数字控制器的设计方法

（优选）数字控制器的设计方法当前第1页\共有123页\编于星期二\7点3．1数字控制器的设计方法分类按其设计特点分为二大类：1.模拟化设计方法一般可按以下步骤进行：第一步：用连续系统理论确定；第二步：用合适的离散化方法由求出；第三步：检查系统性能是否满足设计要求；第四步：将变为差分方程或状态空间方程，并编写计算机程序。需要时可运用混合仿真的方法检查系统的设计与程序编制是否正确。当前第2页\共有123页\编于星期二\7点2.离散化设计方法

首先用适当的离散化方法将连续部分（如图所示的保持器和被控对象）离散化，使整个系统完全变成离散系统，然后用离散控制系统的设计方法来设计数字控制器，最后用计算机实现控制功能。

当前第3页\共有123页\编于星期二\7点3．两种方法的比较

模拟化设计方法可引用成熟的经典设计理论和方法。但在“离散”处理时，系统的动态特性会因采样周期的增加而改变，甚至导致闭环系统的不稳定。离散化设计方法运用的数学工具是Z变换与离散状态空间分析法。这种方法是一种直接数字设计方法，不仅更具有一般性，而且稳定性好、精度高。相对而言有时称为精确法。需要注意的是，该法的精确性仅限于线性范围内以及采样点上才成立。当前第4页\共有123页\编于星期二\7点3．2模拟控制器的离散化表征模拟校正装置的重要参数是：①极点与零点的数目；②频带宽度与截止频率；③DC增益；④相位裕度；⑤增益裕度、超调量、闭环频率响应峰值等。

在选择模拟控制器的离散化方法时，首先必须明白对离散化控制算法有何要求，以保证模拟校正装置的主要特性能得到保持。当前第5页\共有123页\编于星期二\7点模拟控制器的离散化的主要方法Z变化法带有零阶保持器的Z变换法差分变换法双线性变换法当前第6页\共有123页\编于星期二\7点1.Z变化法

Z变换法就是在D(z)与D(s)之间建立的一种映射关系（），这种映射关系保证模拟控制器的脉冲响应的采样值与数字控制器的输出相同。将D(s)写成部分分式的形式：则离散化校正装置为：当前第7页\共有123页\编于星期二\7点

在设计中所需要的高频部分出现频率混迭问题。为了解决这一问题,可以在上串联一个低通滤波器，从而使转化为新的控制器。增加采样角频率，使远高于控制器的截止频率。

Z变换的特点：1．与的脉冲响应相同；2．如果是稳定的，则也稳定；3．不能保持的频率响应，频谱以进行延伸；4．将的整数倍的信号，变换为Z平面上同一频率点，所以出现了混迭现象(为采样角频率)；5．如果是一个复杂的传递函数，则其Z变换很可能无法在一般Z变换表中查到，这时需要进行部分分式展开当前第8页\共有123页\编于星期二\7点2.带有零阶保持器的Z变换法在原线性系统的基础上串联一个虚拟的零阶保持器，再进行Z变换从而得到D(s)的离散化模型D(z)加保持器的Z变换法的特点是：(1)如果D(s)是稳定的，D(z)则也稳定；(2)如果D(s)是一个复杂的传递函数，其Z变换很可能无法在一般Z变换表中查到，这里需要进行部分分式展开；(3)由于串联了零阶保持器，D(z)不能保持D(s)的脉冲响应和频率响应。当前第9页\共有123页\编于星期二\7点3.差分变换法（又称数值积分法）差分变换法将微分方程离散化为差分方程，最后求z传递函数。即变量的导数用有限差分来近似地等效，从而得到一个逼近给定微分方程的差分方程，其中最简单的差分变换是用后向差分或前向差分代替一阶导数。后向差分由可得或于是得出后向差分变换式：当前第10页\共有123页\编于星期二\7点例如：或后向差分将使频率响应产生畸变。这一点可从平面的轴在Z平面上的映射可以看出。当时，当前第11页\共有123页\编于星期二\7点取的实部与虚部：于是S平面上的直线(Ω从到)映射到Z平面是一个用下式描述的圆：上式是一个圆心在处，半径为的圆，如图3．2(a)所示，从图中可以看出平面轴在Z平面上的映像，除值极小情况外，均在单位圆内。当前第12页\共有123页\编于星期二\7点由此可得后向差分的性质是：(1)使用方便，而且不要求传递函数的因式分解；(2)一个稳定的变换为一个稳定的；(3)不能保持的脉冲与频率响应。当前第13页\共有123页\编于星期二\7点或前向差分:当时，表明其映射为截于单位圆上的一点且平行于纵轴的一条直线，如图3.2(b)所示。由此可知，S平面jΩ的轴在Z平面上的映像除ΩT的极小值外，均在单位圆外，因此这种方法将不利于控制器的稳定性。

