在线反馈一、部分 全部 整体 个别 类似特征 特征 特一、部分 全部 整体 个别 类似特征 特征 特特殊 类比 猜想二、1.特殊 2.(1)一般原理 (2)特殊情况 (3)一般原理1已知数列中当时依次计算后,猜想的表达式是( ).1【解析】由a1=1,a2=4,a3=9,a4=16,猜想an=n2.【答案】C2根据图中的数构成的规律,可得a表示的数是( ).2A.12B.48C.60D.144【解析】由图中的数据可知,每行除首末两个数外,其他数等于其肩上上一行两个数的乘积,所以3【答案】D3有下列几种说法:①归纳推理和类比推理是“合乎情理”的推理,统称为合情推理;②合情推理得出的结论,因为合情,所以一定正确;③演绎推理是一般到特殊的推理;④演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理的形式有关.以上说法正确的个数是( ).A.0 B.1 C.2 D.3【解析】根据题意,依次分析所给的4个说法:对于①,符合合情推理的定义,①正确;对于②,合情推理得出的结论不一定是正确的,②错误;对于③,演绎推理是一般到特殊的推理,符合演绎推理的定义,③正确;对于④,演绎推理的形式为三段论,即大前提、小前提和结论,演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理的形式有关,④正确.综上所述,有3个是正确的.故选D.4【答案】D4我们熟悉定理:平行于同一条直线的两条直线平行其数学符号语言这个推理称为 填“归纳推理”“类比推理”“演绎推理”之一).【解析】∵平行于同一条直线的两条直线平行,(大前提)而a∥b,b∥c,(小前提)∴a∥c.(结论)∴这是一个三段论,属于演绎推理.【答案】演绎推理题型归纳推理一1第五个等式99个等式为().20+21=3……【解析】依题意,用(t,s)表示2t+2s,题中等式的规律:第一行为3(0,1);第二行为5(0,2),6(1,2);第三行为9(0,3),10(1,3),12(2,3);第四行为17(0,4),18(1,4),20(2,4),24(3,4);….又因为99=(1+2+3+…+13)+8,所以第99个等式应位于第14行的从左至右的第8个位置,即27+214=16512,故选B.【答案】B归纳推理是依据特殊现象推出一般现象,因而在进行归纳推理时,首先观察题目给出的特殊数(式),得出变化规律(如本例中,要观察各行出现的等式个数的变化规律),然后检验这些特殊的数(式)是否符合观察得到的规律.若不符合,则应继续寻找规律;若符合,则可运用此规律推出一般结论.【追踪训练1】观察下列等式:1-=,1-+-=+,1-+-+-=++,……据此规律,第n个等式应为 .【解析】等式左边的特征:第1个等式有2项,第2个等式有4项,第3个等式有6项,且正负交错.故第n个等式左边有2n项且正负交错,应为1-+-- .-等式右边的特征:第1个等式有1项,第2个等式有2项,第3个等式有3项.故第n个等式有n项,且由前几个等式的规律不难发现第n个等式右边应为 + .【答案】1-+-+…+

- = + -题型类比推理二【例2】三角形的面积为S=(a+b+c)r,a,b,c为三角形的边长,r为三角形内切圆的半径,利用类比推理,可以得出四面体的体积为( ).V=abcV=ShV=V=分别为四面体四个面的面积,r为四面体内切球的半径)O——分割法,将O与四个顶点连起来,可得四面体的体积等于以O为顶点,分别以四个面为底面的四个三棱锥体积的和,所以四面体的体积V=(S1+S2+S3+S4)r,故选D.【答案】D类比推理的一般步骤:①找出两类事物之间的相似性或者一致性.②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(或猜想).【追踪训练2】若数列是等差数列,则数列也是等差数列类比这一性质可知若正项数列是等比数列,且也是等比数列,则类比推理的一般步骤:①找出两类事物之间的相似性或者一致性.②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(或猜想).【解析】(法一)由题意可知,商类比开方,和类比积,算术平均数类比几何平均数,故的表达式为.(法二)若是等差数列,则- +- d=-.若{c}是等比数列,则cc…c= -,n 1 2 n∴d= =c -,即{d}是等比数列.n 1 n【答案】D题型演绎推理三【例3】下面几个推理过程是演绎推理的是( ).-在数列中,根据-+ 计算出的值,然后猜想的通项公式-851525250ππ是无理数由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质【解析】A与B都是从特殊到一般的推理,是归纳推理,均属于合情推理;C为三段论,是从一般到特殊的推理,是演绎推理;D是由特殊到特殊的推理,是类比推理,属于合情推理;故选C.简单的演绎推理,易错点在于混淆合情推理与演绎推理的概念,弄清概念是关键.简单的演绎推理,易错点在于混淆合情推理与演绎推理的概念,弄清概念是关键.【追踪训练3分别是【解析】因为同位角相等,两条直线平行,(大前提)而∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A,(小前提)所以DF∥EA.(结论)因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)而DE∥BA,且DF∥EA,(小前提)AFDE是平行四边形因为平行四边形的对边相等,(大前提)而ED和AF为平行四边形的对边,(小前提)所以ED=AF.(结论)上面的推理过程可简略地写成:AFDE是平行四边形ED=AF.方法归纳推理的一般步骤一观察:通过观察具体事物发现某些相同特征.概括、归纳:从已知的相同特征中概括、归纳出一个明确表述的一般性命题.猜测一般性结论.【突破训练1】已知观察下列各式:x+≥2,x+=++ ≥3,x+ =+++ ≥4,….类比得x+则a= .【答案】nn方法类比推理的一般步骤二找出两类事物之间的相似性或一致性.猜想).检验这个猜想.一般情况下,如果类比的两类事物的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的结论就越可靠.类比得出的结论既可能为真,也可能为假.类比推理是一种由特殊到特殊的认识过程,具有十分重要的实用价值.