药学高数极限

药学高数极限第一页，共二十一页，编辑于2023年，星期三

一、数列的极限我国古代数学家刘徽（第三世纪）利用圆内接正多边形的面积来推算圆面积的方法—割圆术，就是极限思想在几何上的一个应用。设有一圆，欲求它面积的精确值S。为此先作圆的内接正六边形，其面积记为S1，再作圆内接正十二边形，其面积记为S2，再作圆内接正二十四边形，其面积记为S3，…，循此下去，每次边数加倍，就可以得到一系列圆内接正多边形的面积。圆内接正多边形的边数无限增加,Sn也无限接近于确定的数值S。第二页，共二十一页，编辑于2023年，星期三

若xn是正整数n的函数:xn=f(n),其取值依次为x1

,x2

,…,xn,…像这样一列有次序的数,叫做数列(sequenceofnumber),简记为数列{xn}。数列中的每一个数叫做数列的项，x1叫做数列的首项，第n项xn叫做数列{xn}的一般项或通项。例如：1，2，3，…，n…{n}（1-1）{}（1-2）

{}（1-3）{}（1-4）

第三页，共二十一页，编辑于2023年，星期三

在几何上，数列可看作数轴上的一列点。若数列{xn}满足

x1≤

x2≤x3≤…≤xn≤…则称数列{xn}为单调增加数列;若数列{xn}满足

x1≥x2≥x3≥…≥xn≥…则称数列{xn}为单调减少数列。若对于数列{xn}，存在正数M,使得对一切n，都满足不等式

xn≤M则称数列{xn}是有界的。如果这样的正数M不存在，则称数列{xn}是无界的。x2x1x3xn第四页，共二十一页，编辑于2023年，星期三

例如：数列（1-2）、（1-3）、（1-4）是有界数列，而数列（1-1）是无界的。

定义1-4如果当n无限增大时，xn无限趋于一个确定的常数a，则称a是数列{xn}当n∞时的极限(limit)，或称数列{xn}收敛(convergent)于a，记为或

例1-7讨论数列当n∞时的变化趋势。

解此数列的一般项为当n越来越大时，点xn越来越接近于点1，即

第五页，共二十一页，编辑于2023年，星期三

定义1-5“-N”定义如果对于任意给定的正数（不论它多么小）总存在正整数N，使得对于满足n>N时的一切xn，不等式xn-a<恒成立，则称常数a是数列{xn}当n∞时的极限，或者称数列{xn}收敛于a

，记为或xna（n∞）注意:（1）定义中的正数“可以任意给定”是很重要的。（2）定义中的正整数N是与任意给定的正数有关的它可以随的给定而选定。第六页，共二十一页，编辑于2023年，星期三“数列{xn}的极限是a”的几何解释：因为不等式xn-a<即不等式a-＜xn＜a+，所以当n>N时，所有点xn都落在开区间（a-

，a+

）内，而只有有限个（至多有N个）点落在这个区间之外。

并不是所有的数列都有极限。例如：

在n无限增大时，总是在0和1这两个数上来回跳动，不趋于某一个确定的常数,所以发散。x2a-xN+1axN+3xN+2a+x1x3x2第七页，共二十一页，编辑于2023年，星期三例如:已知证明数列的极限为1.

证:

欲使即只要则当时,

就有故第八页，共二十一页，编辑于2023年，星期三

二、函数的极限（一）当xx0时函数的极限

定义1-6设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义（点x0可以除外），如果当x无限趋近于（即xx0（x≠x0）时），对应的函数值f(x)无限趋近于一个确定的常数A，则称常数A是函数f(x)当xx0时的极限，记为或第九页，共二十一页，编辑于2023年，星期三

例1-8

讨论函数f(x)=2x+1当x1时的变化趋势。表1-2x0.90.990.9990.9999…1…1.00011.0011.011.1f(x)=2x+12.82.982.9982.9998…3…3.00023.0023.023.2定义1-7

“-”定义：设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义（点x0可以除外），如果对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数，使得对于满足不等式0＜x-x0

＜的一切x，对应的函数值

f(x)都满足不等式f(x)-A＜则称常数A为函数f(x)当xx0时的极限，记为或第十页，共二十一页，编辑于2023年，星期三

函数f(x)当xx0时的极限为A的几何解释:任意给定一正数,作平行于x轴的两条直线y=A+和y=A-，介于这两条直线之间是一横条区域。根据定义，对于给定的，存在点x0的一个去心的邻域（即），当y=f(x)图形上点的横坐标时，这些点的纵坐标f(x)均满足不等式f(x)-A＜即A-＜f(x)

＜A+，从而这些点落在上面所说的横条区域内。x0y=f(x)A-A+

A

x0-x0+x0第十一页，共二十一页，编辑于2023年，星期三

例1-9证明（C为一常数）。证因为f(x)-A

=C-C

=0，对于任意给定的正数，可任取一正数，当0＜x-x0

＜时，能使不等式f(x)-A

=0＜恒成立，所以

例1-10

证明证因为f(x)-A

=x-x0

，对于任意给定的正数，可任取一正数=，0＜x-x0

＜=时，能使不等式

f(x)-A

=x-x0

＜恒成立，所以第十二页，共二十一页，编辑于2023年，星期三

例1-11讨论当x3时，是否存在极限。

解函数在x=3处是没有定义的，但x≠3，从而f(x)-6=(x+3)-6=x-3，因此对于任意给定的正数，总可以取=，当0＜x-3

＜

=能使不等式

f(x)-6=x-3

＜恒成立，所以第十三页，共二十一页，编辑于2023年，星期三左极限从左边趋于,记为右极限从右边趋于,记为注意

例1-12

考察函数当x0时的极限。

解

因为左极限和右极限不相等，所以当x0时极限不存在。第十四页，共二十一页，编辑于2023年，星期三

(二)当x∞时函数的极限

定义1-8

设函数f(x)对于绝对值无论怎样大的x都是有定义的。如果在x∞的过程中，对应的函数值f(x)无限趋近于确定的常数A，那么A叫做函数f(x)当x∞时的极限，记为或

定义1-9“-X”定义：如果对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数X，使得对于适合不等式x>X的一切x

，对应的函数值f(x)都满足不等式f(x)-A＜那么常数A叫做函数f(x)当x∞时的极限，记为或第十五页，共二十一页，编辑于2023年，星期三单侧极限

当自变量x的变化沿x轴的正方向无限增大(或沿x

轴的负方向绝对值无限增大)时,函数f(x)无限趋近于某一个常数A,就称A为函数f(x)单侧极限,记为

例如：若，则称y=C直线是曲线y=f(x)的一条水平渐近线。y=ax(a>1)(0,1)y=1/xxy0xy0第十六页，共二十一页，编辑于2023年，星期三注意:

例如:

所以不存在。第十七页，共二十一页，编辑于2023年，星期三内容小结：1.数列极限的“–N

”

定义及应用2.函数极限的“–