当前第14页\共有123页\编于星期二\7点根据z变换定义:展成级数：同理：得双线性变换公式：4.双线性变换法当前第15页\共有123页\编于星期二\7点双线性变换公式可以进行实s传递函数与z传递函数相互转换，转换公式如下：

当前第16页\共有123页\编于星期二\7点各种离散化方法的比较A.本茨和M.普里斯勒通过对图3.5所示的位置随动系统的模拟化设计进行研究，得出如下研究结论：(1)最好的离散化方法是双线性变换法，该方法对低采样频率的结构也很好；(2)如果增益是惟一的性能标准的话，则匹配Z变换法的效果比双线性的效果更好一些；(3)采用频率曲折法可以保持系统临界频率的位置，但不能保持系统的增益和相位。(4)如果模拟控制器中一个极点或零点的位置远离我们所感兴趣的频率以外，则该极点或零点可以不考虑。当前第17页\共有123页\编于星期二\7点3.3数字PID控制3.3.1

理想微分PID控制

设系统的误差为e(t)，则模拟PID控制规律为它所对应的连续时间系统传递函数为当前第18页\共有123页\编于星期二\7点（1）比例调节器

控制规律：根据误差进行调节，使系统沿着减小误差的方向运动。误差大则控制作用也大。比例调节器一般不能消除稳态误差。增大KP可以加快系统的响应速度及减少稳态误差。但过大的KP有可能加大系统超调，产生振荡，以至于系统不稳定。

当前第19页\共有123页\编于星期二\7点（2）比例积分调节器控制规律：积分调节的引入，可以消除或减少控制系统的稳态误差。但是积分的引人，有可能使系统的响应变慢，并有可能使系统不稳定。增加Ti即减少积分作用，有利于增加系统的稳定性，减少超调，但系统静态误差的消除也随之变慢。

当前第20页\共有123页\编于星期二\7点（3）PID调节器控制规律：微分环节的加入，可以在误差出现或变化瞬间，按偏差变化的趋向进行控制。它引进一个早期的修正作用，有助于增加系统的稳定性。微分时间常数Td的增加即微分作用的增加，将有助于加速系统的动态响应，使系统超调减少，系统趋于稳定。但微分作用有可能放大系统的噪声，减低系统的抗干扰能力。理想的微分器是不能物理实现的，必须要采用适当的方式近似。当前第21页\共有123页\编于星期二\7点PID控制器连续时间系统传递函数

微分积分比例当前第22页\共有123页\编于星期二\7点PID模拟控制器的离散化用矩形法来计算数值积分：用后向差分来代替微分：当前第23页\共有123页\编于星期二\7点则离散化的PID控制规律为：上式表示的控制算法提供了执行机构的位置所以称为PID位置控制算法。这种算式中有一累加项，随着时间k的增加，累加的项次也依次增加，不利于计算机计算。另外，如果由于某种干扰因素导致u(k)为某一极限值时，被控对象的输出也将作大幅度的剧烈变化，由此可能导致严重的事故。就其原因，位置式算式存在以上缺陷的主要原因是它所给出的只是当前控制量的大小，与此前时刻控制量的大小却完全不相关。为此，有必要改进上述算法。

当前第24页\共有123页\编于星期二\7点在很多控制系统中，由于执行机构是采用步进电机或多圈电位器进行控制的，所以，只要给出一个增量信号即可。

写出K-1的输出值：上两式相减得PID增量式控制算法当前第25页\共有123页\编于星期二\7点当前第26页\共有123页\编于星期二\7点增量式PID算法与位置式PID算法的比较：

两者本质相同，只是前者需要使用有附加积分作用的执行机构。但有如下优点：1、计算机只输出增量，误动作时影响小，必要时可增设逻辑保护；2、手动/自动切换时冲击小；3、算式不需要累加，只需记住四个历史数据，即e(k-2),e(k-1),e(k)和u(k-1),占用内存少，计算方便，不易引起误差累积。当前第27页\共有123页\编于星期二\7点数字PID控制算法程序框图

