虚功原理及结构的位移计算

虚功原理及结构的位移计算第一页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四第4章虚功原理及结构的位移计算§4.2虚功原理及应用§4.3结构位移计算的一般公式§4.4静定结构在荷载作用下的位移计算§4.5图乘法§4.6由于温度改变、支座移动引起的位移水利土木工程学院结构力学课程组§4.7线弹性结构的互等定理§4.1结构位移的概念及类型第二页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组教学基本要求:掌握刚体系虚功原理与变形体虚功原理内容及其应用条件，掌握刚体虚功原理的应用，掌握广义位移与广义荷载的概念。掌握结构位移计算的一般公式，并能正确应用于各类静定结构受荷载作用、支座位移、温度变化等引起的位移计算。熟练掌握图乘法的推导、应用条件、图乘技巧、梁和刚架位移计算的图乘法。了解曲杆和拱的位移计算。掌握线弹性结构的互等定理。第4章虚功原理及结构的位移计算第三页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组重点：难点：虚功原理的理论解释图乘法的图乘技巧

虚功原理及应用图乘法及应用第4章虚功原理及结构的位移计算第四页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四§4.2虚功原理及应用§4.3结构位移计算的一般公式§4.4静定结构在荷载作用下的位移计算§4.5图乘法§4.6由于温度改变、支座移动引起的位移水利土木工程学院结构力学课程组§4.7线弹性结构的互等定理§4.1结构位移的概念及类型第4章虚功原理及结构的位移计算第五页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组一、结构的位移CDFP相对线位移相对角位移FPA角位移1、变形和位移在荷载作用下，结构将产生变形和位移。变形：是指结构形状的改变。位移：是指结构各处位置的移动。2、位移的分类广义位移线位移第4章虚功原理及结构的位移计算§4.1结构位移的概念及类型第六页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组3、引起结构位移的原因荷载

温度改变T

支座移动c

制造误差等一、结构的位移+t℃第4章虚功原理及结构的位移计算§4.1结构位移的概念及类型第七页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组二、计算位移的目的

1、刚度要求在工程上，吊车梁允许的挠度<1/600跨度；高层建筑最大位移<1/1000高度；最大层间位移<1/800层高。铁路工程技术规范规定：桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度<1/700和1/900跨度。2、超静定要求3、施工要求第4章虚功原理及结构的位移计算§4.1结构位移的概念及类型第八页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组3、理想约束

三、本章位移计算的假定4、适用叠加原理1、线弹性2、小变形四、位移计算的方法位移是几何量，自然可用几何法来求。结构力学中位移计算的常用方法以虚功原理为基础。本章先介绍变形体系的虚功原理，然后讨论静定结构的位移计算。第4章虚功原理及结构的位移计算§4.1结构位移的概念及类型第九页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组§4.2虚功原理及应用§4.3结构位移计算的一般公式§4.4静定结构在荷载作用下的位移计算§4.5图乘法§4.6由于温度改变、支座移动引起的位移§4.7线弹性结构的互等定理§4.1结构位移的概念及类型第4章虚功原理及结构的位移计算第十页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组1、功的定义一个不变的集中力F所作的功Ｗ等于该力的大小与其作用点沿力作用线方向的位移△的乘积，即Ｗ=F△AF△F一个力偶m所作的功Ｗ等于其力偶矩的大小与角位移位移

的乘积，即F'Fm=FddＷ=m一、刚体体系的虚功原理

第4章虚功原理及结构的位移计算§4.2虚功原理第十一页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组2、广义力与广义位移

作功有两方面因素：力和位移。与力相对应的因子，称为广义力F

；与位移相对应的因子，称为广义位移Δ。

广义力可以是一个集中力或一个集中力偶，也可以是一对集中力或一对集中力偶，它可以是外力，也可以是内力；既可以是主动力，也可以是约束反力。广义位移可以是一个线位移、一个角位移、相对线位移或相对角位移等。应该指出：通常广义力是与广义位移相对应的。一、刚体体系的虚功原理

第4章虚功原理及结构的位移计算§4.2虚功原理第十二页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组

