河南省信阳市城北职业中学高三数学理测试题含解析

河南省信阳市城北职业中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数，则下列结论正确的是

A．偶函数B．是奇函数

C．在（o，+∞）上是增函数

D．在（0，+∞）上是减函数

参考答案：A2.若函数在（0，1）上单调递减，则实数的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：答案：D3.点为双曲线：和圆：的一个交点，且，其中为双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为A.

B.

C.

D.参考答案：C略4.已知曲线与在处切线的斜率乘积为3，则的值为（

）A

B

2

C

D

1

参考答案：D5.已知函数（，），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于y轴对称，那么函数的图象（

）A．关于点对称 B．关于点对称C．关于直线对称 D．关于直线对称参考答案：B6.已知复数（其中i是虚数单位），则=A.0

B.

C.－2i

D.2i参考答案：C略7.设等比数列的前项和为，若，，则等于A．16

B.31

C.32

D.63参考答案：B8.已知函数.若，使，则称为函数的一个“生成点”.函数的“生成点”共有A.1个

B.2个

C.3个

D.4个参考答案：9.函数y＝在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是()．A．a＝－3

B．a<3

C．a≤－3

D．a≥－3参考答案：【知识点】函数单调性的应用.恒成立问题.

B3

【答案解析】C

解析：，：解得，所以选C.【思路点拨】导数法确定函数在区间上单调递增的条件.10.已知集合P=,,则(

)A．(0,2),(1,1)

B．{1,2}

C．{(0,2),(1,1)}

D．参考答案：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数f（x）=，则函数y=|f（x）|﹣的零点个数为．参考答案：4【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用分段函数，对x≥1，通过函数的零点与方程根的关系求解零点个数，当x＜1时，利用数形结合求解函数的零点个数即可．【解答】解：当x≥1时，=，即lnx=，令g（x）=lnx﹣，x≥1时函数是连续函数，g（1）=﹣＜0，g（2）=ln2﹣=ln＞0，g（4）=ln4﹣2＜0，由函数的零点判定定理可知g（x）=lnx﹣，有2个零点．（结合函数y=与y=可知函数的图象由2个交点．）当x＜1时，y=，函数的图象与y=的图象如图，考查两个函数由2个交点，综上函数y=|f（x）|﹣的零点个数为：4个．故答案为：4．12.数列{an}的通项公式为an=nsin+（﹣1）n，其前n项和为Sn，则S2017=

．参考答案：﹣3026【考点】数列的求和．【分析】n=2k（k∈N*）时，an=a2k=2k?sinkπ+1=1．n=2k﹣1（k∈N*）时，an=a2k﹣1=（2k﹣1）?sinπ﹣1=（﹣1）k﹣1（2k﹣1）﹣1．利用分组求和即可得出．【解答】解：∵n=2k（k∈N*）时，an=a2k=2k?sinkπ+1=1．n=2k﹣1（k∈N*）时，an=a2k﹣1=（2k﹣1）?sinπ﹣1=（﹣1）k﹣1（2k﹣1）﹣1．∴S2017=（a2+a4+…+a2016）+（a1+a3+…+a2017）=1008+（1﹣3+5﹣7+…﹣2017﹣1009）=1008+（﹣1008﹣2017﹣1009）=﹣3026．故答案为：﹣3026．【点评】本题考查了分组求和、三角函数求值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.设a∈，则使函数y=xa的定义域为R且为奇函数的a的集合为．参考答案：{1，3}【考点】幂函数图象及其与指数的关系．【分析】分别验证a=1，﹣1，，3知当a=1或a=3时，函数y=xa的定义域是R且为奇函数．【解答】解：当a=﹣1时，当a=﹣1时，y=x﹣1的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数，不合题意；当a=1时，函数y=x的定义域是R且为奇函数；当a=时，函数y=的定义域是（0，+∞），不合题意；当a=3时，函数y=x的定义域是R且为奇函数．故使函数y=xa的定义域为R且为奇函数的a的集合为{1，3}．故答案为：{1，3}．14.已知集合，则_______.参考答案：，，所以。【答案】【解析】15.实数满足若恒成立，则实数的最大值是

．参考答案：16.设函数，若，则的取值范围是

参考答案：略17.球为棱长为的正方体的内切球，为球的球面上动点，为中点，,则点的轨迹周长为

．

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，∠CBD=60°，BC=2．（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面ACD；（Ⅱ）若E是BD的中点，F为线段AC上的动点，EF与平面ABC所成的角记为θ，当tanθ的最大值为，求二面角A﹣CD﹣B的余弦值．

参考答案：证明：（Ⅰ）在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，所以：AB⊥CD，又∵BC⊥CD，∴CD⊥平面ABC，∵CD?平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD………………6分（Ⅱ）建立空间直角坐标系C﹣xyz，则：C（0，0，0），D（，0，0），B（0，2，0），E（，1，0），设A（0，2，t），则：所以：F（0，2λ，tλ），，平面ABC的法向量为：，由sinθ=由于tanθ的最大值为，则：（t2+4）﹣4λ+4的最小值为．解得：t=4，又∵BC⊥CD，AC⊥CD，所以∠ACB就是二面角A﹣CD﹣B的平面角．cos∠ACB==．………………12分19.已知函数

（I）求函数的单调区间；

（II）是否存在实数m，使不等式时恒成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由。

（III）已知正整数列中的最大项。参考答案：略20.（本小题满分12分）某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温（°C）与该奶茶店的这种饮料销量（杯），得到如下数据：日

期1月11日

1月12日

1月13日

1月14日

1月15日

平均气温（°C）9[1012118销量（杯）2325302621（1）若从这五组数据中随机抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（2）请根据所给五组数据，求出y关于x的线性回归方程．

（参考公式：．）参考答案：（1）；（2）．试题分析：（1）利用列举法写出抽出2组数据的所有基本事件，并从中找出2组数据恰好是相邻2天数据的基本事件，利用古典概型公式求出概率；（2）先求出和，再利用参考公式算出和，代入即可得线性回归方程．试题解析：（1）解：设“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”为事件.………………1分所有基本事件（m，n）（其中m，n为1月份的日期数）有：（11,12），（11,13），（11,14），（11,15），（12,13），（12,14），（12,15），（13,14），（13,15），（14,15）共10种．

…………3分事件包括的基本事件有（11,12），（12,13），（13,14），（14,15）共4种．

…………5分∴．

…………6分（2）解：由数据，求得，．………8分，

…………10分∴y关于x的线性回归方程为．

…………12分考点：1、古典概型；2、回归直线方程．21.（本大题12分）

如图，四棱锥中，∥,侧面为等腰直角三角形，，平面底面，若，．（I）求证：；（II）若二面角的余弦值为，求实数的值．参考答案：（I）证明：略；

（II）．

略22.在平面直角坐标系xOy中，曲线（φ为参数）上的两点A，B对应的参数分别为α，α+．（Ⅰ）求AB中点M的轨迹的普通方程；（Ⅱ）求点（1，1）到直线AB距离的最大值．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（I）A（cosα，sinα），B（﹣sinα，cosα）．设M（x，y），则x=（﹣sinα+cosα），y=（sinα+cosα）．平方相加即可得出．（II）kAB=，利用点斜式可得：（sinα﹣cosα）x﹣（sinα+cosα）y+=0．