当前第28页\共有123页\编于星期二\7点PID控制规律的脉冲传递函数形式两边求z变换，并注意到，得

当前第29页\共有123页\编于星期二\7点

理想微分PID控制的实际效果并不理想，从阶跃响应看，它的微分作用只能维持一个采样周期。由于工业用执行机构(如气动调节阀或电动调节机构)的动作速度限制，致使偏差大时，微分作用不能充分发挥，再加之理想微分还容易引进高频干扰。为此，实际应用中，几乎所有的数字控制回路，通常都加一低通滤波器来限制高频干扰的影响。

问题：当前第30页\共有123页\编于星期二\7点1、实际微分PID控制算式一通过一级低通滤波器来限制高频干扰的影响3．3．2实际微分PID控制低通滤波器和理想微分PID算式相结合后的传递函数为：当前第31页\共有123页\编于星期二\7点若令（Kd为微分系数）则差分方程：

当前第32页\共有123页\编于星期二\7点2、实际微分PID控制算式之二实际微分PID算式的传递函数：

当前第33页\共有123页\编于星期二\7点利用差分变换法得出微分作用输出差分方程为：

图中的前置方块主要起微分作用，所以它也称为微分先行PID控制。当前第34页\共有123页\编于星期二\7点积分作用输出差分方程为：比例作用输出差分方程为：

位置型算式为：当前第35页\共有123页\编于星期二\7点同样，也可以得出其增量式当前第36页\共有123页\编于星期二\7点3、实际微分PID控制算式之三–不完全微分微分环节上加一个惯性环节当前第37页\共有123页\编于星期二\7点比例、积分和微分三个框的输出差分方程当前第38页\共有123页\编于星期二\7点由图可见，本算法是微分环节上加一个惯性环节，故也称不完全微分PID控制它仅改变了标准PID控制器的微分部分，使得在偏差发生突变时，微分作用可比较平缓。当前第39页\共有123页\编于星期二\7点3.3.3标准PID控制算法的改进

在实际应用中，数字PID控制器的控制效果有时不如模拟PID控制器。

原因：主要是因为数字调节器的控制量在一个采样周期内保持不变，使得在这段时间内系统相当于开环运行。其次由于计算机的数字运算以及数字量输入输出的时间，使得控制作用在时间上有延滞，计算机的有限字长及A／D，D／A转换精度也给控制量带来了误差。办法：充分发挥计算机运算速度快，逻辑判断功能强，编制程序灵活等优势。手段：对PID算法进行了一系列改进。

当前第40页\共有123页\编于星期二\7点3.3.3标准PID控制算法的改进3.3.3.1积分项的改进

在PID控制中，积分作用是消除余差。1、梯形积分－－提高积分项的运算精度将矩形积分用梯形积分来代替。代价：增大存储量和需要更多的运算时间。当前第41页\共有123页\编于星期二\7点2、消除积分不灵敏度采用以下措施：增加A/D转换位数，加长运算字长，这样可提高运算精度。当积分项连续出现小于输出精度ε的情况下，不要把它们作为“零”舍掉，而是把它们一次一次累加起来，即直到累加值Si大于ε时，再输出Si。当前第42页\共有123页\编于星期二\7点3、PID算法积分饱和现象及其抑制图3．12PID位置式算法的积分饱和现象

当前第43页\共有123页\编于星期二\7点过限削弱积分法

一旦控制变量进入饱和区，则程序只执行削弱积分项的运算，而停止增大积分项的运算。如图所示，u出现饱和后，在e>0阶段，因为这时将增大积分项，所以停止积分运算。而在e<0阶段，e为负将削弱积分项，因此执行积分运算。

当前第44页\共有123页\编于星期二\7点积分分离法

当误差e大于某个规定的门限值时，删去积分作用，从而使∑ei不至于过大。只有当e较小时，才引入积分作用，以消除稳态误差。

当前第45页\共有123页\编于星期二\7点引入积分分离法后，控制量不易进入饱和区，即使进入了，也能较快退出。所以系统的输出特性比标准PID控制得到了改善。与位置式算法相比，增量式PID算法没有累加和式，因此不会由于积分项引起饱和。但是，当给定值突变时，比例及微分项的计算值也可能引起控制量超过极限值的饱和情况，从而减慢了系统的动态过程。克服的办法之一是“积累补偿法”，即将那些因受限而未能执行的增量信息积累起来，待到一旦可能，便再补充执行。当前第46页\共有123页\编于星期二\7点3.3.3.2微分项的改进