MMFΔ几种常见的广义力和广义位移mΔFF12=1+2一、刚体体系的虚功原理

第4章虚功原理及结构的位移计算§4.2虚功原理第十三页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组实功：广义力在自身所产生的位移上所作的功。广义功：广义力在对应广义位移上所作的功。3、实功和广义功4、虚功力与位移是彼此无关的两个量，分别属于同一体系的两种彼此无关的状态——力状态和位移状态。这样的广义力在其对应广义位移上所作的功，称为虚功。F力状态+t℃Δ位移状态Ｗ=F△一、刚体体系的虚功原理

第4章虚功原理及结构的位移计算§4.2虚功原理第十四页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组5、外力虚功力状态的广义力在位移状态的对应广义位移上所作的虚功称为外力虚功。W=FAA+MBB+

FCC+

FDxDx+

FDyDyFDyAFCCBDFAFDxMB力状态DABCA'D'C'ABCDxDy位移状态一、刚体体系的虚功原理

第4章虚功原理及结构的位移计算§4.2虚功原理第十五页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组在具有理想约束的刚体体系上，如果力状态下的力系能满足平衡条件，位移状态的刚体位移能与约束几何相容（位移与约束相对应，位移是连续的杆件变形后不断开、不重叠），则外力虚功为零。

【特别说明】对于刚体，力状态下有内力，但因位移状态下没有对应位移，故内力虚功为零。因此对于刚体的虚功原理也可以这样理解：外力虚功和内力虚功都等于零。

或:设体系上作用任意平衡力系，又设体系发生符合约束条件的无限小刚体位移，平衡力系在位移上所作虚功为零。6、虚功原理的内容一、刚体体系的虚功原理

第4章虚功原理及结构的位移计算§4.2虚功原理第十六页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组qdxxl力状态位移状态qldxx力状态位移状态一、刚体体系的虚功原理

第4章虚功原理及结构的位移计算§4.2虚功原理第十七页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组6、虚功原理的内容力状态和位移状态属同一体系；【注意】力状态和位移状态均为可能状态，即位移应满足变形协调条件；力状态应满足平衡条件。力状态和位移状态相互独立、完全无关；但相互对应。既然虚功原理中的平衡力系与可能的位移无关，因此不仅可以把位移看作是虚设的，而且也可以把力看作是虚设的，根据虚设对象的不同，刚体虚功原理主要有两种应用形式——虚位移原理和虚力原理。力与位移同向时，虚功为正，反之为负。一、刚体体系的虚功原理

第4章虚功原理及结构的位移计算§4.2虚功原理第十八页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组7、虚位移原理虚功原理用于实际已知的平衡力状态与虚设的协调位移状态之间，通过虚设位移状态求已知力状态的未知力，称为虚位移原理。aFABCb力状态FABCFA虚位移状态ABCPAABCA=1虚单位位移状态－

FAA+FP

=0－FAA+FP

=0或求图示梁A处的支座反力。一、刚体体系的虚功原理

第4章虚功原理及结构的位移计算§4.2虚功原理第十九页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组7、虚位移原理aFABCb力状态FABCFA虚位移状态ABCPAABCA=1虚单位位移状态

已知刚体的力状态，虚设位移状态求未知力。用几何法来解静力平衡问题。

实质上是平衡方程；

所求未知力与虚设位移状态无关，故可虚设单位位移；求解的关键是找出虚位移状态的位移关系。一、刚体体系的虚功原理

第4章虚功原理及结构的位移计算§4.2虚功原理第二十页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组【例4-1】【解】FABC2aaa2a2aDE2F求图示多跨梁B处的支座反力和E截面的弯矩。FABCDE2FFB力状态BADCE虚设位移状态求FB第4章虚功原理及结构的位移计算§4.2虚功原理第二十一页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组【例4-1】【解】FABC2aaa2a2aDE2F求图示多跨梁B处的支座反力和E截面的弯矩。力状态FABCDE2FME虚设位移状态ABCDE求ME第4章虚功原理及结构的位移计算§4.2虚功原理第二十二页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组虚功原理用于实际已知的协调位移状态与虚设的平衡力状态之间，通过虚设力状态求已知位移状态的未知位移，称为虚力原理。8、虚力原理位移状态ABCC虚力状态FABC虚单位力状态F=1ABC如图，已知支座A向上移动一个位移，求C点竖向位移。一、刚体体系的虚功原理

