虚功原理和结构的位移计算

虚功原理和结构的位移计算第一页，共六十三页，编辑于2023年，星期三9-1位移计算概述一、静定结构的位移

静定结构在荷载、温度变化、支座移动以及制造误差等因素作用下，结构的某个截面通常会产生水平线位移、竖向线位移以及角位移。1.截面位移桁架受荷载作用刚架受荷载作用ABCABC第二页，共六十三页，编辑于2023年，星期三2.广义位移

通常把两个截面的相对水平位移、相对竖向位移以及相对转角叫做广义位移。

A、B截面竖向位移之和

A、B截面相对竖向位移AB(a)支座B下沉ABCC'温度变化ABC'C第三页，共六十三页，编辑于2023年，星期三qABAB(b)(c)

A、B截面相对竖向位移

A、B截面相对水平位移第四页，共六十三页，编辑于2023年，星期三(e)(d)AlB

为AB杆转角A

为A左、右截面相对转角第五页，共六十三页，编辑于2023年，星期三一、虚功

力P在由非该力引起的位移Δ上所作的功叫作虚功。右图简支梁，先加上，则两截面1、2之位移分别为、。然后加，则1、2截面产生新的位移。P1P2129-2虚功和虚功原理第六页，共六十三页，编辑于2023年，星期三实功：虚功：虚功强调作功的力与位移无关。P1P212第七页，共六十三页，编辑于2023年，星期三二、变形体虚功原理

定义：设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设该变形体由于其它原因产生符合约束条件的微小连续变形，则外力在位移上做的外虚功W恒等于各微段应力的合力在变形上作的内虚功Wi

，即W=Wi

。第八页，共六十三页，编辑于2023年，星期三下面讨论W及Wi的具体表达式。条件(1）存在两种状态：第一状态为作用有平衡力系；第二状态为给定位移及变形。以上两种状态彼此无关。

(2）力系是平衡的，给定的变形是符合约束条件的微小连续变形。

(3）上述虚功原理适用于弹性和非弹性

结构。第九页，共六十三页，编辑于2023年，星期三第二状态（给定位移和变形）q(s)q(s)dsds第一状态（给定平衡力系）第十页，共六十三页，编辑于2023年，星期三外力虚功：微段ds的内虚功dWi：整根杆件的内虚功为：第十一页，共六十三页，编辑于2023年，星期三根据虚功方程W=Wi，所以有：结构通常有若干根杆件，则对全部杆件求总和得：第十二页，共六十三页，编辑于2023年，星期三小结：只要求两个条件：力系是平衡的，给定的变形是符合约束条件的微小连续变形。上述虚功原理适用于各类结构（静定、超静定、杆系及非杆系结构），适用于弹性或非弹性结构。

考虑了杆件的弯曲、剪切及轴向变形。1)2)3)第十三页，共六十三页，编辑于2023年，星期三

变形体虚功原理有两种应用形式，即虚力原理和虚位移原理。虚力原理：虚设平衡力系求位移;虚位移原理：虚设位移求未知力。用变形体虚力原理求静定结构的位移，是将求位移这一几何问题转化为静力平衡问题。所以

在变形体虚功方程中，若外力只是一个单位荷载，则虚功方程为：9-3单位荷载法计算位移和位移计算一般公式第十四页，共六十三页，编辑于2023年，星期三

下面以图示刚架为例对位移计算的一般公式加以具体说明。给定位移、变形虚设平衡力系ABC1.

欲求，则在C截面加上竖向单位载荷，则该静定刚架就产生了一组平衡力系。ABC第十五页，共六十三页，编辑于2023年，星期三2.位移计算一般公式外力虚功内虚功所求位移——给定的位移和变形。力和位移无关。3.小结

——单位载荷在结构中产生的内力和支座反力，、、、第十六页，共六十三页，编辑于2023年，星期三一、荷载作用在下位移的计算公式及计算位移的步骤

虚设平衡力系CABDP=1给定位移、变形

求下图示结构在荷载作用下的位移。PCABqDκ,γ0,

εΔDH,ΔDV,θD(MP,QP,NP

)D9-4荷载作用下的位移计算第十七页，共六十三页，编辑于2023年，星期三

若结构只有荷载作用，则位移计算一般公式为：

上式适用的条件是：小变形，材料服从虎克定律，即体系是线性弹性体。

在荷载作用下，应变与内力

的关系式如下：（式中k为剪应力不均匀系数）第十八页，共六十三页，编辑于2023年，星期三正负号规则：1）不规定和的正负号，只规定乘积的正负号。若和使杆件同一侧纤维受拉伸长，则乘积为正，反之为负；正MP正MP负MP第十九页，共六十三页，编辑于2023年，星期三2）和以拉力为正，压力为负；3）和的正负号见下图。求位移步骤如下：①沿拟求位移方向虚设性质相应的单位载荷；②求结构在单位载荷作用下的内力和支座反力；③利用位移计算一般公式求位移。第二十页，共六十三页，编辑于2023年，星期三二、各类结构的位移计算公式1.梁和刚架