由于微分作用是在相邻的采样周期内进行，因此它的强弱不仅与微分时间，放大系数有关，而且与采样周期T也有明显关系。当T太小时，二次采样之间被控参数变化一般不会太大，因而微分作用就弱。为了在T小时增加微分作用，可增加Kp或Td，但这样一来，会使抗噪声特性恶化，微分作用对它们又特别敏感，因此应设法减少噪声和数据误差在微分项中的影响。当前第47页\共有123页\编于星期二\7点微分项的改进方法①偏差平均②减少计算次数——为了提高计算机使用效率③测量值微分在微分项中不考虑给定值r(k)，只对测量值y(k)(即被控量)进行微分。当前第48页\共有123页\编于星期二\7点

必须注意，对串级控制的副回路而言，给定值是由主回路输出给定的，其变化一般也应加以微分处理，因此，应采用原微分项算式对偏差进行微分。需要指出的是，数字PID算式中的测量值微分的微分项的物理意义，与模拟PID算式中的微分项一样，它们的输出都与被控参数的变化率成正比。只是由于数字PID在采样周期内进行一次，因此这里所指的变化率实际上具有平均变化率的概念。同样数字PID微分项具有超前作用，它与“零阶保持器”具有的滞后正相反，因此可以互相补偿，以改善控制性能。

当前第49页\共有123页\编于星期二\7点3．3．3．3干扰的抑制数字PID控制器的输入量是系统的给定值r和系统实际输出y的偏差值e。在进入正常调节过程后，由于e值不大，相对而言，干扰对控制器的影响也就很大。为了消除干扰的影响，除了在硬件上采取相应的措施以外，在控制算法上也应采取一定措施。四点中心差分法的思想是：不直接采用误差e(i)，而是用过去和现在四个采样时刻的误差平均值作为基准：当前第50页\共有123页\编于星期二\7点通过加权求和，构成近似微分

修正后的PID位置算法：修正后的PID增量式算法：当前第51页\共有123页\编于星期二\7点3．3．4数字PID调节器的参数整定

PID调节器的设计一般来说可以分成两个部分，首先是选择调节器的结构，以保证闭环系统的稳定，并尽可能地消除稳态误差。一旦调节器的结构确定下来，调节器设计的下一步任务就归结为参数整定。

3．3．4．1PID调节器参数对系统性能的影响⑴放大倍数Kp对系统性能的影响

①对系统的动态性能：加大，将使系统动作灵敏，响应速度加快，偏大，衰减振荡次数增多，调节时间变长。当太小又会使系统的响应速度缓慢。Kp的选择以输出响应产生4：1衰减过程为宜。②对系统的稳态性能：在系统的稳定性的前提下,加大可以减少余差(又称残差或稳态误差)，但靠它不能消除余差。因此的整定主要依据系统的动态性能。当前第52页\共有123页\编于星期二\7点⑵积分时间Ti对系统性能的影响①对系统的动态性能：积分时间通常影响系统的稳定性。太小，系统将不稳定，偏小振荡次数较多；太大，系统的动态性能变差；当较适合时，系统的过渡过程特性比较理想。②对系统的稳态性能：积分时间的作用，有助于消除系统余差，提高了系统控制精度，但若了太大，积分作用太弱，则不能减少余差。⑶微分时间Td对系统性能的影响

①对系统的动态性能：微分时间常数Td的增加即微分作用的增加可以改善系统的动态特性，如超调量减少，调节时间缩短，允许加大比例控制，使稳态误差(余差)减少，提高控制精度。但微分作用有可能放大系统的噪声，减低系统的抗干扰能力。当前第53页\共有123页\编于星期二\7点②对系统的稳态性能：微分环节的加入，可以在误差出现或变化瞬间，按偏差变化的趋向进行控制。它引进一个早期的修正作用，有助于增加系统的稳定性。当前第54页\共有123页\编于星期二\7点采样周期的选取应与PID参数的整定综合起来考虑，选取采样周期时，一般应考虑以下因素：(1)扰动信号(2)对象的动态特性(3)计算机所承担的工作量(4)对象所要求的控制品质(5)与计算机及A／D、D／A转换器性能有关(6)考虑执行机构的响应速度。3．3．4．2采样周期的选定当前第55页\共有123页\编于星期二\7点当前第56页\共有123页\编于星期二\7点3．3．4．3实验确定法整定PID参数(1)试凑法①首先只整定比例系数，将由小变大，使系统响应曲线略有超调②若在比例调节基础上，系统稳态误差太大，则必须加入积分环节。③若使用PI调节器消除了稳态误差，但系统动态响应经反复调整后仍不能令人满意，则可以加入微分环节，构成PID调节器。