第4章虚功原理及结构的位移计算§4.2虚功原理第二十三页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组8、虚力原理虚力状态FABC位移状态ABCC虚单位力状态F=1ABC

已知刚体的位移状态，虚设力状态求未知位移。实质上是用静力平衡法来解几何问题。

实质上是几何方程；

所求未知位移与虚设力状态无关，故可虚设单位力；求解的关键是找出虚力状态的静力平衡关系。一、刚体体系的虚功原理

第4章虚功原理及结构的位移计算§4.2虚功原理第二十四页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组ABCl/3D2l/3lF=1ABCl/3D2l/3lm=1已知支座A的位移为，求C点位移和杆CD的转角。【例4-2】【解】虚单位力状态ABCl/3D2l/3lC位移状态虚设单位力状态。所得正号表明位移方向与假设的单位力方向一致。第4章虚功原理及结构的位移计算§4.2虚功原理第二十五页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组二、变形体的虚功原理外力虚功：AFNBMBFQBFNAMAFQABq(x)p(x)xdxlABA

uuBuAB

BAdxFNMFQFN+dFNM+dMFQ+dFQp(x)q(x)第4章虚功原理及结构的位移计算§4.2虚功原理第二十六页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组二、变形体的虚功原理dxuu+du+d+d微段dx局部变形包括三部分：平均剪应变：轴线曲率：轴线线应变：微段两端截面的相对位移：相对轴向位移：相对剪切位移：相对转角位移：dxFNMFQFN+dFNM+dMFQ+dFQp(x)q(x)第4章虚功原理及结构的位移计算§4.2虚功原理第二十七页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组二、变形体的虚功原理dxuu+du+d+ddxFNMFQFN+dFNM+dMFQ+dFQp(x)q(x)微段上的内力虚功（虚变形能）：整个变形体的内力虚功（虚变形能）为：第4章虚功原理及结构的位移计算§4.2虚功原理第二十八页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组第4章虚功原理及结构的位移计算§4.2虚功原理二、变形体的虚功原理在具有理想约束的变形体系上，若力状态的力系满足平衡条件，位移状态下的位移满足变形协调条件，则外力在位移上所作的虚功恒等于内力在相应变形上所作的内力虚功。虚功方程实际上是平衡方程和协调方程的总和。以上结论与材料物理性质及具体结构无关，因此，虚功原理既适用于一切线性、非线性、静定、超静定结构。刚体的虚功原理是变形体虚功方程的特殊形式。【注意】虚功原理仅是必要性命题：力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调条件。或变形体的虚功原理有两种应用：虚力原理和虚位移原理。第二十九页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四§4.2虚功原理及应用§4.3结构位移计算的一般公式§4.4静定结构在荷载作用下的位移计算§4.5图乘法§4.6由于温度改变、支座移动引起的位移水利土木工程学院结构力学课程组§4.7线弹性结构的互等定理§4.1结构位移的概念及类型第4章虚功原理及结构的位移计算第三十页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组将虚功原理用于实际协调位移和虚设平衡力状态间已介绍过——单位荷载法。下面从虚功方程入手，讨论杆系结构位移计算的一般公式。杆系结构虚功方程为:设待求的实际广义位移为Δ，与Δ对应的广义力为F。设仅在广义力F=1作用下，任意横截面上与之对应的轴力、剪力和弯矩分别为