【突破训练2】在平面内,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高,点P为三角形ABC内任一点,点P到相应三边的距离分别为我们可以得出结论: + + 把它类比到空间,则三棱锥中类似的结为 .【解析】设ha,hb,hc,hd分别是三棱锥A-BCD四个面上的高,P为三棱锥A-BCD内任一点,点P到相应四个面的距离分别为于是可以得出结论: + ++ 【答案】 + ++ 方法演绎推理的规律方法三分析演绎推理的构成时,要正确区分大前提、小前提和结论,省略大前提的要补出来.判断演绎推理是否正确的方法:看推理形式是否为由一般到特殊的推理,只有由一般到特殊的推理才是演绎推理,这是最易出错的地方.看大前提是否正确,大前提往往是定义、定理、性质等,注意其中有无前提条件(3)看小前提是否正确,注意小前提必须在大前提的范围之内.(4)看推理过程是否正确,即看由大前提、小前提得到的结论是否正确.【突破训练3】某国家流传这样的一个政治笑话:“鹅吃白菜,参议员先生也吃白菜,所以参议员先生是鹅.”结论显然是错误的,是因为( ).大前提错误 小前提错误推理形式错误非以上错特殊情况,鹅与人不能类比,所以不符合三段论的推理形式,所以推理形式错误.【答案】C1.(2018西安五校联考)下列推理是归纳推理的是( ).A.A,B为定点,动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,则P点的轨迹为椭圆n的表达式由圆的面积猜想出椭圆 + 的面积科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【解析】从S1,S2,S3猜想出数列的前n项和Sn,是从特殊到一般的推理,所以选项B是归纳推理,故选B.【答案】B2.(2018海南八校一模)正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此f(x)=sin(x2+1)是奇函数,以上推理( ).A.结论正确 大前提不正小前提不正确全不正确【解析】f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数,所以小前提错误.【答案】C3.(2018吉林白山二模)平面内有n条直线,最多可将平面分成个区域,则的表达式为( ).B.2nC. 【解析】1条直线将平面分成1+1=2个区域;……n条直线最多可将平面分成= 个区域,故选C.【答案】C4.(2018江西七校一模)给出下列三个类比结论:①(ab)n=anbn与(a+b)n类比,则有(a+b)n=an+bn;②loga(xy)=logax+logay与sin(α+β)类比,则有sin(α+β)=sinαsinβ;③(a+b)2=a2+2ab+b2与(a+b)2类比,则有(a+b)2=a2+2ab+b2.其中正确结论的个数是( ).A.0 B.1 C.2 D.3【解析】(a+b)n≠an+bn(n≠1,ab≠0),故①错误.sin(α+β)=sinαsinβ不恒成立.如α=30°,β=60°,sin90°=1,sin30°sin60°= ,故②错误.由向量的运算公式知③正确.【答案】B5.(2018保定一模)观察下列不等式:1+ <,1+ + <,1+ + + <,……照此规律,第五个不等式为 .【解析】观察每行不等式的特点,每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端分数的分母相等,且每行不等式右端分数的分子构成等差数列.故第五个不等式为1+ + + + + < .【答案】1+ + + + + <6.(2018安徽安庆二模)若P(x,y)在椭圆 + 外,过点P作椭圆的两条切线,切点为P,P,则0 0 0 0 1 2切点弦所在直线的方程是 + 那么对于双曲线,则有如下命:若在双曲线- 外,过点作双曲线的两条切,切点为则切点弦所在直线的方程是 .【解析】设则以为切点的切线方程分别是 - - 因为在这两条切线上,所以

- - 这说明在直线 - 上,故切点弦所在直线的方程是 - 【答案】 - 7.(2018北京东城区模考)设,先分别求然后归纳猜想一般性结论,并给出证明.【解析】+= + = -+- = ,同理可得.又在这三个特殊式子中,自变量之和均等于1,归纳猜想:当时,均有.证明如下:设则+= == = = .8.(2018AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形,又圆环的面积,所以,圆环的面积等于以线段AB=R-r为宽以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π× 为长的矩形面积请你将上述想法拓展到空间,并解决下列问题:若将平面区域M={(x,y)|(x-d)2+y2≤r2}(其中0<r<d)绕y轴旋转一周,则所形成的旋转体的体积是().A.2πr2dB.2π2r2dC.2πrd2D.2π2rd2【解析】平面区域MMyOd2πd为高的圆柱的B.【答案】B9.(2018如图(1)O、ONM、MN、N,1 2 1 2则 = 如图(2),若从点O所作的不在同一平面内的三条射线、OQ和OR上分别有点P1、、点、和点、则类似的结论为 .【解析考查类比推理问题,由题意得三棱锥及三棱锥的底面面积之比为 ,又过顶点分别向底面作垂线,得到高的比为 ,故 - = ,即 - = .- -【答案】 - =-10.(2018河北唐山一中月考在Rt△ABC中,若于点则 = + 那么在四面A-BCD中,类比上述结论,你能得到怎样的猜想,并说明理由.【解析】如图(1)所示,由射影定理得= = = .又= = + .猜想:在四面体A-BCD中,若、、AD两两垂直平面则 = + + 证明如下:如图(2),连接BE并延长交CD于点F,连接AF.∵AB⊥AC,AB⊥AD,AC∩AD=A,AC⊂平面ACD,AD⊂平面ACD,∴AB⊥平面ACD.∵AF⊂平面ACD,∴AB⊥AF.在Rt△ABF中= + .在Rt△ACD中= + .∴ = + + .11.(2018广东湛江二模)对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),给出定义:设f'(x)是函数y=f(x)的导数,f″(x)是f'(x)的导