当前第57页\共有123页\编于星期二\7点(2)PID参数的工程整定法①临界比例法②阶跃曲线法当前第58页\共有123页\编于星期二\7点3．3．4．4数字PID的变参数整定(1)按照负荷预先设置整定参数方法(2)时序控制按一定时间顺序采用相应的Kc、Td、Ti参数。(3)人工模型模拟现场操作工人的操作方法，根据经验决定各种情况下的参数值，并编入程序中，然后在执行程序时，自动改变这些参数和给定值。当前第59页\共有123页\编于星期二\7点举例：1、对于一阶惯性对象，负荷变化不大，工艺要求不变，可采用P控制，例如：压力、液位、串级副付回路等。2、对于一阶惯性加纯滞后对象，负荷变化不大，要求控制精度较高的场合，可采用PI控制，例如用于压力、流量、液位控制。3、对于纯滞后时间较大，控制性能要求高的场合，可采用PID控制，如过热蒸汽温度控制，成分控制等。4、对于二阶以上惯性加纯滞后对象，负荷变化较大，控制性能要求较高时，应采用串级、前馈-反馈，前馈-串级或纯滞后补偿等复杂控制。当前第60页\共有123页\编于星期二\7点3．3．4．5数字PID参数的最优整定(1)性能指标的选择

(2)寻优方法多参数的寻优已有不少成熟的算法，如单纯型加速法、梯度法等。由于单纯型加速法具有控制参数收敛快，计算工作量小等优点，因此被普遍应用。当前第61页\共有123页\编于星期二\7点3．4最少拍数字控制系统的设计

若已知广义对象的脉冲传递函数G(z)，并且根据对控制系统的性能的要求确定Φ(z)，则数字控制器D(z)也就确定下来了。

当前第62页\共有123页\编于星期二\7点

数字控制器的直接数字设计方法，就是根据控制系统的性能要求，应用离散控制理论，直接设计数字控制系统。直接设计法的步骤为：1．根据对控制系统性能指标的要求和其它的约束条件，确定闭环系统脉冲函数。2．根据D(z)计算公式，确定数字控制器。3．编程实现。

当前第63页\共有123页\编于星期二\7点最少拍控制系统是在最少的几个采样周期内达到在采样时刻输入输出无误差的系统。直接数字设计法设计最少拍控制系统，要考虑以下几点。

(1)对系统稳态误差的要求：对于特定的参考输入信号，到达稳态后，系统在采样时刻精确实现对输入的跟踪。(2)最快速达到稳态的要求

。(3)D(z)应是物理可实现的要求。(4)闭环系统应是稳定的要求。

当前第64页\共有123页\编于星期二\7点

①阶跃信号

②斜坡信号

③加速度信号

一般表达式：其中，A(z)中不含z=1的因子。

(1)对系统稳态误差的要求当前第65页\共有123页\编于星期二\7点系统的误差信号应满足称1-Φ(z)为误差脉冲传递函数。根据z变换的终值定理。

要使系统的稳态误差e(∞)为零，则要求1-Ф(z)中必须含有(1-Z-1)的至少m次因子，即：其中，F1(z)为一个待定的z-1多项式。(3.79)当前第66页\共有123页\编于星期二\7点(2)最快速达到稳态的要求

因为A(z)和F1(z)都是z-1多项式，所以E(z)是z-1的有限阶多项式。它的次数等于E(z)趋于零的拍数。为使E(z)尽快为零，我们希望这个多项式的次数为最小。使式3.82种右边第一个因子等于1，即p=m，设计最少拍控制系统的一般公式：

若要使设计的数字控制器最简单，且E(z)以最少的拍数达到零，可选F1(z)＝1。但选F1(z)＝1，可能使系统不能满足D(z)物理可实现和稳定性的要求，我们根据再进一步分析其它性能要求来确定是否可以实现。

将式(3.78)、式(3.81)代人式(3.79)，可得(3.82)(3.83)当前第67页\共有123页\编于星期二\7点(3)D(z)物理可实现的要求

所谓数字控制器D(z)物理可实现问题，是要求数字控制器算法中不允许出现对未来时刻的信息的要求。这是因为未来信息尚属未知，不能用来计算控制量。具体说来，就是D(z)的无穷级数展开式中不能出现z的正幂项。