、

、和

。又设与内力、

和

对应的微段实际变形分别为和。、第4章虚功原理及结构的位移计算§4.3结构位移计算的一般公式第三十一页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组KKK'实际位移状态c1FP1c2c3dsFP2ds虚拟力状态K结构位移计算的一般公式为或FR2FR1FR3第4章虚功原理及结构的位移计算§4.3结构位移计算的一般公式第三十二页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组一般公式的普遍性表现在：2.结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结构；静定和超静定结构；1.位移原因：荷载、温度改变、支座移动等；3.材料性质：线性、非线性；4.变形类型：弯曲变形、拉(压)变形、剪切变形；5.位移种类：线位移、角位移；相对线位移和相对角位移。结构位移计算的一般公式为第4章虚功原理及结构的位移计算§4.3结构位移计算的一般公式第三十三页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四A(a)B水利土木工程学院结构力学课程组【练习】试确定指定广义位移对应的单位广义力。(b)AB(d)AAB(c)第4章虚功原理及结构的位移计算§4.3结构位移计算的一般公式第三十四页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四(e)水利土木工程学院结构力学课程组第4章虚功原理及结构的位移计算§4.3结构位移计算的一般公式【练习】试确定指定广义位移对应的单位广义力。(f)CACB(g)ACBAB(h)第三十五页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四§4.2虚功原理及应用§4.3结构位移计算的一般公式§4.4静定结构在荷载作用下的位移计算§4.5图乘法§4.6由于温度改变、支座移动引起的位移水利土木工程学院结构力学课程组§4.7线弹性结构的互等定理§4.1结构位移的概念及类型第4章虚功原理及结构的位移计算第三十六页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组仅在荷载作用时的位移计算一般公式对于由线弹性直杆组成的结构，有：公式的适用范围：只适用于线弹性结构。第4章虚功原理及结构的位移计算§4.4静定结构在荷载作用下的位移计算第三十七页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组E——弹性模量；G——剪切模量；A——横截面面积；I——截面惯性矩；k——截面形状系数。如：矩形截面k=6/5；圆形截面k=10/9。内力的正负号规定如下：轴力：以拉力为正；剪力：使微段顺时针转动者为正；弯矩：只规定乘积的正负号，使杆件同侧纤维受拉时，其乘积取为正。第4章虚功原理及结构的位移计算§4.4静定结构在荷载作用下的位移计算第三十八页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组【例4-3】【解】求刚架A点的竖向位移。ABlqlCA'（实际位移状态）虚设单位力状态，求实际位移状态和虚设单位力状态的内力方程BCA虚设单位力状态x1x2x1x2实际位移状态AB：BC：虚单位力状态AB：BC：第4章虚功原理及结构的位移计算§4.4静定结构在荷载作用下的位移计算第三十九页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组【解】实际位移状态AB：BC：虚单位力状态AB：BC：求刚架A点的竖向位移。引入符号【讨论】第4章虚功原理及结构的位移计算§4.4静定结构在荷载作用下的位移计算第四十页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组【讨论】设杆件截面为bh的矩形截面杆，有：问题：的取值范围是什么？取：

，有：第4章虚功原理及结构的位移计算§4.4静定结构在荷载作用下的位移计算第四十一页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组【讨论】因此，对受弯细长杆件，通常略去FN，FQ的影响。即：第4章虚功原理及结构的位移计算§4.4静定结构在荷载作用下的位移计算第四十二页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组几点结论（只有荷载作用，通常忽略剪切变形影响）：

对梁和刚架：

对桁架：

对组合结构：

对拱：只要扁平拱中计算水平位移以及拱轴线与合理轴线比较接近时，才考虑轴向变形的影响。第4章虚功原理及结构的位移计算§4.4静定结构在荷载作用下的位移计算第四十三页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组【例4-4】【解】求图示桁架C点的竖向位移CV和水平位移CH。其中杆BC、CD和DE的长度均为a，刚度均为EA。虚设单位力状态。ECBDFEBCDEBCD求轴力。求位移。第4章虚功原理及结构的位移计算§4.4静定结构在荷载作用下的位移计算第四十四页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组3mACB4m4m4mDFFFACBD【例4-5】【解】杆刚度为EA。求DV。虚设单位力状态。求轴力。求位移。第4章虚功原理及结构的位移计算§4.4静定结构在荷载作用下的位移计算第四十五页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组【例4-6】【解】(1)+60+60-22.4(20)(20)(4)(4)(2)+20-67.1-44.7(10)4×3m1m1m20kN20kN20kN10kN10kN40kN40kN求竖向位移Dy。A(×10-4m2)E=210GPaFN图(kN)+1+10+1-1.12-1.1200第4章虚功原理及结构的位移计算§4.4静定结构在荷载作用下的位移计算第四十六页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组BAlqBAxBA求。【例4-7】【解】EI第4章虚功原理及结构的位移计算§4.4静定结构在荷载作用下的位移计算第四十七页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组第4章虚功原理及结构的位移计算§4.4静定结构在荷载作用下的位移计算【例4-8】【解】求曲梁B点的竖向位移和水平位移。(EI、EA、GA已知)BARFBRFBARBAR同理有：第四十八页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四§4.2虚功原理及应用§4.3结构位移计算的一般公式§4.4静定结构在荷载作用下的位移计算§4.5图乘法§4.6由于温度改变、支座移动引起的位移水利土木工程学院结构力学课程组§4.7线弹性结构的互等定理§4.1结构位移的概念及类型第4章虚功原理及结构的位移计算第四十九页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组已有基础：1.静定结构的内力计算；2.杆件结构在荷载作用下的位移计算公式，即:存在的缺点：上述公式在杆件数量多的情况下，不方便。下面介绍梁和刚架在荷载作用下计算位移的图乘法.刚架与梁的位移计算公式为：§4.5图乘法及其应用