在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产生的位移可以忽略，故位移计算公式为：

在高层建筑中，柱的轴力很大，故轴向变形对位移的影响不容忽略。

对于深梁，即h/l较大的梁，剪切变形的影响不容忽略。第二十一页，共六十三页，编辑于2023年，星期三2.桁架

桁架各杆只有轴力，所以位移计算公式为：4.拱拱轴截面轴向变形的影响通常不能忽略：3.组合结构用于弯曲杆用于二力杆第二十二页，共六十三页，编辑于2023年，星期三例9-1

求简支梁中点竖向位移，并讨论剪切变形对位移的影响。qxAMPQPql/2xA0.5ABCl/2l/2P=1ABqCl/2l/2第二十三页，共六十三页，编辑于2023年，星期三解：第二十四页，共六十三页，编辑于2023年，星期三

若杆截面为矩形，则k=1.2；又μ=1/3，则E/G=2(1+μ)=8/3，I/A=h2/12。若h/l=1/10，则

h/l=1/2，则可见，剪切变形的影响不能忽略。第二十五页，共六十三页，编辑于2023年，星期三9-5图乘法

图乘法是一种求积分的简化计算方法，它把求积分的运算转化为求几何图形的面积与竖标的乘积的运算。一、图乘法基本公式为方便讨论起见，把积分改写成。第二十六页，共六十三页，编辑于2023年，星期三Mi图yxMk图dω=MkdxMk(x)xx0dxAByxMi(x)=xtgαxx0ABy0第二十七页，共六十三页，编辑于2023年，星期三说明：(1）条件：AB杆为棱柱形直杆，即EI等于常数；Mi与Mk图形中有一个是直线图形。(2）y0与ω的取值：y0一定取自直线图形，ω则取自另一个图形，且取ω的图形的形心位置是已知的，不必另行求解。(3）若y0与ω在杆轴或基线的同一侧，则乘积y0ω取正号；若y0与ω不在杆轴或基线的同一侧，则乘积y0ω取负号。第二十八页，共六十三页，编辑于2023年，星期三二、常见图形的几何性质l/2l/2二次抛物线hωl二次抛物线hω二次抛物线3l/4l/4hω5l/83l/8二次抛物线hω第二十九页，共六十三页，编辑于2023年，星期三三、图乘法举例

运用图乘法进行计算时,关键是对弯矩图进行分段和分块,尤其是正确的进行分块。M1M2y02l/3l/3M1M2y02l/3l/3第三十页，共六十三页，编辑于2023年，星期三

分段——

图均应分为对应的若干段，然后进行计算。ABCDABCDMP第三十一页，共六十三页，编辑于2023年，星期三分块——只对或中的一个图形进行分块，另一个图形不分块。ABABMP1MP2第三十二页，共六十三页，编辑于2023年，星期三例9-2

求。解：作图图，如上图所示。分段：，分为AC、CB两段。分块：图的CB段分为两块。MPACBEI1EI2ω1ω2ω31PCBy1y2y3EI1EI2A第三十三页，共六十三页，编辑于2023年，星期三

此题还可以这样处理：先认为整个AB杆的刚度是，再加上刚度为的AC段，再减去刚度为的AC段即可。CBACACAω1ω2ω2MPEI2EI2EI1EI2+-PACBACACEI2EI2EI1EI2y2y2+-y11第三十四页，共六十三页，编辑于2023年，星期三例9-3

求,EI等于常数。解：作图图，如右图所示。分段：，分为AC、CB两段。分块：图的AC段分为两块。ACB2m2m2kN/m16A4CBA1CB2ω1MPω2y2y1第三十五页，共六十三页，编辑于2023年，星期三

如果将AC段的图如下图那样分块，就比较麻烦。16A4C84图例9-4

求,EI等于常数。作图图，如下页图所示。4kN5kN2kN/m12kN.m4kN.m7kN4m4mACB解：4kN.m4kN2kN/m2mAC第三十六页，共六十三页，编辑于2023年，星期三1/21y1ω2y381244MP图ω1ω3y2图1ACBBAC（kN.m)第三十七页，共六十三页，编辑于2023年，星期三例9-5