设广义对象的脉冲传递函数为若我们希望闭环脉冲传递函数Ф(z)为当前第68页\共有123页\编于星期二\7点其中：

则代入式可求得数字控制器的脉冲传递函数：

显然，r<l若，则D(z)的无穷级数展开式将出现z的正幂项。这意味着在计算u(k)时需要e(k+1)，e(k+2)，…等信息，这是不可能的。因为，这时的D(z)不是物理可实现的。为此，则要求闭环脉冲传递函数Ф(z)应具有形式：当前第69页\共有123页\编于星期二\7点(4)闭环稳定性要求G(z)若有单位圆上或单位圆外的极点，并且该极点没有与D(z)或1-Ф(z)的零点对消的话，则它也将成为Ф(z)的极点，从而造成闭环系统不稳定。如果我们利用D(z)的零点去对消G(z)不稳定的极点，虽然从理论上来说可以得到一个稳定的闭环系统，但是这种稳定是建立在零极点完全对消的基础上的。当系统的参数产生漂移，或者辨识的对象有误差时，这种零极点的对消不可能准确实现，从而引起闭环系统不稳定。因此，我们只能利用1－Ф(z)的零点来对消这些极点。可以将式3.74重写成：当前第70页\共有123页\编于星期二\7点另外，由可得（3.89)当前第71页\共有123页\编于星期二\7点若G(z)有位于单位圆外或单位圆上的零点，则数字控制器输出序列{u(k)}将随着时间的推移而趋向于无穷大，造成闭环系统不稳定。为克服这一现象，Ф(z)的零点必须包含G(z)的所有在单位圆外或单位圆上的零点。总之，为保证闭环系统稳定，1－Ф(z)的零点必须包含有G(z)的不稳定极点，而Ф(z)零点必须包含有G(z)的不稳定零点。设当前第72页\共有123页\编于星期二\7点G’(z)是G(z)的不包含单位圆外或单位圆上的零极点部分。上式表示G(z)有Z1，Z2，Z3，…，Zw等w个单位圆外或单位圆上的零点，P1，P2，P3，…，Pν等ν单位圆外或单位圆上的极点。为保证闭环稳定性，Ф(z)和1－Ф(z)必须满足：F2(z)是z-1的有限阶多项式，可以利用它使Ф(z)满足其它的要求。

F3(z)是z-1的有限阶多项式，可以利用它使1－Ф(z)满足其它的要求。

(3.91)(3.92)当前第73页\共有123页\编于星期二\7点应当指出，当G(z)有z＝1的极点时，相对于该极点，根据对系统稳态误差要求导致的式(3.83)与根据闭环稳定性要求导致的式(3.92)是一致的。为使系统具有最少拍响应，可以将这两项合并。换句话说，若P1，P2，P3，…，Pν中有k个为1时，则将式3.92中对应的(1-z-1)k与式中的(1-z-1)m合并为(1-z-1)j，且取j=max(k，m)。当前第74页\共有123页\编于星期二\7点此时式(3.92)变为当k>m时：当m>k时：当前第75页\共有123页\编于星期二\7点综合以上4个对Ф(z)的要求，总结出最少拍控制系统设计步骤如下：1．求出广义对象的脉冲传递函数当前第76页\共有123页\编于星期二\7点2.设G(z)中有个采样周期的纯滞后，w个单位圆外或单位圆上的零点{Z1，Z2，Z3，…，Zw}，ν个单位圆外或单位圆上的极点{P1，P2，P3，…，Pν}。即

设输入信号为：

其中，G’(z)没有单位圆外或单位圆上的零、极点。当前第77页\共有123页\编于星期二\7点3．综合考虑前面讨论的对Ф(z)的4个要求，令：当前第78页\共有123页\编于星期二\7点若G(z)有k个z=1的极点，则可将相应的(1-z-1)k由式3.94中的中提出，并与(1-z-1)m合并为一项(1-z-1)j，其中j=max(k，m)。此时式3.97变为：又因为：当前第79页\共有123页\编于星期二\7点则有：由此可得如下一组方程：当前第80页\共有123页\编于星期二\7点那么这组方程共有j+v-k个方程，由这些方程可确定Ф(z)中的待定的多项式Ф0(z)的前j+v-k个系数，由此多项式最少应为j+v-k-1阶。即有：4．Ф(z)的阶次为(l+w+p)、1-Ф(z)的阶次为(j+ν-k+q),因Ф(z)与1-Ф(z)的阶次相同，应有：其中p，q待定。为满足上式，则有：