第4章虚功原理及结构的位移计算第五十页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组一、图乘法公式的推导(等截面直杆)CyC面积图乘法是Vereshagin（维热沙金）于1925年提出的，他当时是莫斯科铁路运输学院的学生。§4.5图乘法第4章虚功原理及结构的位移计算o第五十一页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组一、图乘法的基本原理图乘法求位移公式为:适用条件:杆段的EI为常数；杆段的轴线为直线；各杆段的图和图中至少有一个为直线图形。对于等截面直杆，前两个条件自然满足；至于第三个条件，图总是由直线段组成。因此对于由等截面直杆所构成的梁和刚架，在位移计算中可采用图乘法。§4.5图乘法及其应用

第4章虚功原理及结构的位移计算第五十二页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组二、几种常见图形的面积和形心位置及处理方法l/2l/2顶点形心h5l/8h顶点3l/8形心3l/4hl/4形心顶点labh(a+l)/3(b+l)/3形心§4.5图乘法及其应用

第4章虚功原理及结构的位移计算第五十三页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组二、图乘法注意事项∑表示对各杆和各杆段分别图乘而后相加。复杂图形，可分解为简单图形图乘。面积与竖标yC在杆的同侧，yC取正值，否则取负值。竖标yC必须取在直线图形上，面积可取任意图形。但竖标yC和面积必须分别取在两个图形上。yC23yC3yC2yC11yC212§4.5图乘法及其应用

第4章虚功原理及结构的位移计算第五十四页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组三、几种常见图形的面积和形心位置及处理方法4l/5hl/5形心顶点hl/(n+2)形心顶点(n+1)l/(n+2)l/3C1C2C1l/3C2ldc图图abyC1yC2c图d图§4.5图乘法及其应用

第4章虚功原理及结构的位移计算第五十五页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组二、几种常见图形的面积和形心位置及处理方法ldc图图abyC1yC2图c图dl/3C1l/3C2C1C2ldc图图abdc图图yC§4.5图乘法及其应用

第4章虚功原理及结构的位移计算第五十六页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四1Fl/4水利土木工程学院结构力学课程组EIFABl/2l/2EIABm=112(a)求梁B点的转角。【例4-9】【解】lqABF=1AB(b)求梁B点竖向线位移。lql2/23l43l/4C1§4.5图乘法及其应用

第4章虚功原理及结构的位移计算第五十七页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组求图示梁中点的挠度Cy。【例4-10】【解】EIABl/2l/2qCql2/8ABl/4F=1AB？§4.5图乘法及其应用

第4章虚功原理及结构的位移计算第五十八页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组求图示梁中点的挠度。【例4-11】【解】FABaaFaFaFaABl/4F=1AB？a/2a/2EI§4.5图乘法及其应用

第4章虚功原理及结构的位移计算第五十九页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组求图示梁上C点的挠度C。【例4-12】【解】ABlql/2CF=1BCABCAy11y22y33EI§4.5图乘法及其应用

第4章虚功原理及结构的位移计算第六十页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组AB4m2kN/m4mEI12kN·m4kN·m4kN8AB4124121AB求图示梁上B点的转角B。【例4-13】【解】方法一1613233456§4.5图乘法及其应用