求,EI等于常数。解：

作图及图，如右所示。分段：，分为AB、BC两段。分块：图的BC段分为两块。6kN/m7kN6kN.m17kN2m4mABC1/61/62/31/31ω2y3y1图图14126ω1ω3（kN.m)第三十八页，共六十三页，编辑于2023年，星期三1/61/62/31/31ω2y3y1图图14126ω1ω3（kN.m)第三十九页，共六十三页，编辑于2023年，星期三例9-6

求ΔCH，EI等于常数。解：ABC2kN/mEIEI2kN/m4m2m作MP图和图见下页图。分块：MP图的AB段分为两块。第四十页，共六十三页，编辑于2023年，星期三4ω2y3=412ω1MP图(kN.m)2m2y22y1图1ω3ABC4第四十一页，共六十三页，编辑于2023年，星期三

静定结构在温度变化作用下各杆能自由变形，所以结构不产生内力。1.是温度改变值，而非某时刻的温度。某时刻温度另一时刻温度t1,t2是温度改变值9-6温度作用时的位移计算第四十二页，共六十三页，编辑于2023年，星期三

2.温度沿杆件截面厚度方向成线性变化。截面上、下边缘温差：对于矩形截面杆件，，。hb杆轴线处温度改变值：h1h2ht1t2dsh1h2ht1t2t2-

t1dt第四十三页，共六十三页，编辑于2023年，星期三3.微段ds的应变拉应变弯曲应变剪应变4.位移计算公式第四十四页，共六十三页，编辑于2023年，星期三小结：(1）正负号规则：及温度变化使杆件同一侧纤维伸长（弯曲方向相同），则乘积为正，反之为负。以温度升高为正，降低为负，以拉力为正，压力为负。(2）第四十五页，共六十三页，编辑于2023年，星期三例9-7

求图示刚架C截面水平位移。已知杆件线膨胀系数为，杆件矩形横截面高为h。解：CABdd1CABddCAB图图第四十六页，共六十三页，编辑于2023年，星期三第四十七页，共六十三页，编辑于2023年，星期三9-7支座移动时的位移计算说明：1）等号右边的负号是公式推导而得出，不能去掉。2）若

与方向相同，则乘积为正，反之为负。

若静定结构只有支座移动而无其他因素作用，则结构只产生刚体位移而无变形，故对于杆件的任意微段，应变均为零。所以支座移动时的位移计算公式为：第四十八页，共六十三页，编辑于2023年，星期三例9-8

已知刚架支座B向右移动a,求。解：1）求CABhd/2d/2aDCAB1d/4hd/4h0.50.5求D第四十九页，共六十三页，编辑于2023年，星期三CADB10.50.5h/dh/d求ΔDHd/2d/22）求CADB1/h1/h00求ΔφCd/2d/2113）求CABhd/2d/2aD第五十页，共六十三页，编辑于2023年，星期三9-8线性变形体的互等定理

互等定理适用于线性变形体系，即体系产生的是小变形，且杆件材料服从虎克定律。一、功的互等定理功的互等本质上是虚功互等。下图给出状态I和状态II。状态IIAB12abAB12ab状态I第五十一页，共六十三页，编辑于2023年，星期三令状态I的平衡力系在状态II的位移上做虚功，得到：状态IIAB12abAB12ab状态I第五十二页，共六十三页，编辑于2023年，星期三

同样，令状态II的平衡力系在状态I的位移上做虚功，得到：所以即第五十三页，共六十三页，编辑于2023年，星期三定理在任一线性变形体系中，第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功W12等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的虚功W21。二、位移互等定理定理在任一线性变形体系中，由荷载P1引起的与荷载P2相应的位移影响系数等于由荷载P2引起的与荷载P1相应的位移影响系数。即即第五十四页，共六十三页，编辑于2023年，星期三由功的互等定理可得：

在线性变形体系中，位移Δij与力Pj的比值是一个常数，记作，即：或于是所以状态II12状态I12第五十五页，共六十三页，编辑于2023年，星期三1212说明：(1)

也称为柔度系数，即单位力产生的位移。

i产生位移的方位；j

产生位移的原因。(2)

P1和P2可以是集中力也可以是集中力偶，则相应的和就是线位移影响系数或角位移影响系数。即荷载可以是广义荷载，而位移则是广义位移。两个广义位移的量纲可能不等，但它们的影响系数在数值和量纲上仍然保持相等。第五十六页，共六十三页，编辑于2023年，星期三例9-9

验证位移互等定理。解：a/2a/21EIP1=FΔ212a/2a/21EIP2=MΔ122FFa/4M11a/41/2M/2第五十七页，共六十三页，编辑于20