当前第81页\共有123页\编于星期二\7点5．根据下式同次幂系数相等的原则。可得出个方程，由之确定Ф0(z)和F(z)中的未知系数和6．得出最少拍数字控制器当前第82页\共有123页\编于星期二\7点例3．1设计算机控制系统结构如图2．21所示。其中

已知：采样周期T=0.025，输人为斜坡信号。试设计最少拍控制系统D(z)。

系统广义对象传递函数为当前第83页\共有123页\编于星期二\7点其脉冲传递函数:G(z)的极点为1(单位圆上)和0.368(单位圆内)；零点为-0.718(单位圆内)。其中只有极点1在单位圆上，故w=0，k=ν=1。对于斜坡信号有，即m=2。由于稳态误差为零，要求必须有因子，而稳定性要求必须有因子，前者显然已包含了后者，故可取j=2。另外，由G(z)可得出。从而有，。当前第84页\共有123页\编于星期二\7点根据以上分析，设:对单位斜坡输入，闭环系统的输出序列为:当前第85页\共有123页\编于星期二\7点数字控制器的输出序列(即控制变量)为:当前第86页\共有123页\编于星期二\7点例3．4考虑如图2．21所示的系统，设广义对象的脉冲传递函数

设系统采样周期T＝0.05s，典型输人信号为阶跃信号和斜坡信号，试设计最少拍控制系统。G(z)有两个z＝1(单位圆上)的极点和一个z＝0.286(单位圆内)的极点；一个z=-2．78(单位圆外)的零点和一个z=-0.2(单位圆内)的零点。G(z)还有一拍的纯滞后。因此有k=ν=2，w=1，l=1。对于要跟踪的阶跃信号和斜坡信号，分别有和

当前第87页\共有123页\编于星期二\7点若按分母阶次较小的R1(z)进行设计，则当系统输入为R2(z)时，稳态误差将为无穷大。因此，应按分母阶次较大的R2(z)进行设计，取m=2。由于G(z)在z=1有两个极点，由稳定性要求所必须包含的因子(1－z-1)2与稳态误差要求所必须包含的因子(1－z-1)2是一致的。因此，两者可合并为一项(1－z-1)2。即可令j=2。根据式(3．96)有p=j+ν-k-1=1q=l+w-1=1阶次确定后，可令

由比较同次幂系数可得方程当前第88页\共有123页\编于星期二\7点所求的最少拍数字控制器:当前第89页\共有123页\编于星期二\7点在单位阶跃输入下系统的输出为:在单位斜坡输入下系统的输出:当前第90页\共有123页\编于星期二\7点最少拍控制系统具有最快速的向应。但是它的输出在采样点之间存在有纹波，同时它还需要有很大的控制作用，这个控制作用有可能加剧采样点之间的振荡，还可能在D／A输出端引起饱和。另外，针对某一典型输入所设计的最少拍控制器，对其它输人信号适应性较差。同时，最少拍控制系统还对参数变化过于敏感，参数变化有可能导致控制效果急剧下降。因此，除个别情况以外，最少拍控制系统实用意义不大。当前第91页\共有123页\编于星期二\7点3．5最少拍无纹波控制系统设计按最少拍控制系统设计出来的闭环系统，在有限拍后即进人稳态。这时闭环系统输出c(k)在采样时刻精确地跟踪输入信号。虽然在采样时刻闭环系统输出与所跟踪的参考输人一致，但是在两个采样时刻之间，系统的输出存在着纹波或振荡。这种纹波不但影响系统的控制性能，产生过大的超调和持续振荡，而且还增加了系统功率损耗和机械磨损。最少拍系统产生纹波的原因

纹波产生根源是零阶保持器的输入序列u(k)在稳态误差消除后，仍然围绕自己的平均值上下波动。当前第92页\共有123页\编于星期二\7点3．5最少拍无纹波控制系统设计由可以得到控制信号U(z)对输入R(z)的脉冲传递函数为：设广义对象脉冲传递函数为