第4章虚功原理及结构的位移计算第六十一页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组AB4m2kN/m4mEI12kN·m4kN·m4kN8AB4124121AB求图示梁上B点的转角B。【例4-13】【解】方法二163456§4.5图乘法及其应用

第4章虚功原理及结构的位移计算第六十二页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组求图示梁上B点的竖向位移B。【例4-14】【解】ABlqEIBAqlBAly11y22§4.5图乘法及其应用

第4章虚功原理及结构的位移计算第六十三页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组求图示梁上B点的向位移B。【例4-15】【解】ABl/2ql/2EI2EIBABAll/2y112y2y334y4§4.5图乘法及其应用

第4章虚功原理及结构的位移计算第六十四页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组【例4-16】【解】AB3l/4ql/4EIC求C截面竖向位移C。ACBACBl81l823l3233l324§4.5图乘法及其应用

第4章虚功原理及结构的位移计算第六十五页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四1水利土木工程学院结构力学课程组【例4-17】【解】AB4l/5ql/5EIC求C截面处的转角。ACB12115ACB45112§4.5图乘法及其应用

第4章虚功原理及结构的位移计算第六十六页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组【例4-18】【解】求刚架A点的竖向位移，并绘出刚架的变形曲线。ABlCEIll/2EIF2EIDABCDABCDlFl412Fl2反弯点§4.5图乘法及其应用

第4章虚功原理及结构的位移计算第六十七页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组【例4-19】【解】求A、B两点的相对水平位移，各杆刚度均为EI。ABlhqABABhhh§4.5图乘法及其应用

第4章虚功原理及结构的位移计算第六十八页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组【例4-20】【解】求铰C两侧截面相对转角，各杆刚度均为EI。lqCABllCAB11CAB12§4.5图乘法及其应用

第4章虚功原理及结构的位移计算第六十九页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四328水利土木工程学院结构力学课程组【例4-21】【解】求铰A、B两点的相对转角，各杆刚度均为EI。CAB8m8mD1kN/m(kN·m)CABD11131212§4.5图乘法及其应用

第4章虚功原理及结构的位移计算第七十页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组【例4-22】【解】各杆刚度为EI，求A、B两点：(1)相对转角；(2)相对竖向位移；(3)相对水平位移。ABlFlFlAB11lllAB11llAB1111FlFlFl§4.5图乘法及其应用

第4章虚功原理及结构的位移计算第七十一页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四l4Fl4水利土木工程学院结构力学课程组【例4-23】【解】已知：E、I、A为常数，求C点竖向位移。FABl/2al/2CEIEAD1ABCD§4.5图乘法及其应用

第4章虚功原理及结构的位移计算第七十二页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四FlFlFlFl水利土木工程学院结构力学课程组【例4-24】【解】FABlCEIEADFEIll求C、D两点相对水平位移。1ABCD1§4.5图乘法及其应用

第4章虚功原理及结构的位移计算第七十三页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四l4Fl4水利土木工程学院结构力学课程组【例4-25】【解】已知：B支座处为刚度k的弹簧，求C点竖向位移。FABl/2l/2CEIFABC弹簧对位移的贡献为:所以，一般情况下有弹簧支座的位移公式为:Fk和弹簧的位移方向相同为正，反之为负。荷载下弹簧变形为:§4.5图乘法及其应用

第4章虚功原理及结构的位移计算第七十四页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四l/2l/2FlFlFl/2水利土木工程学院结构力学课程组【例4-26】【解】各杆刚度为EI，求A点竖向位移。FlAllk1Ak§4.5图乘法及其应用

第4章虚功原理及结构的位移计算第七十五页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组【例4-27】【解】两个悬臂刚架，刚度为EI，在悬臂端插入一个长度为e的垫块，问需要多大的两个力。FlleFlFlFl11ll§4.5图乘法及其应用