当前第93页\共有123页\编于星期二\7点则：P(z)的零点即是G(z)的零点。由于R(z)到U(z)的脉冲传递函数是一个有理分式，从而它的单位脉冲响应为无限长。如果我们在选择时，令包含G(z)的所有零点，则由式(3．105)，P(z)与中相应因子产生相消，使得由R(z)到U(z)的脉冲传递函数为一阶次有限的z-1多项式，这就表示它的脉冲响应时间为有限长了。这样，经过有限拍之后，控制变量u(k)或者为零，或者为常数，不会再产生振荡，从而避免了连续被控对象的输出c(t)在采样时刻之间的纹波。

当前第94页\共有123页\编于星期二\7点为消除纹波，对闭环系统传递函数的附加要求是：必须包含广义对象G(z)的所有零点。当前第95页\共有123页\编于星期二\7点

例3．5设计算机控制系统的结构及参数均与例3．3相同，试针对斜坡输入信号，设计最少拍无纹波控制系统。

由例3．3知广义对象脉冲传递函数

分析可知，w=1(包括G(z)的所有零点)，ν=1（G(z)有一个位于单位圆上的极点1），l=1。对于斜坡信号m＝2。考虑到对稳态误差的要求所对应的因子(1-z-1)2，包含了对稳定性要求所对应的因子(1-z-1)，故将两者合并，即取m+ν=2。计算得：p=m+ν-1=1，q=l+w-1=1。

当前第96页\共有123页\编于星期二\7点当前第97页\共有123页\编于星期二\7点则最少拍无纹波控制器为:闭环系统输出序列:数字控制器的输出序列(即系统的控制变量):当前第98页\共有123页\编于星期二\7点将图3．19与图3．17比较，可以看出，有纹波系统的调整时间为两个采样周期，系统输出跟随输入函数后，由于数字控制器的输出仍在波动，所以系统输出与采样时刻之间有纹波。无纹波系统的调整时间为三个采样周期，系统输出进入稳态所需时间比无纹波系统增加了一个采样周期。由于系统中数字控制器的输出经3T后为常值，所以无纹波系统输出在采样点之间不存在纹波。当前第99页\共有123页\编于星期二\7点3．6最少拍控制系统的改进

最少拍控制是以调节时间最短为设计准则；最少拍无纹波控制是以调节时间最短和输出无纹波为设计准则。他们的共同缺点是：对输入信号适应性差；对系统参数变化特别敏感，控制效果较差。一般采用的其改进算法，如：阻尼因子法、非最少的有限拍控制等等。当前第100页\共有123页\编于星期二\7点阻尼因子法是改进最少拍系统对输入信号的适应能力的一种方法。

3．6．1阻尼因子法当前第101页\共有123页\编于星期二\7点例3.6设广义对象脉冲传递函数:

系统的典型输入函数为斜坡输入。

当前第102页\共有123页\编于星期二\7点于是得数字控制器为:当前第103页\共有123页\编于星期二\7点3．6．2非最少的有限拍控制将再乘上一个z-1的有限阶多项式H(z)=h0+h1z-1+…+hnz-n，使得和的阶次均适当提高。

通过适当选择hi，可以改变中各项的系数，从而降低系统对参数变化的灵敏度。当前第104页\共有123页\编于星期二\7点例3．7：为降低闭环系统对参数变化的灵敏度，试对斜坡输入设计非最少的有限拍控制系统，并验证当实际广义对象G(z)变化后系统的输出。当前第105页\共有123页\编于星期二\7点设非最少的有限拍控制系统对应的闭环脉冲传递函数为，则有由之可得出:非最小的有限拍控制器为：当前第106页\共有123页\编于星期二\7点采用D(z)的闭环系统对单位斜坡输入的响应为:当实际广义被控对象变化时，系统闭环传递函数为当前第107页\共有123页\编于星期二\7点注意到这时，不再是有限阶次的z-1多项式，因此系统响应已不再是有限拍的了。系统对单位速度输入的响应为显然，尽管系统参数发生了较大变化，但系统的输出响应仍然是比较好的。

另外，采用非最少的有限拍控制器，还有利于减少控制变量的幅值。当前第108页\共有123页\编于星期二\7点3．7达林算法

在控制系统设计中，纯滞后往往是影响系统动态特性的不利因素，工业过程中如热工和化工过程中往往会有这样的纯滞后环节。这种系统如果控制器设计不当，常常会引起系统的超调和持续振荡。而对这类系统的控制要求，快速性往往是次要的，通常主要要求系统没有超调量或很少超调量，要求系统闭环稳定，而调整时间允许在较多的采样周期内结束。对这