第4章虚功原理及结构的位移计算第七十六页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四已知：各杆EI相同，由于D点下垂过大，要加固一段长为

l的区段，问加固哪一段效果显著。水利土木工程学院结构力学课程组§4.5图乘法及其应用

第4章虚功原理及结构的位移计算【例4-28】【解】FlFAllllFBCDE1ABCDEl最大，加固BC段效果最好。第七十七页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四§4.2虚功原理及应用§4.3结构位移计算的一般公式§4.4静定结构在荷载作用下的位移计算§4.5图乘法§4.6由于温度改变、支座移动引起的位移水利土木工程学院结构力学课程组§4.7线弹性结构的互等定理§4.1结构位移的概念及类型第4章虚功原理及结构的位移计算第七十八页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组一、由于温度改变引起的位移计算静定结构位移计算的一般公式为荷载作用下静定结构位移的计算公式为温度改变引起的静定结构位移的计算公式为其中、、分别为微段杆ds温度改变时引起的实际位移状态的轴向变形、剪切变形和弯曲变形；、、分别为虚设力状态的轴力、剪力和弯矩。第4章虚功原理及结构的位移计算§4.6由于温度改变、支座移动引起的位移第七十九页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组一、由于温度改变引起的位移计算为了推导公式的方便，特作以下假设：温度沿杆长不变；温度沿杆截面高度为直线变化；温度变化的前、后杆截面仍保持平面；以杆轴线处的变形代表整个杆件的变形。图示结构，材料的线膨胀系数为，设外侧温度升高t1，内侧温度升高t2(t2>t1)

，求K点的竖向位移Kt。

线膨胀系数是指单位长度的杆件在温度变化1℃时变形量，其国际单位制单位为m/(m·℃)。t1t1Ktdst2EIKK'第4章虚功原理及结构的位移计算§4.6由于温度改变、支座移动引起的位移第八十页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组一、由于温度改变引起的位移计算设杆轴的温度为t0，则有:dshh1h1t2dst1dst1t2duidit1t1Ktdst2EIKK'

微段ds的变形如右图所示(忽略剪力的影响)，则上、下边缘的温差t为：对于横截面为对称截面的情形有下面研究虚设单位力状态。第4章虚功原理及结构的位移计算§4.6由于温度改变、支座移动引起的位移第八十一页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组一、由于温度改变引起的位移计算dshh1h1t2dst1dst1t2duidit1t1Ktdst2EIKK'dsdsEIK第4章虚功原理及结构的位移计算§4.6由于温度改变、支座移动引起的位移第八十二页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组一、由于温度改变引起的位移计算dshh1h1t2dst1dst1t2dutdtds将温度改变引起的变形代入位移计算公式，可得:沿杆长温度不变对等截面直杆第4章虚功原理及结构的位移计算§4.6由于温度改变、支座移动引起的位移第八十三页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组一、由于温度改变引起的位移计算沿杆长温度不变的等截面直杆的位移计算公式为【注意】式中和分别表示虚拟单位力状态轴力图和弯矩图的面积。式中的各项计算均取绝对值。式中的正负号确定：由温度引起的变形与由单位力引起的变形一致，取“正”号。温度和单位力引起的弯曲变形同一侧受拉时为正；温度和单位力引起的轴向变形同时受拉(压)时为正。第4章虚功原理及结构的位移计算§4.6由于温度改变、支座移动引起的位移第八十四页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组一、由于温度改变引起的位移计算沿杆长温度不变的等截面直杆的位移计算公式为【注意】几种特殊情形：对梁和刚架有对桁架有第4章虚功原理及结构的位移计算§4.6由于温度改变、支座移动引起的位移第八十五页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组刚架施工时温度为20℃，试求冬季外侧温度为-10℃，内侧温度为0℃时A点的竖向位移Ay。已知l=4m，=1×10-5，各杆均为矩形截面杆，截面高度h=0.4m。【例4-29】【解】t1=-30℃t2=-20℃t1=-30℃实际状态lAlA虚拟状态l1第4章虚功原理及结构的位移计算§4.6由于温度改变、支座移动引起的位移第八十六页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组【解】t1=-30℃t2=-20℃t1=-30℃实际状态lAlA虚拟状态l1第4章虚功原理及结构的位移计算§4.6由于温度改变、支座移动引起的位移第八十七页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四图示结构温度变化如图。各杆截面相同，高度为h，且对称于形心，线膨胀系数为。求A点的水平位移。l水利土木工程学院结构力学课程组【例4-30】【解】lllA-20℃-20℃-20℃-20℃10℃20℃基本部分：附属部分：AA111第4章虚功原理及结构的位移计算§4.6由于温度改变、支座移动引起的位移第八十八页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四l水利土木工程学院结构力学课程组【解】lllA-20℃-20℃-20℃-20℃10℃20℃基本部分附属部分AA111第4章虚功原理及结构的位移计算§4.6由于温度改变、支座移动引起的位移第八十九页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组ABaaaaa+t+t+t+tAB【例4-31】【解】求桁架上弦杆杆轴温度升高t引起的AB杆转角。第4章虚功原理及结构的位移计算§4.6由于温度改变、支座移动引起的位移第九十页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组二、静定结构支座移动时的位移计算KKK'实际位移状态c1FP1c2c3dsFP2ds虚拟力状态K结构位移计算的一般公式为FR2FR1FR3第4章虚功原理及结构的位移计算§4.6由于温度改变、支座移动引起的位移第九十一页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组二、静定结构支座移动时的位移计算静定结构由于支座移动并不产生内力，故杆件不产生变形，只发生刚体位移(该位移也可由几何关系求得)。所以有

两者方向相同为正，反之为负。

式中ci表示实际状态的支座位移；表示虚设广义力状态下与ci对应的的支座反力。

注意公式的负号不能省略，它与ci和乘积无关。第4章虚功原理及结构的位移计算§4.6由于温度改变、支座移动引起的位移第九十二页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组【例4-32】【解】llABCc3c1c2实际位移状态虚拟力状态ABC求C点的水平位移。第4章虚功原理及结构的位移计算§4.6由于温度改变、支座移动引起的位移第九十三页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组【例4-33】【解】l=6m，h=8m，Bx=0.04m，By=0.08m，求A。实际位移状态BxBylCAB=lhA虚拟力状态CAB()第4章虚功原理及结构的位移计算§4.6由于温度改变、支座移动引起的位移第九十四页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组【例4-34】【解】每个上弦杆加长8mm，求由此引起的A点竖向位移。实际位移状态A11m8m8m8m8m8m8mA虚拟力状态当桁架有制造误差时，位移计算公式为：所以第4章虚功原理及结构的位移计算§4.6由于温度改变、支座移动引起的位移第九十五页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组第4章虚功原理及结构的位移计算§4.6由于温度改变、支座移动引起的位移三、多因素下的位移计算一般公式第九十六页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四§4.2虚功原理及应用§4.3结构位移计算的一般公式§4.4静定结构在荷载作用下的位移计算§4.5图乘法§4.6由于温度改变、支座移动引起的位移水利土木工程学院结构力学课程组§4.7线弹性结构的互等定理§4.1结构位移的概念及类型第4章虚功原理及结构的位移计算第九十七页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组线弹性结构的互等定理有四个：功的互等定理位移互等定理反力互等定理反力位移互等定理其中最基本的是功的互等定理，其它三个定理都可认为是功的互等定理的特殊情况，均可由此推导出来。这些定理对于静定结构的计算是很有用的。第4章虚功原理及结构的位移计算§4.7线弹性结构的互等定理第九十八页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组一、功的互等定理FN1，M1，FQ1FN2，M2，FQ2第I状态F112第II状态F212

功的互等定理研究的是同一结构两种状态的虚功关系。第4章虚功原理及结构的位移计算§4.7线弹性结构的互等定理第九十九页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组一、功的互等定理第I状态F112第II状态F212

在线性变形体系中，状态I的外力在状态II的位移上所做的虚功，恒等于状态II的外力在状态I位移上所做的虚功，这称为功的互等定理。第4章虚功原理及结构的位移计算§4.7线弹性结构的互等定理第一百页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工程学院结构力学课程组二、位移互等定理第I状态F112第II状态F212第I状态F1=112第II状态F2=112

位移互等定理研究的是同一结构的两种状态，在预定的两个作用点方向分别作用单位力时，在单位力的作用点方向所引起的位移关系。第4章虚功原理及结构的位移计算§4.7线弹性结构的互等定理第一百零一页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期四水利土木工